Քառանկյուն պրիզմա՝ բարձրություն, շեղանկյուն, մակերես

2025 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2025-01-23 12:25

Պինդ երկրաչափության դպրոցական դասընթացում երեք տարածական առանցքների երկայնքով ոչ զրոյական չափեր ունեցող ամենապարզ պատկերներից մեկը քառանկյուն պրիզմա է: Հոդվածում նկատի ունեցեք, թե ինչ կերպար է այն, ինչ տարրերից է այն բաղկացած, ինչպես նաև ինչպես կարող եք հաշվարկել դրա մակերեսն ու ծավալը։

Պրիզմայի հայեցակարգ

Երկրաչափության մեջ պրիզմա տարածական պատկեր է, որը ձևավորվում է երկու նույնական հիմքերով և կողային մակերեսներով, որոնք միացնում են այս հիմքերի կողմերը։ Նկատի ունեցեք, որ երկու հիմքերն էլ փոխակերպվում են միմյանց՝ օգտագործելով որոշ վեկտորի զուգահեռ թարգմանության գործողությունը: Պրիզմայի այս նշանակումը հանգեցնում է նրան, որ նրա բոլոր կողմերը միշտ զուգահեռ են։

Հիմքի կողմերի թիվը կարող է կամայական լինել՝ սկսած երեքից։ Երբ այս թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն, պրիզման սահուն կերպով վերածվում է գլանակի, քանի որ դրա հիմքը դառնում է շրջան, իսկ կողային զուգահեռականները, միանալով, կազմում են գլանաձև մակերես։

Ինչպես ցանկացած բազմանիստ, պրիզման բնութագրվում էկողմերը (հարթությունները, որոնք կապում են նկարը), եզրերը (հատվածները, որոնց երկայնքով հատվում են ցանկացած երկու կողմ) և գագաթները (երեք կողմերի հանդիպման կետերը, պրիզմայի համար դրանցից երկուսը կողային են, իսկ երրորդը հիմքն է): Նկարի անվանված երեք տարրերի մեծությունները փոխկապակցված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

P=C + B - 2

Այստեղ P, C և B-ը համապատասխանաբար եզրերի, կողմերի և գագաթների թիվն են: Այս արտահայտությունը Էյլերի թեորեմի մաթեմատիկական նշումն է։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս երկու պրիզմա: Դրանցից մեկի (Ա) հիմքում ընկած է կանոնավոր վեցանկյուն, իսկ կողային կողմերը ուղղահայաց են հիմքերին։ Բ նկարը ցույց է տալիս մեկ այլ պրիզմա: Նրա կողմերն այլևս ուղղահայաց չեն հիմքերին, իսկ հիմքը կանոնավոր հնգանկյուն է։

Ի՞նչ է քառանկյուն պրիզմա:

Ինչպես պարզ է վերևի նկարագրությունից, պրիզմայի տեսակը հիմնականում որոշվում է հիմքը կազմող բազմանկյունի տեսակով (երկու հիմքերն էլ նույնն են, ուստի կարող ենք խոսել դրանցից մեկի մասին): Եթե այս բազմանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա մենք ստանում ենք քառանկյուն պրիզմա։ Այսպիսով, այս տեսակի պրիզմայի բոլոր կողմերը զուգահեռականներ են։ Քառանկյուն պրիզման ունի իր անունը՝ զուգահեռատիպ:

Զուգահեռականի կողմերի թիվը վեց է, և յուրաքանչյուր կողմ ունի իր նման զուգահեռ: Քանի որ տուփի հիմքերը երկու կողմ են, մնացած չորսը կողային են։

Զուգահեռականի գագաթների թիվը ութ է, ինչը հեշտ է տեսնել, եթե հիշենք, որ պրիզմայի գագաթները ձևավորվում են միայն հիմնական բազմանկյունների գագաթներում (4x2=8): Կիրառելով Էյլերի թեորեմը՝ ստանում ենք եզրերի թիվը՝

P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12

12 կողերից միայն 4-ն են կողքերից անկախ գոյանում։ Մնացած 8-ը ընկած են նկարի հիմքերի հարթություններում։

Հոդվածում հետագայում կխոսենք միայն քառանկյուն պրիզմաների մասին։

Զուգահեռականների տեսակները

Դասակարգման առաջին տեսակը հիմքում ընկած զուգահեռագծի առանձնահատկություններն են: Այն կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

• կանոնավոր, որի անկյունները հավասար չեն 90^o;
• ուղղանկյուն;
• քառակուսին կանոնավոր քառանկյուն է:

Դասակարգման երկրորդ տեսակը այն անկյունն է, որով կողմը հատում է հիմքը: Այստեղ հնարավոր է երկու տարբեր դեպք՝

• այս անկյունը ուղիղ չէ, ապա պրիզման կոչվում է թեք կամ թեք;
• անկյունը 90^o է, ապա այդպիսի պրիզման ուղղանկյուն է կամ ուղղակի ուղիղ:

Դասակարգման երրորդ տեսակը կապված է պրիզմայի բարձրության հետ։ Եթե պրիզման ուղղանկյուն է, իսկ հիմքը՝ քառակուսի կամ ուղղանկյուն, ապա այն կոչվում է խորանարդ։ Եթե հիմքում քառակուսի է, պրիզման ուղղանկյուն է, իսկ բարձրությունը հավասար է քառակուսու կողմի երկարությանը, ապա ստանում ենք հայտնի խորանարդային պատկերը։

Պրիզմայի մակերես և մակերես

Բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք գտնվում են պրիզմայի երկու հիմքերի վրա(զուգահեռանկարներ) և նրա կողքերում (չորս զուգահեռներ) կազմում են նկարի մակերեսը։ Այս մակերեսի տարածքը կարելի է հաշվարկել՝ հաշվարկելով հիմքի տարածքը և այս արժեքը կողային մակերեսի համար: Այնուհետև դրանց գումարը կտա ցանկալի արժեքը։ Մաթեմատիկորեն սա գրված է հետևյալ կերպ՝

S=2S_o+ S_b

Այստեղ S_o և S_b -ը համապատասխանաբար հիմքի և կողային մակերեսի մակերեսն են: S_o-ից առաջ հայտնվում է 2 թիվը, քանի որ կա երկու հիմք:

Նշեք, որ գրավոր բանաձևը վավեր է ցանկացած պրիզմայի, և ոչ միայն քառանկյուն պրիզմայի մակերեսի համար:

Օգտակար է հիշել, որ S_p զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով՝

S_p=ah

Այնտեղ, որտեղ a և h խորհրդանիշները համապատասխանաբար նշանակում են նրա կողմերից մեկի երկարությունը և դեպի այս կողմ գծված բարձրությունը:

Քառակուսի հիմքով ուղղանկյուն պրիզմայի մակերեսը

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայում հիմքը քառակուսի է: Որոշակիության համար նրա կողմը նշում ենք ա տառով։ Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի տարածքը հաշվարկելու համար դուք պետք է իմանաք դրա բարձրությունը: Ըստ այս մեծության սահմանման՝ այն հավասար է մի հիմքից մյուսն ընկած ուղղահայաց երկարությանը, այսինքն՝ հավասար է նրանց միջև եղած հեռավորությանը։ Նշանակենք հ տառով։ Քանի որ բոլոր կողային երեսները ուղղահայաց են պրիզմայի տիպի հիմքերին, կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի բարձրությունը հավասար կլինի նրա կողային եզրի երկարությանը:

BՊրիզմայի մակերեսի ընդհանուր բանաձևը երկու անդամ է: Հիմքի մակերեսն այս դեպքում հեշտ է հաշվարկել, այն հավասար է՝

S_o=a²

Կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկելու համար մենք վիճում ենք հետևյալ կերպ՝ այս մակերեսը ձևավորվում է 4 միանման ուղղանկյուններով։ Ընդ որում, նրանցից յուրաքանչյուրի կողմերը հավասար են a-ի և h-ի: Սա նշանակում է, որ S_b-ի մակերեսը հավասար կլինի՝

S_b=4ah

Նշեք, որ 4a արտադրյալը քառակուսի հիմքի պարագիծն է: Եթե այս արտահայտությունը ընդհանրացնենք կամայական հիմքի դեպքում, ապա ուղղանկյուն պրիզմայի համար կողային մակերեսը կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ.

S_b=P_oh

Որտեղ P_o հիմքի պարագիծն է։

Վերադառնալով կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի մակերեսը հաշվարկելու խնդրին, մենք կարող ենք գրել վերջնական բանաձևը՝

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 ah=2a(a+2h)

Թեք զուգահեռականի մակերես

Դրա հաշվարկը որոշ չափով ավելի դժվար է, քան ուղղանկյունի համար: Այս դեպքում քառանկյուն պրիզմայի բազային տարածքը հաշվարկվում է նույն բանաձևով, ինչ զուգահեռագծի համար: Փոփոխությունները վերաբերում են կողային մակերեսի որոշման ձևին:

Դա անելու համար օգտագործեք նույն բանաձևը պարագծի միջով, ինչպես տրված է վերը նշված պարբերությունում: Միայն հիմա այն կունենա մի փոքր տարբեր բազմապատկիչներ։ S_b-ի ընդհանուր բանաձևը թեք պրիզմայի դեպքում հետևյալն է՝

S_b=P_src

Ահա c-ն նկարի կողային եզրի երկարությունն է:P_sr արժեքը ուղղանկյուն հատվածի պարագիծն է: Այս միջավայրը կառուցված է հետևյալ կերպ՝ անհրաժեշտ է բոլոր կողային երեսները հատել հարթությամբ, որպեսզի այն ուղղահայաց լինի բոլորին։ Ստացված ուղղանկյունը կլինի ցանկալի կտրվածքը։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս թեք տուփի օրինակ: Նրա խաչաձև հատվածը կողքերի հետ ուղիղ անկյուններ է կազմում։ Հատվածի պարագիծը P_sr է: Կազմվում է կողային զուգահեռականների չորս բարձրությամբ։ Այս քառանկյուն պրիզմայի համար կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով։

