Անհավասարությունները և անհավասարությունների համակարգերը այն թեմաներից մեկն է, որը դասավանդվում է ավագ դպրոցի հանրահաշիվում: Դժվարության առումով այն ամենադժվարը չէ, քանի որ այն ունի պարզ կանոններ (դրանց մասին մի փոքր ուշ)։ Որպես կանոն, դպրոցականները բավականին հեշտությամբ են սովորում անհավասարությունների համակարգերի լուծումը։ Դա պայմանավորված է նաեւ նրանով, որ ուսուցիչներն իրենց աշակերտներին պարզապես «մարզում» են այս թեմայով։ Եվ նրանք չեն կարող դա չանել, քանի որ այն հետագայում ուսումնասիրվում է այլ մաթեմատիկական մեծությունների կիրառմամբ, ինչպես նաև ստուգվում է OGE-ի և միասնական պետական քննության համար: Դպրոցական դասագրքերում անհավասարությունների և անհավասարությունների համակարգերի թեման շատ մանրամասն է արծարծված, ուստի, եթե պատրաստվում եք ուսումնասիրել այն, ապա ավելի լավ է դիմել դրանց: Այս հոդվածը միայն շատ նյութերի վերափոխում է և կարող է պարունակել որոշ բացթողումներ:
Անհավասարությունների համակարգի հայեցակարգ
Եթե դիմենք գիտական լեզվին, ապա կարող ենք սահմանել «համակարգ» հասկացությունըանհավասարություններ»: Սա այնպիսի մաթեմատիկական մոդել է, որը ներկայացնում է մի քանի անհավասարություններ: Իհարկե, այս մոդելը լուծում է պահանջում, և դա կլինի առաջադրանքի մեջ առաջարկված համակարգի բոլոր անհավասարությունների ընդհանուր պատասխանը (սովորաբար գրվում է այսպես. Օրինակ՝ «Լուծե՛ք 4 x + 1 > 2 և 30 - x > 6…» անհավասարությունների համակարգը։
Անհավասարությունների համակարգեր և հավասարումների համակարգեր
Նոր թեմա սովորելու գործընթացում հաճախ թյուրիմացություններ են առաջանում։ Մի կողմից ամեն ինչ պարզ է, և ես ավելի շուտ կսկսեմ առաջադրանքներ լուծել, բայց մյուս կողմից որոշ պահեր մնում են «ստվերում», դրանք լավ չեն հասկացվում։ Նաև արդեն ձեռք բերված գիտելիքների որոշ տարրեր կարող են միահյուսվել նորերի հետ: Այս համընկնման արդյունքում հաճախ են լինում սխալներ։
Հետևաբար, նախքան մեր թեմայի վերլուծությանը անցնելը, պետք է հիշել հավասարումների և անհավասարությունների, դրանց համակարգերի տարբերությունները։ Դրա համար անհրաժեշտ է ևս մեկ անգամ պարզաբանել, թե որոնք են այդ մաթեմատիկական հասկացությունները։ Հավասարումը միշտ հավասարություն է, և այն միշտ հավասար է ինչ-որ բանի (մաթեմատիկայում այս բառը նշվում է «=» նշանով։ Անհավասարությունը մոդել է, որտեղ մի արժեք կա՛մ մեծ է, կա՛մ փոքր, քան մյուսը, կամ պարունակում է պնդում, որ դրանք նույնը չեն: Այսպիսով, առաջին դեպքում տեղին է խոսել հավասարության մասին, իսկ երկրորդում, որքան էլ դա ակնհայտ հնչի.հենց անունը՝ սկզբնական տվյալների անհավասարության մասին։ Հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերը գործնականում չեն տարբերվում միմյանցից և դրանց լուծման մեթոդները նույնն են։ Միակ տարբերությունն այն է, որ առաջինն օգտագործում է հավասարումներ, իսկ երկրորդը օգտագործում է անհավասարություններ:
Անհավասարությունների տեսակները
