Ծավալը ցանկացած գործչի բնութագիր է, որն ունի ոչ զրոյական չափեր տարածության բոլոր երեք չափումներում: Այս հոդվածում, ստերեոմետրիայի տեսանկյունից (տարածական պատկերների երկրաչափություն) մենք կդիտարկենք պրիզմա և ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել տարբեր տեսակի պրիզմաների ծավալները։
Ի՞նչ է պրիզմա?
Ստերեոմետրիան ունի այս հարցի ճշգրիտ պատասխանը: Դրանում պրիզմա հասկացվում է որպես երկու միանման բազմանկյուն դեմքերով և մի քանի զուգահեռագծերով կազմված պատկեր: Ստորև նկարը ցույց է տալիս չորս տարբեր պրիզմաներ։
Դրանցից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ՝ անհրաժեշտ է վերցնել բազմանկյուն (եռանկյուն, քառանկյուն և այլն) և որոշակի երկարության հատված։ Այնուհետև բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթ պետք է զուգահեռ հատվածների միջոցով տեղափոխվի մեկ այլ հարթություն: Նոր հարթությունում, որը զուգահեռ կլինի սկզբնականին, կստացվի նոր բազմանկյուն, որը նման է սկզբում ընտրվածին։
Պրիզմաները կարող են լինել տարբեր տեսակի: Այսպիսով, դրանք կարող են լինել ուղիղ, թեք և ճիշտ: Եթե պրիզմայի կողային եզրը (հատված,միացնելով հիմքերի գագաթները) նկարի հիմքերին ուղղահայաց, ապա վերջինս ուղիղ գիծ է։ Ըստ այդմ, եթե այս պայմանը չկատարվի, ապա խոսքը թեք պրիզմայի մասին է։ Կանոնավոր պատկերը ուղիղ պրիզմա է՝ հավասարանկյուն և հավասարակողմ հիմքով։
Հոդվածում ավելի ուշ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այս տեսակի պրիզմաներից յուրաքանչյուրի ծավալը:
Կանոնավոր պրիզմաների ծավալը
Սկսենք ամենապարզ դեպքից։ Տալիս ենք n-անկյունային հիմքով կանոնավոր պրիզմայի ծավալի բանաձևը։ Դիտարկվող դասի ցանկացած թվի V ծավալի բանաձևը հետևյալն է.
V=Soh.
Այսինքն՝ ծավալը որոշելու համար բավական է հաշվարկել So հիմքերից մեկի մակերեսը և այն բազմապատկել նկարի h բարձրությամբ։
Կանոնավոր պրիզմայի դեպքում նրա հիմքի կողմի երկարությունը a տառով նշանակենք, իսկ բարձրությունը, որը հավասար է կողային եզրի երկարությանը, h տառով։ Եթե n-gon-ի հիմքը ճիշտ է, ապա դրա տարածքը հաշվարկելու ամենահեշտ ձևը հետևյալ համընդհանուր բանաձևի օգտագործումն է՝
S=n/4a2ctg(pi/n).
Փոխարինելով n կողմերի քանակի արժեքը և մի կողմի երկարությունը a հավասարության մեջ՝ կարող եք հաշվարկել n-անկյունային հիմքի մակերեսը։ Նկատի ունեցեք, որ կոտանգենս ֆունկցիան այստեղ հաշվարկվում է pi/n անկյան համար, որն արտահայտվում է ռադիաններով։
Հաշվի առնելով S-ի համար գրված հավասարությունը՝ մենք ստանում ենք կանոնավոր պրիզմայի ծավալի վերջնական բանաձևը՝
V=n/4a2hctg(pi/n).
Յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար կարող եք գրել V-ի համապատասխան բանաձևերը, բայց դրանք բոլորըեզակիորեն հետևում են գրավոր ընդհանուր արտահայտությունից. Օրինակ՝ կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի համար, որն ընդհանուր դեպքում ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ է, ստանում ենք՝
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 ժ.