Խորանարդի անկյունագծի երկարությունը

Զուգահեռագծի անկյունագիծը մի հատված է, որը միացնում է երկու գագաթներ, որոնք չունեն դրանք կազմող ընդհանուր կողմեր: Ցանկացած քառանկյուն պրիզմայում կա ընդամենը չորս անկյունագիծ: Իր հիմքում ուղղանկյուն ունեցող խորանարդի համար բոլոր անկյունագծերի երկարությունները հավասար են միմյանց:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս համապատասխան ցուցանիշը: Կարմիր հատվածը նրա անկյունագիծն է։

Դրա երկարությունը հաշվելը շատ պարզ է, եթե հիշում եք Պյութագորասի թեորեմը։ Յուրաքանչյուր ուսանող կարող է ստանալ ցանկալի բանաձեւը. Այն ունի հետևյալ ձևը՝

D=√(A²+ B² + C²)

Այստեղ D-ն անկյունագծի երկարությունն է: Մնացած նիշերը տուփի կողմերի երկարություններն են:

Շատերը շփոթում են զուգահեռականի անկյունագիծը նրա կողմերի անկյունագծերի հետ: Ստորև բերված է նկար, որտեղ գունավորհատվածները ներկայացնում են նկարի կողմերի անկյունագծերը։

Նրանցից յուրաքանչյուրի երկարությունը նույնպես որոշվում է Պյութագորասի թեորեմով և հավասար է համապատասխան կողմերի երկարությունների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատին։

Պրիզմայի ծավալ

Բացի կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի կամ այլ տեսակի պրիզմայի մակերեսից, որոշ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար պետք է նաև իմանալ դրանց ծավալը: Բացարձակ ցանկացած պրիզմայի համար այս արժեքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով՝

V=S_oh

Եթե պրիզման ուղղանկյուն է, ապա բավական է հաշվարկել դրա հիմքի մակերեսը և այն բազմապատկել կողմի եզրի երկարությամբ՝ պատկերի ծավալը ստանալու համար։

Եթե պրիզման կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա է, ապա դրա ծավալը կլինի՝

V=a²h.

Հեշտ է տեսնել, որ այս բանաձևը վերածվում է խորանարդի ծավալի արտահայտության, եթե h կողային եզրի երկարությունը հավասար է a հիմքի կողմին:

Խնդիր խորանարդի հետ

Ուսումնասիրված նյութը համախմբելու համար կլուծենք հետևյալ խնդիրը՝ կա ուղղանկյուն զուգահեռագիծ, որի կողմերն են 3սմ, 4սմ և 5սմ։Պետք է հաշվարկել մակերեսի մակերեսը,անկյունի երկարությունը և ծավալը։

Հստակության համար կենթադրենք, որ նկարի հիմքը 3 սմ և 4 սմ կողմերով ուղղանկյուն է, ապա դրա մակերեսը 12 սմ², իսկ կետը. 14 սմ է։ Օգտագործելով պրիզմայի մակերեսի բանաձևը՝ ստանում ենք՝

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94 սմ2

Շեղանկյունի երկարությունը և նկարի ծավալը որոշելու համար կարող եք ուղղակիորեն օգտագործել վերը նշված արտահայտությունները.

D=√(3²+4²+5²)=7 071 սմ;

V=345=60սմ³.

Խնդիր թեք զուգահեռադիրի հետ

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս թեք պրիզմա: Նրա կողմերը հավասար են՝ a=10 սմ, b=8 սմ, c=12 սմ։ Պետք է գտնել այս նկարի մակերեսը։

Նախ, եկեք որոշենք հիմքի մակերեսը: Նկարը ցույց է տալիս, որ սուր անկյունը 50^o է: Այնուհետև դրա մակերեսը կազմում է`

S_o=ha=մեղք(50^o)ba

Կողային մակերեսի մակերեսը որոշելու համար պետք է գտնել ստվերավորված ուղղանկյան պարագիծը: Այս ուղղանկյան կողմերն են՝ asin(45^o) և bsin(60^o): Այնուհետև այս ուղղանկյան պարագիծը հետևյալն է՝

P_sr=2(asin(45^o)+bsin(60^o))

Այս տուփի ընդհանուր մակերեսը կազմում է.

S=2S_o+ S_b=2(մեղք(50^o)ba + acsin(45^o) + bcsin(60^o))

Խնդիրի վիճակից ստացված տվյալները փոխարինում ենք նկարի կողմերի երկարություններով, ստանում ենք պատասխանը՝

S=458, 5496 սմ³

Այս խնդրի լուծումից երևում է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն օգտագործվում են թեք թվերի մակերեսները որոշելու համար։