Նույնիսկ դպրոցում մեզանից յուրաքանչյուրը սովորում էր հավասարումներ և, իհարկե, հավասարումների համակարգեր։ Բայց ոչ շատերը գիտեն, որ դրանք լուծելու մի քանի եղանակ կա: Այսօր մենք մանրամասն կվերլուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման բոլոր մեթոդները, որոնք բաղկացած են ավելի քան երկու հավասարություններից։
Պատմություն
Այսօր հայտնի է, որ հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման արվեստը ծագել է Հին Բաբելոնում և Եգիպտոսում: Այնուամենայնիվ, հավասարություններն իրենց սովորական ձևով ի հայտ եկան «=» հավասար նշանի հայտնվելուց հետո, որը 1556 թվականին ներկայացրեց անգլիացի մաթեմատիկոս Ռեքորդը։ Ի դեպ, այս նշանն ընտրվել է մի պատճառով՝ նշանակում է երկու զուգահեռ հավասար հատվածներ։ Իրոք, հավասարության ավելի լավ օրինակ չկա:
Անհայտների և աստիճանների նշանների ժամանակակից տառերի նշանակման հիմնադիրը ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետն է: Սակայն նրա նշանակումները էապես տարբերվում էին այսօրվաից։ Օրինակ՝ անհայտ թվի քառակուսին նա նշել է Q տառով (լատ. «quadratus»), իսկ խորանարդը՝ C տառով (լատ. «cubus»)։ Այս նշանակումներն այժմ անհարմար են թվում, բայց հետոդա գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր գրելու ամենահասկանալի միջոցն էր։
Սակայն այն ժամանակվա լուծման մեթոդների թերությունն այն էր, որ մաթեմատիկոսները դիտարկում էին միայն դրական արմատները։ Թերևս դա պայմանավորված է նրանով, որ բացասական արժեքները գործնական կիրառություն չունեին։ Այսպես թե այնպես, իտալացի մաթեմատիկոսներ Նիկոլո Տարտալիան, Ջերոլամո Կարդանոն և Ռաֆայել Բոմբելլին առաջինն էին, ովքեր 16-րդ դարում բացասական արմատներ էին համարում: Իսկ ժամանակակից տեսքը, քառակուսի հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը (դիսկրիմինանտի միջոցով) ստեղծվել է միայն 17-րդ դարում Դեկարտի և Նյուտոնի աշխատանքի շնորհիվ։
18-րդ դարի կեսերին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Քրամերը գտել է գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը հեշտացնելու նոր միջոց: Այս մեթոդը հետագայում կոչվել է նրա անունով և մինչ օրս մենք օգտագործում ենք այն։ Բայց Կրամերի մեթոդի մասին մենք կխոսենք մի փոքր ուշ, բայց առայժմ կքննարկենք գծային հավասարումները և դրանք համակարգից առանձին լուծելու մեթոդները։
Գծային հավասարումներ
Գծային հավասարումները փոփոխական(ներ)ով ամենապարզ հավասարություններն են: Դրանք դասակարգվում են որպես հանրահաշվական։ Գծային հավասարումները ընդհանուր ձևով գրվում են հետևյալ կերպ. 2+…a x =b. Մեզ անհրաժեշտ կլինի դրանց ներկայացումն այս ձևով համակարգեր և մատրիցներ հետագայում կազմելիս:
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր
Այս տերմինի սահմանումը հետևյալն է. այն հավասարումների մի շարք է, որոնք ունեն ընդհանուր անհայտներ և ընդհանուր լուծում: Որպես կանոն, դպրոցում ամեն ինչ որոշվում էր համակարգերովերկու կամ նույնիսկ երեք հավասարումներով: Բայց կան համակարգեր չորս և ավելի բաղադրիչներով: Եկեք նախ պարզենք, թե ինչպես դրանք գրի առնել, որպեսզի հետո հարմար լինի դրանք լուծել։ Նախ, գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերը ավելի լավ տեսք կունենան, եթե բոլոր փոփոխականները գրվեն x-ով՝ համապատասխան ինդեքսով՝ 1, 2, 3 և այլն: Երկրորդ, բոլոր հավասարումները պետք է կրճատվեն մինչև կանոնական ձև՝ a1x1+a2 x 2+…a x =բ.