Եթե այս արտահայտության մեջ վերցնենք h=a, ապա կստանանք խորանարդի ծավալի բանաձևը։
Ուղիղ պրիզմաների ծավալը
Անմիջապես նշում ենք, որ ուղիղ թվերի համար գոյություն չունի ծավալը հաշվարկելու ընդհանուր բանաձև, որը վերը տրված է կանոնավոր պրիզմաների համար: Հարցի արժեքը գտնելիս պետք է օգտագործվի բնօրինակ արտահայտությունը՝
V=Soh.
Այստեղ h-ն կողային եզրի երկարությունն է, ինչպես նախորդ դեպքում: Ինչ վերաբերում է So բազային տարածքին, այն կարող է ընդունել տարբեր արժեքներ: Ծավալի ուղիղ պրիզմա հաշվարկելու խնդիրը կրճատվում է նրա հիմքի մակերեսը գտնելով:
So-ի արժեքի հաշվարկը պետք է իրականացվի հենց բազայի բնութագրերի հիման վրա: Օրինակ, եթե դա եռանկյուն է, ապա մակերեսը կարելի է հաշվարկել այսպես՝
So3=1/2aha.
Այստեղ ha եռանկյան ապոտեմն է, այսինքն՝ նրա բարձրությունն իջեցված է մինչև a հիմքը:
Եթե հիմքը քառանկյուն է, ապա այն կարող է լինել trapezoid, զուգահեռագիծ, ուղղանկյուն կամ ամբողջովին կամայական տեսակ: Այս բոլոր դեպքերի համար դուք պետք է օգտագործեք համապատասխան պլանաչափության բանաձևը՝ տարածքը որոշելու համար: Օրինակ, trapezoid-ի համար այս բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Այնտեղ, որտեղ ha-ը տրապիզոնի բարձրությունն է, a1 և a2 երկարությունները դրա զուգահեռ կողմերից.
Ավելի բարձր կարգի բազմանկյունների մակերեսը որոշելու համար պետք է դրանք բաժանել պարզ ձևերի (եռանկյուններ, քառանկյուններ) և հաշվել վերջիններիս մակերեսների գումարը։
Tilted Prism Volume
Սա պրիզմայի ծավալը հաշվելու ամենադժվար դեպքն է։ Նման թվերի ընդհանուր բանաձևը նույնպես կիրառվում է՝
V=Soh.
Սակայն բազմանկյունի կամայական տիպը ներկայացնող հիմքի մակերեսը գտնելու բարդությանը ավելացվում է գործչի բարձրությունը որոշելու խնդիրը։ Այն միշտ փոքր է կողային եզրի երկարությունից թեքված պրիզմայում:
Այս բարձրությունը գտնելու ամենահեշտ ձևն այն է, եթե դուք գիտեք պատկերի որևէ անկյուն (հարթ կամ երկանկյուն): Եթե տրված է նման անկյուն, ապա պետք է այն օգտագործել պրիզմայի ներսում ուղղանկյուն եռանկյունի կառուցելու համար, որը կպարունակի h բարձրությունը որպես կողմերից մեկը և օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և Պյութագորասի թեորեմը գտնել h արժեքը:
Երկրաչափական ծավալի խնդիր
Տրված է եռանկյուն հիմքով կանոնավոր պրիզմա, որն ունի 14 սմ բարձրություն և 5 սմ կողմի երկարություն։ Որքա՞ն է եռանկյունաձև պրիզմայի ծավալը։
Քանի որ խոսքը ճիշտ թվի մասին է, մենք իրավունք ունենք օգտագործելու հայտնի բանաձեւը. Մենք ունենք՝
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 սմ3.
Եռանկյուն պրիզման բավականին համաչափ պատկեր է, որի տեսքով հաճախ կառուցվում են տարբեր ճարտարապետական կառույցներ։ Այս ապակե պրիզման օգտագործվում է օպտիկայի մեջ։
