Տիեզերական երկրաչափական պատկերները ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության առարկան են, որոնց ընթացքն անցնում են ավագ դպրոցի դպրոցականները։ Այս հոդվածը նվիրված է այնպիսի կատարյալ պոլիեդրոնին, ինչպիսին պրիզմա է։ Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք պրիզմայի հատկությունները և տանք այն բանաձևերը, որոնք ծառայում են դրանք քանակականորեն նկարագրելու համար:
Ի՞նչ է պրիզմա?
Բոլորը պատկերացնում են, թե ինչ տեսք ունի տուփը կամ խորանարդը: Երկու թվերն էլ պրիզմա են։ Այնուամենայնիվ, պրիզմաների դասը շատ ավելի բազմազան է: Երկրաչափության մեջ այս պատկերին տրվում է հետևյալ սահմանումը. պրիզմա է տարածության մեջ գտնվող ցանկացած բազմանիստ, որը ձևավորվում է երկու զուգահեռ և միանման բազմանկյուն կողմերից և մի քանի զուգահեռագծից: Ֆիգուրի նույնական զուգահեռ դեմքերը կոչվում են նրա հիմքերը (վերին և ստորին): Զուգահեռագրերը պատկերի կողային երեսներն են, որոնք կապում են հիմքի կողմերը միմյանց հետ։
Եթե հիմքը ներկայացված է n-անկյունով, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է, ապա նկարը բաղկացած կլինի 2+n դեմքից, 2n գագաթից և 3n եզրից: Դեմքերը և ծայրերը վերաբերում եներկու տեսակներից մեկը՝ կամ դրանք պատկանում են կողային մակերեսին, կամ հիմքերին։ Ինչ վերաբերում է գագաթներին, ապա դրանք բոլորը հավասար են և պատկանում են պրիզմայի հիմքերին։
Ուսումնասիրվող դասարանի գործիչների տեսակները
Ուսումնասիրելով պրիզմայի հատկությունները, դուք պետք է թվարկեք այս գործչի հնարավոր տեսակները.
- ուռուցիկ և գոգավոր: Նրանց միջև տարբերությունը բազմանկյուն հիմքի ձևի մեջ է: Եթե այն գոգավոր է, ապա կլինի նաև եռաչափ պատկեր և հակառակը։
- Ուղիղ և թեք. Ուղիղ պրիզմայի համար կողային երեսները կամ ուղղանկյուն են կամ քառակուսի: Թեք պատկերում կողային երեսները ընդհանուր տիպի զուգահեռներ են կամ ռոմբուսներ։
- Սխալ և ճիշտ. Որպեսզի ուսումնասիրվող պատկերը ճիշտ լինի, այն պետք է լինի ուղիղ և ունենա ճիշտ հիմք։ Վերջիններիս օրինակ են հարթ թվերը, ինչպիսիք են հավասարակողմ եռանկյունը կամ քառակուսին:
Պրիզմայի անվանումը ձևավորվել է՝ հաշվի առնելով թվարկված դասակարգումը։ Օրինակ, վերը նշված ուղղանկյուն զուգահեռականագիծը կամ խորանարդը կոչվում է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա։ Կանոնավոր պրիզմաները, իրենց բարձր համաչափության շնորհիվ, հարմար են ուսումնասիրելու համար։ Նրանց հատկությունները արտահայտված են հատուկ մաթեմատիկական բանաձևերի տեսքով։
Պրիզմայի տարածք
Պրիզմայի նման հատկությունը որպես տարածք դիտարկելիս նկատի ունեն նրա բոլոր երեսների ընդհանուր մակերեսը: Ամենահեշտ է պատկերացնել այս արժեքը, եթե դուք բացեք գործիչը, այսինքն, ընդլայնեք բոլոր դեմքերը մեկ հարթության մեջ: Ներքևում վրաՆկարը ցույց է տալիս երկու պրիզմաների մաքրման օրինակ:
Կամայական պրիզմայի համար, ընդհանուր ձևով դրա տարածման տարածքի բանաձևը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.
S=2So+ bPsr.
Բացատրենք նշումը։ So արժեքը մեկ հիմքի մակերեսն է, b-ը կողային եզրի երկարությունն է, Psr-ը կտրված պարագիծն է, որը ուղղահայաց է նկարի կողային զուգահեռագծին։
Գրավոր բանաձևը հաճախ օգտագործվում է թեքված պրիզմաների տարածքները որոշելու համար: Կանոնավոր պրիզմայի դեպքում S-ի արտահայտությունը կստանա որոշակի ձև՝
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Արտահայտության առաջին անդամը ներկայացնում է կանոնավոր պրիզմայի երկու հիմքերի մակերեսը, երկրորդ անդամը կողային ուղղանկյունների մակերեսն է: Այստեղ a-ն կանոնավոր n-անկյունի կողմի երկարությունն է: Նկատի ունեցեք, որ կանոնավոր պրիզմայի համար b կողային եզրի երկարությունը նաև նրա բարձրությունն է h, ուստի բանաձևում b-ը կարող է փոխարինվել h-ով:
:
Ինչպե՞ս հաշվարկել գործչի ծավալը:
Պրիզմա համեմատաբար պարզ բազմանիստ բարձր համաչափություն է: Հետեւաբար, դրա ծավալը որոշելու համար կա շատ պարզ բանաձեւ. Կարծես հետևյալն է՝
V=Soh.
Հիմքի տարածքի և բարձրության հաշվարկը կարող է բարդ լինել, երբ նայում եք թեք անկանոն ձևին: Այս խնդիրը լուծվում է հաջորդական երկրաչափական վերլուծության միջոցով, որը ներառում է տեղեկատվություն կողային զուգահեռականների և հիմքի միջև երկանկյուն անկյունների մասին:
Եթե պրիզման ճիշտ է, ապաV-ի բանաձևը դառնում է բավականին կոնկրետ.
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Ինչպես տեսնում եք, կանոնավոր պրիզմայի S մակերեսը և V ծավալը եզակիորեն որոշվում են, եթե հայտնի են նրա գծային պարամետրերից երկուսը:
Եռանկյուն կանոնավոր պրիզմա
Ավարտենք հոդվածը՝ դիտարկելով կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հատկությունները։ Այն կազմված է հինգ երեսներից, որոնցից երեքը ուղղանկյուն են (քառակուսի), իսկ երկուսը՝ հավասարակողմ եռանկյուններ։ Պրիզման ունի վեց գագաթ և ինը եզր: Այս պրիզմայի համար ծավալի և մակերեսի բանաձևերը գրված են ստորև՝
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2ժ.
Բացի այս հատկություններից, օգտակար է նաև տալ նկարի հիմքի ապոթեմի բանաձևը, որը հավասարակողմ եռանկյան ha բարձրությունն է..
ha=√3/2a.
Պրիզմայի կողմերը նույնական ուղղանկյուններ են: Նրանց d անկյունագծերի երկարություններն են՝
d=√(a2+ h2).
Եռանկյուն պրիզմայի երկրաչափական հատկությունների իմացությունը ոչ միայն տեսական, այլև գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում։ Բանն այն է, որ օպտիկական ապակուց պատրաստված այս ցուցանիշն օգտագործվում է մարմինների ճառագայթման սպեկտրը ուսումնասիրելու համար։
Անցնելով ապակե պրիզմայով, լույսը դիսպերսիայի երևույթի արդյունքում քայքայվում է մի շարք բաղադրիչների գույների, ինչը պայմաններ է ստեղծում էլեկտրամագնիսական հոսքի սպեկտրային բաղադրությունն ուսումնասիրելու համար։
