Պրիզմա բավականին պարզ երկրաչափական եռաչափ պատկեր է: Այնուամենայնիվ, որոշ դպրոցականներ խնդիրներ ունեն դրա հիմնական հատկությունները որոշելու հարցում, որի պատճառը, որպես կանոն, կապված է ոչ ճիշտ օգտագործված տերմինաբանության հետ։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք, թե ինչ են պրիզմաները, ինչպես են դրանք կոչվում, ինչպես նաև մանրամասն նկարագրելու ենք ճիշտ քառանկյուն պրիզմա:
Պրիզմա երկրաչափության մեջ
Եռաչափ պատկերների ուսումնասիրությունը ստերեոմետրիայի խնդիր է՝ տարածական երկրաչափության կարևոր մաս: Ստերեոմետրիայում պրիզմա հասկացվում է որպես այդպիսի պատկեր, որը ձևավորվում է տարածության որոշակի հեռավորության վրա կամայական հարթ բազմանկյունի զուգահեռ թարգմանությամբ։ Զուգահեռ թարգմանությունը ենթադրում է շարժում, որի ժամանակ պտույտը պոլիգոնի հարթությանը ուղղահայաց առանցքի շուրջ ամբողջությամբ բացառված է։
Պրիզմայի ստացման նկարագրված եղանակի արդյունքում ձևավորվում է մի գործիչ՝ սահմանափակված երկուսով.միևնույն չափեր ունեցող բազմանկյուններ, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում և որոշակի թվով զուգահեռներ: Նրանց թիվը համընկնում է բազմանկյան կողմերի (գագաթների) թվի հետ։ Նույնական բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, և դրանց մակերեսը հիմքերի մակերեսն է: Երկու հիմքերը միացնող զուգահեռագծերը կազմում են կողային մակերես։
Պրիզմայի տարրեր և Էյլերի թեորեմ
Քանի որ դիտարկվող եռաչափ պատկերը բազմանիստ է, այսինքն՝ կազմված է հատվող հարթությունների բազմությամբ, այն բնութագրվում է որոշակի թվով գագաթներով, եզրերով և դեմքերով։ Դրանք բոլորը պրիզմայի տարրեր են։
18-րդ դարի կեսերին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլերը կապ հաստատեց պոլիէդրոնի հիմնական տարրերի թվի միջև։ Այս հարաբերությունը գրված է հետևյալ պարզ բանաձևով.
Ծայրերի քանակը=գագաթների թիվը + երեսների քանակը - 2
Ցանկացած պրիզմայի համար այս հավասարությունը ճշմարիտ է: Բերենք դրա օգտագործման օրինակ. Ենթադրենք կա կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա։ Նա պատկերված է ստորև։
Կարելի է տեսնել, որ նրա գագաթների թիվը 8 է (յուրաքանչյուր քառանկյուն հիմքի համար 4): Կողմերի կամ երեսների թիվը 6 է (2 հիմք և 4 կողային ուղղանկյուն): Այնուհետև դրա եզրերի թիվը կլինի՝
Կողերի քանակը=8 + 6 - 2=12
Բոլորը կարելի է հաշվել, եթե վերաբերվում եք նույն նկարին։ Ութ եզրեր ընկած են հիմքերի վրա, և չորս եզրեր ուղղահայաց են այս հիմքերին:
Պրիզմաների ամբողջական դասակարգում
Կարևոր է հասկանալ այս դասակարգումը, որպեսզի հետագայում չշփոթվեք տերմինաբանության մեջ և օգտագործեք ճիշտ բանաձևեր՝ հաշվարկելու համար, օրինակ, թվերի մակերեսը կամ ծավալը:
Ցանկացած կամայական ձևի պրիզմայի համար կարելի է առանձնացնել 4 հատկանիշ, որոնք կբնութագրեն այն։ Թվարկենք դրանք՝
- Հիմքի վրա գտնվող բազմանկյան անկյունների քանակով՝ եռանկյուն, հնգանկյուն, ութանկյուն և այլն։
- Բազմանկյունի տեսակ։ Դա կարող է լինել ճիշտ կամ սխալ: Օրինակ՝ ուղղանկյուն եռանկյունը անկանոն է, բայց հավասարակողմ եռանկյունը ճիշտ է։
- Ըստ բազմանկյան ուռուցիկության տեսակի. Այն կարող է լինել գոգավոր կամ ուռուցիկ: Ուռուցիկ պրիզմաները ամենատարածվածն են:
- Հիմքերի և կողային զուգահեռագծի անկյուններում: Եթե այս բոլոր անկյունները հավասար են 90o-ի, ապա դրանք խոսում են ուղիղ պրիզմայի մասին, եթե ոչ բոլորն են ճիշտ, ապա նման պատկերը կոչվում է թեք:
:
Այս բոլոր կետերից ես կցանկանայի կանգ առնել վերջինի վրա: Ուղղակի պրիզմա կոչվում է նաև ուղղանկյուն պրիզմա։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ դրա համար զուգահեռականները ընդհանուր դեպքում ուղղանկյուն են (որոշ դեպքերում դրանք կարող են լինել քառակուսիներ):
Օրինակ, վերևի նկարը ցույց է տալիս հնգանկյուն գոգավոր ուղղանկյուն կամ ուղիղ պատկեր:
Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա
Այս պրիզմայի հիմքը կանոնավոր քառանկյուն է, այսինքն՝ քառակուսի։ Վերևի նկարն արդեն ցույց է տվել, թե ինչ տեսք ունի այս պրիզման: Ի լրումն երկու քառակուսիների, որոնք նրանսահմանափակել վերևից և ներքևից, այն ներառում է նաև 4 ուղղանկյուն:
Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը նշանակենք a տառով, նրա կողային եզրի երկարությունը կնշանակվի c տառով։ Այս երկարությունը նաև գործչի բարձրությունն է: Այնուհետև այս պրիզմայի ամբողջ մակերեսի մակերեսը արտահայտվում է բանաձևով՝
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Այստեղ առաջին անդամը արտացոլում է հիմքերի ներդրումը ընդհանուր մակերեսին, երկրորդ անդամը կողային մակերեսի մակերեսն է:
Հաշվի առնելով կողմերի երկարությունների ներդրված նշանակումները՝ մենք գրում ենք տվյալ գործչի ծավալի բանաձևը՝
V=a2c
Այսինքն՝ ծավալը հաշվարկվում է որպես քառակուսի հիմքի մակերեսի և կողային եզրի երկարության արտադրյալ։
Խորանարդի ձև
Բոլորը գիտեն այս իդեալական եռաչափ պատկերը, սակայն քչերին էր թվում, որ այն կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա է, որի կողմը հավասար է քառակուսի հիմքի կողմի երկարությանը, այսինքն՝ c=a։
Խորանարդի համար ընդհանուր մակերեսի և ծավալի բանաձևերը կունենան հետևյալ ձևը՝
S=6a2
V=a3
Քանի որ խորանարդը պրիզմա է, որը բաղկացած է 6 նույնական քառակուսուց, դրանց ցանկացած զուգահեռ զույգ կարելի է համարել հիմք:
Խորանարդը խիստ սիմետրիկ պատկեր է, որը բնության մեջ իրացվում է բազմաթիվ մետաղական նյութերի բյուրեղային ցանցերի և իոնային բյուրեղների տեսքով։ Օրինակ՝ ոսկու, արծաթի, պղնձի և սեղանի վանդակաճաղերաղերը խորանարդ են։
