Պրիզման բազմանկյուն կամ բազմանիստ է, որն ուսումնասիրվում է պինդ երկրաչափության դպրոցական դասընթացում։ Այս պոլիէդրոնի կարևոր հատկություններից է նրա ծավալը։ Եկեք հոդվածում դիտարկենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այս արժեքը, ինչպես նաև տալ պրիզմաների ծավալի բանաձևերը՝ կանոնավոր քառանկյուն և վեցանկյուն:
Պրիզմա ստերեոմետրիայում
Այս պատկերը հասկացվում է որպես բազմանկյուն, որը բաղկացած է երկու միանման բազմանկյուններից, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում և մի քանի զուգահեռականներից։ Պրիզմաների որոշ տեսակների համար զուգահեռագրությունները կարող են ներկայացնել ուղղանկյուն քառանկյուններ կամ քառակուսիներ: Ստորև բերված է այսպես կոչված հնգանկյուն պրիզմայի օրինակ:
Ֆիգուր կառուցելու համար, ինչպես վերը նշված նկարում, դուք պետք է վերցնեք հնգանկյունը և կատարեք դրա զուգահեռ փոխանցումը տարածության որոշակի հեռավորության վրա: Միացնելով երկու հնգանկյունների կողմերը զուգահեռագծերի միջոցով՝ ստանում ենք ցանկալի պրիզմա։
Յուրաքանչյուր պրիզմա բաղկացած է դեմքերից, գագաթներից և եզրերից: Պրիզմայի գագաթներըի տարբերություն բուրգի, հավասար են, նրանցից յուրաքանչյուրը վերաբերում է երկու հիմքերից մեկին: Դեմքերը և եզրերը երկու տեսակի են՝ հիմքերին պատկանող և կողքերին պատկանողներ։
Պրիզմաները մի քանի տեսակի են (ճիշտ, թեք, ուռուցիկ, ուղիղ, գոգավոր): Հետագայում հոդվածում դիտարկենք, թե ինչ բանաձևով է հաշվարկվում պրիզմայի ծավալը՝ հաշվի առնելով նկարի ձևը։
Պրիզմայի ծավալը որոշելու ընդհանուր արտահայտություն
Անկախ նրանից, թե ուսումնասիրվող գործիչը որ տեսակին է պատկանում՝ ուղիղ, թե թեք, կանոնավոր, թե անկանոն, գոյություն ունի ունիվերսալ արտահայտություն, որը թույլ է տալիս որոշել դրա ծավալը։ Տարածական գործչի ծավալը տարածության այն տարածքն է, որը պարփակված է նրա երեսների միջև: Պրիզմայի ծավալի ընդհանուր բանաձևն է՝
V=So × ժ.
Այստեղ So-ը ներկայացնում է հիմքի մակերեսը: Պետք է հիշել, որ խոսքը մեկ հիմքի մասին է, ոչ թե երկուսի։ h արժեքը բարձրությունն է: Ուսումնասիրվող գործչի բարձրությունը հասկացվում է որպես նրա նույնական հիմքերի միջև հեռավորություն: Եթե այս հեռավորությունը համընկնում է կողային կողերի երկարությունների հետ, ապա խոսվում է ուղիղ պրիզմայի մասին։ Ուղիղ պատկերում բոլոր կողմերը ուղղանկյուն են:
Այսպիսով, եթե պրիզման թեք է և ունի անկանոն հիմքի բազմանկյուն, ապա դրա ծավալը հաշվարկելը ավելի բարդ է դառնում: Եթե պատկերն ուղիղ է, ապա ծավալի հաշվարկը կրճատվում է միայն S o բազային տարածքը որոշելու համար:
Կանոնավոր թվի ծավալի որոշում
Կանոնավոր է ցանկացած պրիզմա, որն ուղիղ է և ունի բազմանկյուն հիմք՝ միմյանց հավասար կողմերով և անկյուններով: Օրինակ, նման կանոնավոր բազմանկյունները քառակուսի և հավասարակողմ եռանկյուն են: Միևնույն ժամանակ, ռոմբը կանոնավոր պատկեր չէ, քանի որ նրա բոլոր անկյունները հավասար չեն:
Կանոնավոր պրիզմայի ծավալի բանաձևը միանշանակորեն բխում է V-ի ընդհանուր արտահայտությունից, որը գրվել է հոդվածի նախորդ պարբերությունում։ Համապատասխան բանաձևը գրելուց առաջ անհրաժեշտ է որոշել ճիշտ բազայի տարածքը: Չխորանալով մաթեմատիկական մանրամասների մեջ՝ ներկայացնում ենք նշված տարածքի որոշման բանաձեւը. Այն ունիվերսալ է ցանկացած սովորական n-gon-ի համար և ունի հետևյալ ձևը՝
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Ինչպես երևում է արտահայտությունից, Sn տարածքը երկու պարամետրի ֆունկցիա է: n ամբողջ թիվը կարող է արժեքներ վերցնել 3-ից մինչև անսահմանություն: a արժեքը n-անկյունի կողմի երկարությունն է։
Նկարի ծավալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է միայն S մակերեսը բազմապատկել h բարձրությամբ կամ կողային եզրի երկարությամբ b (h=b). Արդյունքում մենք հասնում ենք հետևյալ աշխատանքային բանաձևին.
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × ժ.
Նշեք, որ կամայական տիպի պրիզմայի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ մի քանի մեծություններ (հիմքի կողմերի երկարությունները, բարձրությունը, նկարի երկանկյուն անկյունները), բայց հաշվարկել V-ի արժեքը: կանոնավոր պրիզմա, մենք պետք է իմանանք միայն երկու գծային պարամետր, օրինակ՝ a և h ։
Քառանկյուն կանոնավոր պրիզմայի ծավալը
Քառանկյուն պրիզմա կոչվում է զուգահեռատիպ: Եթե նրա բոլոր դեմքերը հավասար են և քառակուսի են, ապա այդպիսի պատկերը կլինի խորանարդ: Յուրաքանչյուր ուսանող գիտի, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կամ խորանարդի ծավալը որոշվում է նրա երեք տարբեր կողմերը (երկարությունը, բարձրությունը և լայնությունը) բազմապատկելով: Այս փաստը բխում է կանոնավոր թվի գրավոր ընդհանուր ծավալային արտահայտությունից՝
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× ժ=a2 × ժ.
Այստեղ 45°-ի կոտանգենսը հավասար է 1-ի: Նկատի ունեցեք, որ h բարձրության և a հիմքի կողմի երկարության հավասարությունն ավտոմատ կերպով հանգեցնում է խորանարդի ծավալի բանաձևին:
Վեցանկյուն կանոնավոր պրիզմայի ծավալը
Այժմ կիրառե՛ք վերը նշված տեսությունը՝ որոշելու համար վեցանկյուն հիմք ունեցող գործչի ծավալը: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է փոխարինել n=6 արժեքը բանաձևում՝
:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × ժ=3 × √3/2 × a2 × ժ.
Գրավոր արտահայտությունը կարելի է ձեռք բերել ինքնուրույն՝ առանց S-ի համընդհանուր բանաձևի օգտագործման: Դա անելու համար հարկավոր է կանոնավոր վեցանկյունը բաժանել վեց հավասարակողմ եռանկյունների: Նրանցից յուրաքանչյուրի կողմը հավասար կլինի a. Մեկ եռանկյան մակերեսը համապատասխանում է՝
S3=√3/4 × a2.
Բազմապատկելով այս արժեքը եռանկյունների քանակով (6) և բարձրությամբ՝ մենք ստանում ենք ծավալի վերը նշված բանաձևը։