Այս բոլոր քայլերից հետո մենք կարող ենք սկսել խոսել այն մասին, թե ինչպես գտնել գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը: Մատրիցները շատ օգտակար կլինեն դրա համար։
Մատրիցներ
Մատրիցը աղյուսակ է, որը բաղկացած է տողերից և սյունակներից, և դրա տարրերը գտնվում են դրանց խաչմերուկում: Սրանք կարող են լինել կամ հատուկ արժեքներ կամ փոփոխականներ: Ամենից հաճախ տարրեր նշանակելու համար դրանց տակ են դրվում ենթագրեր (օրինակ՝ a11 կամ a23): Առաջին ինդեքսը նշանակում է տողի համարը, իսկ երկրորդը՝ սյունակի համարը։ Մատրիցների վրա, ինչպես նաև ցանկացած այլ մաթեմատիկական տարրի վրա կարող եք կատարել տարբեր գործողություններ: Այսպիսով, դուք կարող եք՝
1) հանել և ավելացնել նույն չափի աղյուսակները:
2) բազմապատկել մատրիցը որոշ թվով կամ վեկտորով:
3) Փոխակերպում. մատրիցային տողերը վերածեք սյունակների, իսկ սյունակները՝ տողերի:
4) Բազմապատկեք մատրիցները, եթե դրանցից մեկի տողերի թիվը հավասար է մյուսի սյունակների թվին:
Մենք կքննարկենք այս բոլոր տեխնիկան ավելի մանրամասն, քանի որ դրանք մեզ օգտակար կլինեն ապագայում: Մատրիցներ հանելը և ավելացնելը շատ հեշտ է։ Այսպիսովքանի որ մենք վերցնում ենք նույն չափի մատրիցներ, ապա մի աղյուսակի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է մյուսի յուրաքանչյուր տարրին: Այսպիսով, մենք ավելացնում ենք (հանում) այս երկու տարրերը (կարևոր է, որ դրանք լինեն նույն տեղերում իրենց մատրիցներում): Մատրիցը թվով կամ վեկտորով բազմապատկելիս պետք է պարզապես մատրիցի յուրաքանչյուր տարր բազմապատկել այդ թվով (կամ վեկտորով): Տրանսպոզիցիան շատ հետաքրքիր գործընթաց է։ Երբեմն շատ հետաքրքիր է դա տեսնել իրական կյանքում, օրինակ՝ պլանշետի կամ հեռախոսի կողմնորոշումը փոխելիս։ Սեղանի պատկերակները մատրիցա են, և երբ դուք փոխում եք դիրքը, այն փոխադրվում է և ավելի լայնանում, բայց բարձրությունը նվազում է:
Եկեք ևս մեկ նայենք այնպիսի գործընթացին, ինչպիսին է մատրիցային բազմապատկումը: Թեեւ դա մեզ օգտակար չի լինի, այնուամենայնիվ օգտակար կլինի իմանալ։ Դուք կարող եք բազմապատկել երկու մատրիցա միայն այն դեպքում, եթե մի աղյուսակի սյունակների թիվը հավասար է մյուսի տողերի թվին: Այժմ վերցնենք մի մատրիցի տողի տարրերը և մյուսի համապատասխան սյունակի տարրերը։ Մենք դրանք բազմապատկում ենք միմյանցով և այնուհետև ավելացնում (այսինքն, օրինակ, a11 և a12 տարրերի արտադրյալը b-ով: 12և b22 հավասար կլինեն՝ a11b12 + a 12 b22): Այսպիսով, ստացվում է աղյուսակի մեկ տարր, և այն լրացվում է նմանատիպ մեթոդով։
Այժմ մենք կարող ենք սկսել նայել, թե ինչպես է լուծվում գծային հավասարումների համակարգը:
Գաուսի մեթոդ
Այս թեման սկսում է անցնել նույնիսկ դպրոցում։ Մենք լավ գիտենք «երկու գծային հավասարումների համակարգ» հասկացությունը և գիտենք ինչպես լուծել դրանք։Բայց ի՞նչ, եթե հավասարումների թիվը երկուսից ավելի է: Այս հարցում մեզ կօգնի Գաուսի մեթոդը։
Իհարկե, այս մեթոդը հարմար է օգտագործել, եթե համակարգից դուրս մատրից եք պատրաստում: Բայց դուք չեք կարող փոխակերպել այն և լուծել այն իր մաքուր ձևով:
Այսպիսով, ինչպե՞ս է այս մեթոդը լուծում Գաուսի գծային հավասարումների համակարգը: Ի դեպ, թեեւ այս մեթոդը նրա անունով է կոչվում, սակայն այն հայտնաբերվել է դեռ հին ժամանակներում։ Գաուսն առաջարկում է հետևյալը. կատարել գործողություններ հավասարումներով, որպեսզի ի վերջո ամբողջ բազմությունը հասցվի աստիճանական ձևի: Այսինքն՝ անհրաժեշտ է, որ վերևից ներքև (եթե ճիշտ է դրված) առաջին հավասարումից մինչև վերջինը պակասի մեկ անհայտ։ Այսինքն՝ պետք է այնպես անենք, որ ստանանք, ասենք, երեք հավասարումներ՝ առաջինում՝ երեք անհայտ, երկրորդում՝ երկու, երրորդում՝ մեկ։ Այնուհետև վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք առաջին անհայտը, դրա արժեքը փոխարինում ենք երկրորդ կամ առաջին հավասարմամբ, այնուհետև գտնում ենք մնացած երկու փոփոխականները:
Cramer մեթոդ
Այս մեթոդին տիրապետելու համար կենսականորեն կարևոր է տիրապետել մատրիցների գումարման, հանման հմտություններին, ինչպես նաև պետք է կարողանաք գտնել որոշիչները: Հետևաբար, եթե այս ամենը վատ եք անում կամ ընդհանրապես չգիտեք, թե ինչպես, ստիպված կլինեք սովորել և զբաղվել:
Ո՞րն է այս մեթոդի էությունը և ինչպե՞ս այն դարձնել այնպես, որ ստացվի գծային Կրամերի հավասարումների համակարգ: Ամեն ինչ շատ պարզ է. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի թվային (գրեթե միշտ) գործակիցներից պետք է մատրիցա կառուցենք։ Դա անելու համար պարզապես վերցրեք թվերը անհայտների դիմաց և դասավորեք դրանքաղյուսակը համակարգում գրանցված հերթականությամբ: Եթե թվին նախորդում է «-» նշանը, ապա գրում ենք բացասական գործակից։ Այսպիսով, մենք կազմել ենք առաջին մատրիցը անհայտների գործակիցներից՝ չներառելով հավասար նշաններից հետո թվերը (բնականաբար, հավասարումը պետք է իջեցնել կանոնական ձևի, երբ միայն թիվն է աջ կողմում, իսկ բոլոր անհայտները՝ գործակիցները ձախ կողմում): Այնուհետև դուք պետք է ստեղծեք ևս մի քանի մատրիցներ՝ յուրաքանչյուր փոփոխականի համար մեկը: Դա անելու համար մենք հերթով փոխարինում ենք յուրաքանչյուր սյունակ գործակիցներով առաջին մատրիցով հավասար նշանից հետո թվերի սյունակով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք մի քանի մատրիցներ և այնուհետև գտնում դրանց որոշիչները:
Որովհետև մենք գտել ենք որոշիչները, գործը փոքր է: Մենք ունենք նախնական մատրիցա, և ստացված մի քանի մատրիցներ կան, որոնք համապատասխանում են տարբեր փոփոխականների: Համակարգի լուծումները ստանալու համար ստացված աղյուսակի որոշիչը բաժանում ենք սկզբնական աղյուսակի որոշիչի վրա։ Ստացված թիվը փոփոխականներից մեկի արժեքն է։ Նմանապես, մենք գտնում ենք բոլոր անհայտները:
Այլ մեթոդներ
Գոյություն ունեն ևս մի քանի մեթոդներ գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը ստանալու համար: Օրինակ՝ այսպես կոչված Գաուս-Հորդանանի մեթոդը, որն օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների համակարգի լուծումներ գտնելու համար և կապված է նաև մատրիցների օգտագործման հետ։ Գոյություն ունի նաև Jacobi մեթոդը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման համար։ Այն ամենահեշտն է հարմարվել համակարգչին և օգտագործվում է հաշվում:
Դժվար դեպքեր
Բարդությունը սովորաբար առաջանում է, երբ հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից: Ապա վստահաբար կարելի է ասել, որ կա՛մ համակարգը անհամապատասխան է (այսինքն՝ արմատներ չունի), կա՛մ նրա լուծումների թիվը հակված է դեպի անսահմանություն։ Եթե ունենք երկրորդ դեպքը, ապա պետք է գրել գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը։ Այն կպարունակի առնվազն մեկ փոփոխական:
Եզրակացություն
Ահա մենք մոտենում ենք ավարտին: Ամփոփելով՝ մենք վերլուծել ենք, թե ինչ է համակարգը և մատրիցը, սովորել ենք, թե ինչպես գտնել գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը: Բացի այդ, դիտարկվել են այլ տարբերակներ։ Մենք պարզեցինք, թե ինչպես է լուծվում գծային հավասարումների համակարգը՝ Գաուսի մեթոդը և Կրամերի մեթոդը։ Խոսեցինք դժվար դեպքերի և լուծումներ գտնելու այլ ուղիների մասին։
Իրականում այս թեման շատ ավելի ծավալուն է, և եթե ցանկանում եք այն ավելի լավ հասկանալ, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ ավելի մասնագիտացված գրականություն:
