Տիեզերքում թվերը դիտարկելիս հաճախ խնդիրներ են առաջանում դրանց մակերեսը որոշելիս: Այդպիսի գործիչներից է կոնը։ Դիտարկենք հոդվածում, թե որն է կլոր հիմքով կոնի կողային մակերեսը, ինչպես նաև կտրված կոնը։
Կոն կլոր հիմքով
Նախքան կոնի կողային մակերեսի քննարկմանը անցնելը, մենք ցույց կտանք, թե ինչպիսի պատկեր է այն և ինչպես կարելի է այն ստանալ երկրաչափական մեթոդներով:
Վերցրեք ABC ուղղանկյուն եռանկյունին, որտեղ AB-ն և AC-ը ոտքեր են: Եկեք այս եռանկյունը դնենք AC ոտքի վրա և պտտենք այն AB ոտքի շուրջը: Արդյունքում, AC և BC կողմերը նկարագրում են ստորև ներկայացված նկարի երկու մակերեսները:
Պտույտից ստացված ցուցանիշը կոչվում է կլոր ուղիղ կոն։ Այն կլոր է, քանի որ հիմքը շրջանագիծ է, և ուղիղ, քանի որ նկարի վերևից գծված ուղղահայացը (կետ B) հատում է շրջանագիծը իր կենտրոնում։ Այս ուղղահայաց երկարությունը կոչվում է բարձրություն: Ակնհայտ է, որ այն հավասար է AB ոտքին:Բարձրությունը սովորաբար նշվում է h տառով։
Բացի բարձրությունից, դիտարկվող կոնը բնութագրվում է ևս երկու գծային բնութագրերով.
- գեներացնող, կամ գեներատրիքս (հիպոթենուզ մ.թ.ա.);
- բազային շառավիղ (ոտքը AC).
Շառավիղը կնշանակվի r տառով, իսկ գեներատորատրիքսը՝ g: Այնուհետև, հաշվի առնելով Պյութագորասի թեորեմը, կարող ենք գրել դիտարկվող գործչի համար կարևոր հավասարությունը՝
g2=h2+ r2
Կոնիկ մակերես
Բոլոր գեներատորների ամբողջությունը կազմում է կոնի կոնաձև կամ կողային մակերես: Արտաքին տեսքով դժվար է ասել, թե որ հարթ կազմվածքին է այն համապատասխանում։ Վերջինս կարևոր է իմանալ կոնաձև մակերեսի տարածքը որոշելիս: Այս խնդիրը լուծելու համար օգտագործվում է ավլելու մեթոդը: Այն բաղկացած է հետևյալից. մակերեսը մտովի կտրվում է կամայական գեներատորի երկայնքով, այնուհետև այն բացվում է հարթության վրա: Մաքրում ստանալու այս մեթոդով ձևավորվում է հետևյալ հարթ պատկերը.
Ինչպես կարող եք կռահել, շրջանակը համապատասխանում է հիմքին, բայց շրջանաձև հատվածը կոնաձև մակերես է, որի մակերեսը մեզ հետաքրքրում է: Սեկտորը սահմանափակված է երկու գեներատորներով և աղեղով: Վերջինիս երկարությունը ճիշտ հավասար է հիմքի շրջագծի պարագծին (երկարությանը)։ Այս բնութագրերը եզակիորեն որոշում են շրջանաձև հատվածի բոլոր հատկությունները: Մենք միջանկյալ մաթեմատիկական հաշվարկներ չենք տա, այլ անմիջապես գրի առնենք վերջնական բանաձևը, որի միջոցով կարող եք հաշվարկել կոնի կողային մակերեսի մակերեսը։ Բանաձևն է՝
Sb=pigr
Կոնաձև մակերևույթի մակերեսը Sb հավասար է երկու պարամետրերի և Pi.
արտադրյալին:
Կտրված կոն և դրա մակերեսը
Եթե վերցնենք սովորական կոն և կտրենք դրա գագաթը զուգահեռ հարթությամբ, ապա մնացած պատկերը կլինի կտրված կոն: Նրա կողային մակերեսը սահմանափակված է երկու կլոր հիմքերով։ Նրանց շառավիղները նշանակենք R և r: Նկարի բարձրությունը նշում ենք h-ով, իսկ գեներատրիքսը՝ g-ով: Ստորև բերված է թղթի կտրվածք այս գործչի համար:
Երևում է, որ կողային մակերեսն այլևս շրջանաձև հատված չէ, այն ավելի փոքր է մակերեսով, քանի որ կենտրոնական մասը կտրված էր դրանից։ Զարգացումը սահմանափակվում է չորս գծերով, որոնցից երկուսը ուղիղ գծերի հատվածներ-գեներատորներ են, մյուս երկուսը՝ կամարներ՝ կտրված կոնի հիմքերի համապատասխան շրջանակների երկարությամբ։
։
Կողային մակերեսը Sbհաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Sb=pig(r + R)
Գեներատրիքսը, շառավիղները և բարձրությունը կապված են հետևյալ հավասարությամբ.
g2=h2+ (R - r)2
Թվերի մակերեսների հավասարության խնդիրը
Տրված է 20 սմ բարձրությամբ և 8 սմ հիմքի շառավղով կոն։ Անհրաժեշտ է գտնել կտրված կոնի բարձրությունը, որի կողային մակերեսը կունենա նույն մակերեսը, ինչ այս կոնը։ Կտրված պատկերը կառուցված է նույն հիմքի վրա, իսկ վերին հիմքի շառավիղը 3 սմ է։
Նախ գրենք կոնի և կտրված պատկերի մակերեսների հավասարության պայմանը։ Մենք ունենք՝
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Այժմ եկեք գրենք յուրաքանչյուր ձևի գեներատորների արտահայտությունները.
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Փոխարինեք g1-ը և g2 -ը հավասար տարածքների բանաձևի մեջ և ձախ և աջ կողմերը քառակուսի դարձրեք, մենք ստանում ենք՝
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Որտեղ մենք ստանում ենք h2:
արտահայտությունը
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Մենք չենք պարզեցնի այս հավասարությունը, այլ պարզապես կփոխարինենք պայմանից հայտնի տվյալները.
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 սմ
Այսպիսով, պատկերների կողային մակերևույթների մակերեսները հավասարեցնելու համար կտրված կոնը պետք է ունենա պարամետրեր՝ R=8 սմ, r=3 սմ, h2≈ 14, 85 սմ.