Անհավասարությունների երկու տեսակ կա՝ թվային և անհայտ փոփոխականով: Առաջին տիպին տրվում են արժեքներ (թվեր), որոնք հավասար չեն միմյանց, օրինակ՝ 8 > 10: Երկրորդ տեսակը անհավասարություններ են, որոնք պարունակում են անհայտ փոփոխական (նշվում է լատինական այբուբենի որոշ տառով, առավել հաճախ՝ X): Այս փոփոխականը պետք է գտնել: Կախված նրանից, թե քանիսն են, մաթեմատիկական մոդելը տարբերակում է անհավասարությունները մեկով (նրանք կազմում են անհավասարությունների համակարգ մեկ փոփոխականով) կամ մի քանի փոփոխականներով (նրանք կազմում են անհավասարությունների համակարգ մի քանի փոփոխականներով):
Վերջին երկու տեսակները, ըստ իրենց կառուցման աստիճանի և լուծույթի բարդության աստիճանի, բաժանվում են պարզի և բարդի։ Պարզները կոչվում են նաև գծային անհավասարություններ։ Նրանք իրենց հերթին բաժանվում են խիստ և ոչ խիստ: Խիստ հատուկ «ասեք», որ մեկ արժեքը պետք է լինի կամ ավելի քիչ կամ ավելի, ուստի սա մաքուր անհավասարություն է: Կան մի քանի օրինակներ՝ 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 և այլն։ Ոչ խիստները ներառում են նաև հավասարություն։ Այսինքն, մի արժեքը կարող է մեծ կամ հավասար լինել մեկ այլ արժեքի (նշան «≧») կամ փոքր կամ հավասար մեկ այլ արժեքի (նշան «≦»): Դեռ հերթի մեջԱնհավասարություններում փոփոխականը չի կանգնում արմատի, քառակուսու վրա, չի բաժանվում ոչնչի վրա, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են «պարզ»: Բարդերը ներառում են անհայտ փոփոխականներ, որոնց հայտնաբերումը պահանջում է ավելի շատ մաթեմատիկական գործողություններ։ Դրանք հաճախ գտնվում են քառակուսու, խորանարդի կամ արմատի տակ, կարող են լինել մոդուլային, լոգարիթմական, կոտորակային և այլն: Բայց քանի որ մեր խնդիրն է հասկանալ անհավասարությունների համակարգերի լուծումը, մենք կխոսենք գծային անհավասարությունների համակարգի մասին: Սակայն մինչ այդ պետք է մի քանի խոսք ասել դրանց հատկությունների մասին։
Անհավասարությունների հատկություններ
Անհավասարությունների հատկությունները ներառում են հետևյալ դրույթները.
- Անհավասարության նշանը հակադարձվում է, եթե կիրառվում է կողմերի հաջորդականությունը փոխելու գործողությունը (օրինակ, եթե t1 ≦ t2, ապա t 2 ≧ t1).
- Անհավասարության երկու մասերը թույլ են տալիս ձեզ ավելացնել նույն թիվը (օրինակ, եթե t1 ≦ t2, ապա t 1 + համարը ≦ t2 + համարը).
- Նույն ուղղության նշանով երկու կամ ավելի անհավասարություններ թույլ են տալիս ավելացնել դրանց ձախ և աջ մասերը (օրինակ, եթե t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, ապա t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Անհավասարության երկու մասերն էլ թույլ են տալիս իրենց բազմապատկել կամ բաժանել նույն դրական թվով (օրինակ, եթե t1 ≦ t2և համարը ≦ 0, ապա համարը t1 ≧ թիվը t2):
- Երկու կամ ավելի անհավասարություններ, որոնք ունեն դրական թվեր և նույն ուղղության նշան, թույլ են տալիսբազմապատկել միմյանց (օրինակ, եթե t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, տ 4 ≧ 0 ապա t1 t3 ≦ t2 t4).
- Անհավասարության երկու մասերն էլ թույլ են տալիս իրենց բազմապատկել կամ բաժանել նույն բացասական թվով, սակայն անհավասարության նշանը փոխվում է (օրինակ, եթե t1 ≦ t2 և համարը ≦ 0, ապա համարը t1 ≧ թիվը t2).
- Բոլոր անհավասարությունները անցումային են (օրինակ, եթե t1 ≦ t2 և t2≦ t3, ապա t1 ≦ t3).
Այժմ, անհավասարությունների հետ կապված տեսության հիմնական դրույթներն ուսումնասիրելուց հետո, կարող ենք ուղղակիորեն անցնել դրանց համակարգերի լուծման կանոնների քննարկմանը:
Անհավասարությունների համակարգերի լուծում. Ընդհանուր տեղեկություն. Լուծումներ
Ինչպես նշվեց վերևում, լուծումը փոփոխականի արժեքներն են, որոնք համապատասխանում են տվյալ համակարգի բոլոր անհավասարություններին: Անհավասարությունների համակարգերի լուծումը մաթեմատիկական գործողությունների իրականացումն է, որոնք ի վերջո հանգեցնում են ամբողջ համակարգի լուծմանը կամ ապացուցում են, որ այն չունի լուծումներ: Այս դեպքում փոփոխականը վերաբերում է դատարկ թվային բազմությանը (գրվում է հետևյալ կերպ. ∈ փոփոխականը նշանակող տառը (նշանը «պատկանում է») ø (նշանը «դատարկ բազմություն»), օրինակ՝ x ∈ ø (այն կարդացվում է այսպես՝ «x» փոփոխականը պատկանում է դատարկ բազմությանը»): Անհավասարությունների համակարգերը լուծելու մի քանի եղանակ կա.գրաֆիկական, հանրահաշվական, փոխարինման մեթոդ. Հարկ է նշել, որ դրանք վերաբերում են այն մաթեմատիկական մոդելներին, որոնք ունեն մի քանի անհայտ փոփոխականներ։ Այն դեպքում, երբ կա միայն մեկը, ապա տարածության մեթոդը կգործի:
Գրաֆիկական մեթոդ
Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ մի քանի անհայտներով (երկու կամ ավելիից): Այս մեթոդի շնորհիվ գծային անհավասարությունների համակարգը լուծվում է բավականին հեշտությամբ և արագ, ուստի այն ամենատարածված մեթոդն է։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ գծագրումը նվազեցնում է մաթեմատիկական գործողություններ գրելու քանակը: Հատկապես հաճելի է դառնում գրիչից մի փոքր ընդմիջել, քանոնով մատիտ վերցնել և նրանց օգնությամբ շարունակել հետագա գործողությունները, երբ մեծ աշխատանք է կատարվել, և դուք մի փոքր բազմազանություն եք ուզում: Այնուամենայնիվ, ոմանց դուր չի գալիս այս մեթոդը, քանի որ դուք պետք է կտրվեք առաջադրանքից և մտավոր գործունեությունը անցեք նկարչության: Այնուամենայնիվ, դա շատ արդյունավետ միջոց է։
Անհավասարությունների համակարգը գրաֆիկական մեթոդով լուծելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անհավասարության բոլոր անդամները տեղափոխել ձախ կողմ: Նշանները կփոխվեն, աջ կողմում գրվի զրո, հետո յուրաքանչյուր անհավասարություն առանձին գրվի։ Արդյունքում անհավասարություններից կստացվեն ֆունկցիաներ։ Դրանից հետո դուք կարող եք ձեռք բերել մատիտ և քանոն. այժմ դուք պետք է գծեք ստացված յուրաքանչյուր ֆունկցիայի գրաֆիկը: Թվերի ամբողջ բազմությունը, որը կլինի դրանց հատման միջակայքում, կլինի անհավասարությունների համակարգի լուծումը։
Հանրահաշվական ճանապարհ
Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ երկու անհայտ փոփոխականներով: Անհավասարությունները նույնպես պետք է ունենան նույն անհավասարության նշանը (այսինքն՝ պետք է պարունակեն կամ միայն «մեծ քան» նշանը, կամ միայն «պակաս» նշանը և այլն): Չնայած իր սահմանափակումներին՝ այս մեթոդը նույնպես ավելի բարդ է։ Այն կիրառվում է երկու քայլով։
Առաջինը ներառում է անհայտ փոփոխականներից մեկից ազատվելը: Նախ անհրաժեշտ է ընտրել այն, ապա ստուգել այս փոփոխականի դիմաց թվերի առկայությունը: Եթե չկա (այդ դեպքում փոփոխականը մեկ տառի տեսք կունենա), ապա մենք ոչինչ չենք փոխում, եթե կա (փոփոխականի տեսակը կլինի, օրինակ, 5y կամ 12y), ապա պետք է համոզվել. որ յուրաքանչյուր անհավասարության մեջ ընտրված փոփոխականի դիմացի թիվը նույնն է։ Դա անելու համար անհավասարությունների յուրաքանչյուր անդամ պետք է բազմապատկել ընդհանուր գործակցով, օրինակ՝ եթե առաջին անհավասարության մեջ գրված է 3y, իսկ երկրորդում՝ 5y, ապա պետք է առաջին անհավասարության բոլոր անդամները բազմապատկել 5-ով։, իսկ երկրորդը 3-ով։ Դուք ստանում եք համապատասխանաբար 15 տարեկան և 15 տարեկան։
Որոշման երկրորդ փուլ. Անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անհավասարության ձախ կողմը տեղափոխել իրենց աջ կողմերը՝ յուրաքանչյուր անդամի նշանի հակառակ կողմը փոխելով, աջ կողմում գրել զրո։ Այնուհետև գալիս է զվարճալի մասը՝ ազատվել ընտրված փոփոխականից (այլ կերպ հայտնի է որպես «կրճատում») անհավասարությունների գումարմամբ: Դուք կստանաք անհավասարություն մեկ փոփոխականով, որը պետք է լուծվի: Դրանից հետո դուք պետք է նույնը անեք, միայն մեկ այլ անհայտ փոփոխականի հետ: Ստացված արդյունքները կլինեն համակարգի լուծումը։
Փոխարինման եղանակ
Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ, երբ հնարավորություն ունեք նոր փոփոխական ներմուծել: Սովորաբար այս մեթոդն օգտագործվում է, երբ անհավասարության մի անդամում անհայտ փոփոխականը բարձրացվում է չորրորդ աստիճանի, իսկ մյուս անդամում՝ քառակուսի։ Այսպիսով, այս մեթոդը ուղղված է համակարգում անհավասարությունների աստիճանի նվազեցմանը։ Ընտրանքային անհավասարությունը x4 - x2 - 1 ≦ 0 լուծվում է հետևյալ կերպ. Ներկայացվում է նոր փոփոխական, օրինակ t. Նրանք գրում են. «Թող t=x2», ապա մոդելը վերաշարադրվում է նոր ձևով։ Մեր դեպքում մենք ստանում ենք t2 - t - 1 ≦0: Այս անհավասարությունը պետք է լուծվի միջակայքի մեթոդով (դրա մասին մի փոքր ուշ), այնուհետև վերադառնալ X փոփոխականին, ապա նույնը անել մեկ այլ անհավասարության հետ։ Ստացված պատասխանները լինելու են համակարգի որոշումը։
Ինտերվալ մեթոդ
Սա անհավասարությունների համակարգերը լուծելու ամենահեշտ միջոցն է, միևնույն ժամանակ այն ունիվերսալ է և տարածված։ Այն օգտագործվում է ավագ դպրոցում, և նույնիսկ ավագ դպրոցում: Դրա էությունը կայանում է նրանում, որ ուսանողը անհավասարության միջակայքեր է փնտրում նոթատետրում գծված թվային գծի վրա (սա գրաֆիկ չէ, այլ պարզապես սովորական ուղիղ գիծ թվերով): Այնտեղ, որտեղ անհավասարությունների միջակայքերը հատվում են, գտնում են համակարգի լուծումը: Տարածության մեթոդն օգտագործելու համար հետևեք հետևյալ քայլերին.
- Յուրաքանչյուր անհավասարության բոլոր անդամները փոխանցվում են ձախ կողմին՝ հակառակ նշանի փոփոխությամբ (աջ կողմում գրված է զրո):
- Անհավասարությունները գրվում են առանձին, որոշվում է դրանցից յուրաքանչյուրի լուծումը։
- Անհավասարությունների խաչմերուկները թվի վրաուղիղ. Այս խաչմերուկների բոլոր թվերը կլինեն լուծում:
Ո՞ր եղանակն օգտագործել?
Ակնհայտ է, որ թվում է ամենահեշտն ու ամենահարմարը, բայց կան դեպքեր, երբ առաջադրանքները պահանջում են որոշակի մեթոդ: Ամենից հաճախ ասում են, որ պետք է լուծել կա՛մ գրաֆիկով, կա՛մ միջակայքի մեթոդով: Հանրահաշվական մեթոդը և փոխարինումը օգտագործվում են չափազանց հազվադեպ կամ ընդհանրապես չեն օգտագործվում, քանի որ դրանք բավականին բարդ են և շփոթեցնող, և բացի այդ, դրանք ավելի շատ օգտագործվում են ոչ թե անհավասարությունների, այլ հավասարումների համակարգեր լուծելու համար, այնպես որ դուք պետք է դիմեք գրաֆիկներ և միջակայքներ գծելու համար: Դրանք բերում են տեսանելիություն, ինչը չի կարող չնպաստել մաթեմատիկական գործողությունների արդյունավետ և արագ իրականացմանը։
Եթե ինչ-որ բան չի աշխատում
Հանրահաշվում որոշակի թեմայի ուսումնասիրության ժամանակ, իհարկե, կարող են խնդիրներ առաջանալ դրա ըմբռնման հետ: Եվ դա նորմալ է, քանի որ մեր ուղեղը նախագծված է այնպես, որ ի վիճակի չէ հասկանալ բարդ նյութը մեկ քայլով։ Հաճախ անհրաժեշտ է վերընթերցել պարբերությունը, դիմել ուսուցչի օգնությանը կամ սովորել լուծել բնորոշ խնդիրներ: Մեր դեպքում նրանք, օրինակ, այսպիսի տեսք ունեն՝ «Լուծե՛ք 3 x + 1 ≧ 0 և 2 x - 1 > 3 անհավասարությունների համակարգը»։ Այսպիսով, անձնական ձգտումը, կողմնակի մարդկանց օգնությունը և պրակտիկան օգնում են հասկանալ ցանկացած բարդ թեմա:
Ռեշեբնիկ?
Իսկ լուծումների գիրքը նույնպես շատ լավն է, բայց ոչ թե տնային առաջադրանքները խաբելու, այլ ինքնօգնության համար։ Դրանցում լուծումով կարող եք գտնել անհավասարությունների համակարգեր, նայեքդրանք (ինչպես ձևանմուշները), փորձեք հստակ հասկանալ, թե ինչպես է լուծման հեղինակը հաղթահարել առաջադրանքը, այնուհետև փորձեք դա անել ինքնուրույն:
Եզրակացություններ
Հանրահաշիվը դպրոցում ամենադժվար առարկաներից մեկն է: Դե ինչ կարող ես անել։ Մաթեմատիկան միշտ այսպիսին է եղել՝ ոմանց համար դա հեշտ է, իսկ ոմանց համար՝ դժվար։ Բայց ամեն դեպքում պետք է հիշել, որ հանրակրթական ծրագիրն այնպես է մշակված, որ ցանկացած աշակերտ կարողանա գլուխ հանել դրանից։ Բացի այդ, դուք պետք է հիշեք հսկայական թվով օգնականներ: Դրանցից մի քանիսը վերը նշված են:
