Նյութերի գազային ագրեգատ վիճակի հատկությունների ուսումնասիրությունը ժամանակակից ֆիզիկայի կարևոր ուղղություններից է։ Հաշվի առնելով գազերը միկրոսկոպիկ մասշտաբով, կարելի է ստանալ համակարգի բոլոր մակրոսկոպիկ պարամետրերը: Այս հոդվածը կբացահայտի գազերի մոլեկուլային կինետիկ տեսության կարևոր խնդիրը. ինչպիսի՞ն է մոլեկուլների Մաքսվելի բաշխումը արագությունների առումով:
Պատմական նախապատմություն
Գազի գաղափարը՝ որպես միկրոսկոպիկ շարժվող մասնիկների համակարգ, ծագել է Հին Հունաստանում: Գիտությանը ավելի քան 1700 տարի պահանջվեց այն զարգացնելու համար։
Գազի ժամանակակից մոլեկուլային-կինետիկ տեսության (MKT) հիմնադիրը արդարացի է դիտարկել Դանիիլ Բեռնուլիին: 1738 թվականին հրատարակել է «Հիդրոդինամիկա» աշխատությունը։ Դրանում Բեռնուլին ուրվագծել է MKT-ի գաղափարները, որոնք օգտագործվել են մինչ օրս: Այսպիսով, գիտնականը կարծում էր, որ գազերը կազմված են մասնիկներից, որոնք պատահականորեն շարժվում են բոլոր ուղղություններով: Բազմաթիվ բախումներանոթների պատերով մասնիկները ընկալվում են որպես գազերում ճնշման առկայություն: Մասնիկների արագությունները սերտորեն կապված են համակարգի ջերմաստիճանի հետ: Գիտական հանրությունը չընդունեց Բեռնուլիի համարձակ գաղափարները, քանի որ էներգիայի պահպանման օրենքը դեռ հաստատված չէր:
Հետագայում շատ գիտնականներ զբաղվեցին գազերի կինետիկ մոդելի կառուցմամբ: Դրանցից պետք է նշել Ռուդոլֆ Կլաուզիուսը, ով 1857 թվականին ստեղծել է գազի պարզ մոդել։ Դրանում գիտնականը հատուկ ուշադրություն է դարձրել մոլեկուլներում ազատության թարգմանական, պտտվող և թրթռային աստիճանների առկայությանը։
1859 թվականին, ուսումնասիրելով Կլաուզիուսի աշխատանքը, Ջեյմս Մաքսվելը ձևակերպեց այսպես կոչված Մաքսվելի բաշխումը մոլեկուլային արագությունների վրա։ Փաստորեն, Մաքսվելը հաստատեց MKT-ի գաղափարները՝ դրանք հիմնավորելով մաթեմատիկական ապարատով: Հետագայում Լյուդվիգ Բոլցմանը (1871) ընդհանրացրեց Մաքսվելի բաշխման եզրակացությունները։ Նա ենթադրում էր մոլեկուլների ավելի ընդհանուր վիճակագրական բաշխում արագությունների և էներգիաների նկատմամբ: Ներկայումս այն հայտնի է որպես Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխում:
Իդեալական գազ. ILC-ի հիմնական պոստուլատները
Որպեսզի հասկանաք, թե ինչ է իրենից ներկայացնում Maxwell բաշխման ֆունկցիան, դուք պետք է հստակ հասկանաք, թե որ համակարգերը կիրառելի են այս գործառույթը: Խոսքը իդեալական գազի մասին է։ Ֆիզիկայի մեջ այս հասկացությունը հասկացվում է որպես հեղուկ նյութ, որը բաղկացած է գործնականում չափազուրկ մասնիկներից, որոնք չունեն պոտենցիալ էներգիա։ Այս մասնիկները շարժվում են մեծ արագությամբ, ուստի նրանց վարքագիծը լիովին որոշվում է կինետիկ էներգիայով։ Ավելին, մասնիկների միջև հեռավորությունները չափազանց մեծ են դրա համարհամեմատած դրանց չափերի հետ, ուստի վերջիններս անտեսված են։
Իդեալական գազերը նկարագրված են MKT-ում: Դրա հիմնական պոստուլատները հետևյալն են.
- գազային համակարգերը կազմված են հսկայական քանակությամբ ազատ մասնիկներից;
- մասնիկները պատահականորեն շարժվում են տարբեր արագություններով տարբեր ուղղություններով ուղիղ հետագծերով;
- մասնիկները առաձգական կերպով բախվում են անոթների պատերին (մասնիկների միմյանց բախվելու հավանականությունը փոքր է փոքր չափերի պատճառով);
- Համակարգի ջերմաստիճանը եզակիորեն որոշվում է մասնիկների միջին կինետիկ էներգիայով, որը ժամանակի ընթացքում պահպանվում է, եթե համակարգում թերմոդինամիկական հավասարակշռություն է հաստատվում։
Մաքսվելի բաշխման օրենքը
Եթե մարդն ունենար գործիք, որով հնարավոր կլիներ չափել մեկ գազի մոլեկուլի արագությունը, ապա համապատասխան փորձ կատարելուց հետո նա կզարմանա։ Փորձը ցույց կտա, որ ցանկացած գազային համակարգի յուրաքանչյուր մոլեկուլ շարժվում է լրիվ կամայական արագությամբ: Այս դեպքում շրջակա միջավայրի հետ ջերմային հավասարակշռության մեջ գտնվող մեկ համակարգի շրջանակներում կհայտնաբերվեն ինչպես շատ դանդաղ, այնպես էլ շատ արագ մոլեկուլներ։
Գազի մոլեկուլների արագության բաշխման Մաքսվելի օրենքը գործիք է, որը թույլ է տալիս որոշել ուսումնասիրվող համակարգում տվյալ արագությամբ v մասնիկների հայտնաբերման հավանականությունը։ Համապատասխան ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Այս արտահայտության մեջ մ -մասնիկի (մոլեկուլի) զանգված, k - Բոլցմանի հաստատուն, T - բացարձակ ջերմաստիճան: Այսպիսով, եթե հայտնի է մասնիկների քիմիական բնույթը (m արժեքը), ապա f(v) ֆունկցիան եզակիորեն որոշվում է բացարձակ ջերմաստիճանով։ f(v) ֆունկցիան կոչվում է հավանականության խտություն։ Եթե նրանից վերցնենք ինտեգրալը որոշակի արագության սահմանաչափի համար (v; v+dv), ապա կստանանք Ni մասնիկների թիվը, որոնք ունեն արագություն նշված միջակայքում։ Համապատասխանաբար, եթե 0-ից ∞ արագության սահմանների համար վերցնենք f(v) հավանականության խտության ինտեգրալը, ապա կստանանք համակարգում N մոլեկուլների ընդհանուր թիվը։
Հավանականության խտության գրաֆիկական ներկայացում f(v)
Հավանականության խտության ֆունկցիան ունի որոշակի բարդ մաթեմատիկական ձև, ուստի հեշտ չէ ներկայացնել նրա վարքը տվյալ ջերմաստիճանում: Այս խնդիրը կարող է լուծվել, եթե այն պատկերեք երկչափ գրաֆիկի վրա: Maxwell բաշխման գրաֆիկի սխեմատիկ տեսքը ներկայացված է ստորև նկարում:
Մենք տեսնում ենք, որ այն սկսվում է զրոյից, քանի որ մոլեկուլների v արագությունը չի կարող բացասական արժեքներ ունենալ։ Գրաֆիկը ավարտվում է ինչ-որ տեղ բարձր արագությունների շրջանում՝ սահուն իջնելով զրոյի (f(∞)->0): Հետևյալ հատկանիշը նույնպես ապշեցուցիչ է. հարթ կորը ասիմետրիկ է, փոքր արագությունների դեպքում այն ավելի կտրուկ նվազում է։
Հավանականության խտության f(v) ֆունկցիայի վարքագծի կարևոր հատկանիշը նրա վրա մեկ արտահայտված առավելագույնի առկայությունն է։ Ըստ ֆունկցիայի ֆիզիկական նշանակության՝ այս առավելագույնը համապատասխանում է գազում մոլեկուլների արագությունների ամենահավանական արժեքին.համակարգ.
Կարևոր արագություններ f(v)
ֆունկցիայի համար
Հավանականության խտության ֆունկցիան f(v) և դրա գրաֆիկական ներկայացումը թույլ են տալիս մեզ սահմանել արագության երեք կարևոր տեսակ:
Առաջին տեսակի արագությունը, որն ակնհայտ է և որը նշվեց վերևում, ամենահավանական արագությունն է v1: Գրաֆիկի վրա դրա արժեքը համապատասխանում է f(v) ֆունկցիայի առավելագույնին։ Հենց այս արագությունն ու դրան մոտ արժեքները կունենան համակարգի մասնիկների մեծ մասը: Այն հաշվարկելը դժվար չէ, դրա համար բավական է վերցնել առաջին ածանցյալը f(v) ֆունկցիայի արագության նկատմամբ և հավասարեցնել այն զրոյի։ Այս մաթեմատիկական գործողությունների արդյունքում մենք ստանում ենք վերջնական արդյունքը՝
v1=√(2RT/M).
Այստեղ R-ը գազի համընդհանուր հաստատունն է, M-ը մոլեկուլների մոլային զանգվածն է:
Արագության երկրորդ տեսակը նրա միջին արժեքն է բոլոր N մասնիկների համար: Նշենք այն v2: Այն կարելի է հաշվարկել՝ ինտեգրելով vf(v) ֆունկցիան բոլոր արագությունների վրա: Նշված ինտեգրման արդյունքը կլինի հետևյալ բանաձևը՝
v2=√(8RT/(piM)).
Քանի որ հարաբերակցությունը 8/pi>2 է, միջին արագությունը միշտ մի փոքր ավելի բարձր է, քան ամենահավանականը։
Յուրաքանչյուր մարդ, ով մի փոքր գիտի ֆիզիկայից, հասկանում է, որ 2 մոլեկուլների միջին արագությունը պետք է մեծ նշանակություն ունենա գազային համակարգում: Այնուամենայնիվ, սա սխալ ենթադրություն է։ Շատ ավելի կարևոր է RMS արագությունը: Նշանակենքv3.
Համաձայն սահմանման՝ արմատ-միջին քառակուսի արագությունը բոլոր մասնիկների առանձին արագությունների քառակուսիների գումարն է՝ բաժանված այս մասնիկների թվի վրա և վերցված որպես քառակուսի արմատ։ Այն կարող է հաշվարկվել Maxwell բաշխման համար, եթե մենք սահմանենք ինտեգրալը v2f(v) ֆունկցիայի բոլոր արագությունների վրա: Միջին քառակուսի արագության բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը՝
v3=√(3RT/M).
Հավասարությունը ցույց է տալիս, որ այս արագությունը մեծ է v2 և v1 ցանկացած գազային համակարգի համար:
Այսպիսով, Մաքսվելի բաշխման գրաֆիկի բոլոր դիտարկված արագությունների տեսակները գտնվում են կա՛մ ծայրամասում, կա՛մ դրա աջ կողմում:
v3-ի կարևորությունը
Վերևում նշվեց, որ միջին քառակուսի արագությունը ավելի կարևոր է գազային համակարգի ֆիզիկական գործընթացներն ու հատկությունները հասկանալու համար, քան պարզ միջին արագությունը v2: Սա ճիշտ է, քանի որ իդեալական գազի կինետիկ էներգիան կախված է հենց v3-ից, և ոչ թե v2-ից:
-ից:
Եթե դիտարկենք միատոմային իդեալական գազ, ապա դրա համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը.
mv32/2=3/2kT.
Այստեղ հավասարման յուրաքանչյուր մասը ներկայացնում է m զանգվածով մեկ մասնիկի կինետիկ էներգիան: Ինչո՞ւ է արտահայտությունը պարունակում հենց v3 արժեքը, և ոչ թե միջին արագությունը v2: Շատ պարզ. յուրաքանչյուր մասնիկի կինետիկ էներգիան որոշելիս նրա անհատական արագությունը v քառակուսի է, ապա բոլոր արագությունները.գումարվում և բաժանվում են N մասնիկների թվով: Այսինքն, կինետիկ էներգիայի որոշման կարգն ինքնին հանգեցնում է միջին քառակուսի արագության արժեքին:
f(v) ֆունկցիայի կախվածությունը ջերմաստիճանից
Վերևում մենք հաստատել ենք, որ մոլեկուլային արագությունների հավանականության խտությունը եզակիորեն կախված է ջերմաստիճանից: Ինչպե՞ս կփոխվի ֆունկցիան, եթե T-ն մեծանա կամ նվազի: Ստորև բերված աղյուսակը կօգնի պատասխանել այս հարցին:
Երևում է, որ փակ համակարգի ջեռուցումը հանգեցնում է գագաթնակետի քսելու և դեպի ավելի բարձր արագությունների տեղափոխմանը։ Ջերմաստիճանի բարձրացումը հանգեցնում է բոլոր տեսակի արագությունների ավելացմանը և դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականության խտության նվազմանը։ Պիկ արժեքը նվազում է փակ համակարգում N մասնիկների քանակի պահպանման պատճառով։
Հաջորդաբար մի երկու խնդիր կլուծենք ստացված տեսական նյութը համախմբելու համար։
Օդում ազոտի մոլեկուլների խնդիր
Անհրաժեշտ է հաշվարկել արագությունները v1, v2 և v3 օդի ազոտի համար 300 Կ ջերմաստիճանում (մոտ 27 oC).
Ազոտի մոլային զանգվածը N2 28 գ/մոլ է: Օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը, մենք ստանում ենք՝
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 մ/վ;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 մ/վ;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 մ/վ:
Թթվածնի տանկի խնդիր
Բալոնում թթվածինը գտնվում էր որոշակի ջերմաստիճանում T1: Այնուհետև օդապարիկը դրվեց ավելի սառը սենյակում։ Ինչպե՞ս կփոխվի թթվածնի մոլեկուլների համար Մաքսվելի արագության բաշխման գծապատկերը, երբ համակարգը գա թերմոդինամիկական հավասարակշռության:
Հիշելով տեսությունը՝ խնդրի հարցին կարող ենք պատասխանել այսպես՝ մոլեկուլների բոլոր տեսակի արագությունների արժեքները կնվազեն, f(v) ֆունկցիայի գագաթնակետը կտեղափոխվի ձախ, դառնալ ավելի նեղ և ավելի բարձր:
