Երկրաչափության մեջ հեղափոխության թվերին հատուկ ուշադրություն է դարձվում դրանց բնութագրերն ու հատկությունները ուսումնասիրելիս: Նրանցից մեկը կտրված կոն է: Այս հոդվածը նպատակ ունի պատասխանել այն հարցին, թե ինչ բանաձևով կարելի է հաշվարկել կտրված կոնի մակերեսը:
Ո՞ր գործչի մասին է խոսքը։
Նախքան կտրված կոնի տարածքը նկարագրելը, անհրաժեշտ է տալ այս գործչի ճշգրիտ երկրաչափական սահմանումը: Կտրված է համարվում այնպիսի կոն, որը ստացվում է սովորական կոնի գագաթը հարթությամբ կտրելու արդյունքում։ Այս սահմանման մեջ պետք է ընդգծել մի շարք նրբերանգներ. Նախ, հատվածի հարթությունը պետք է զուգահեռ լինի կոնի հիմքի հարթությանը: Երկրորդ, բնօրինակ գործիչը պետք է լինի շրջանաձև կոն: Իհարկե, դա կարող է լինել էլիպսաձև, հիպերբոլիկ և այլ տեսակի գործիչներ, բայց այս հոդվածում մենք կսահմանափակվենք միայն շրջանաձև կոն դիտարկելով: Վերջինս ներկայացված է ստորև նկարում։
Հեշտ է կռահել, որ այն կարելի է ձեռք բերել ոչ միայն ինքնաթիռով հատվածի, այլեւ պտտման գործողության օգնությամբ։ ՀամարԴա անելու համար հարկավոր է վերցնել երկու ուղիղ անկյուն ունեցող trapezoid և պտտել այն կողմի շուրջ, որը հարում է այս ուղիղ անկյուններին: Արդյունքում, տրապեզի հիմքերը կդառնան կտրված կոնի հիմքերի շառավիղները, իսկ տրապեզի կողային թեքված կողմը կնկարագրի կոնաձև մակերեսը։
Ձևի մշակում
Հաշվի առնելով կտրված կոնի մակերեսը, օգտակար է բերել դրա զարգացումը, այսինքն՝ հարթության վրա եռաչափ գործչի մակերեսի պատկերը: Ստորև ներկայացված է ուսումնասիրված նկարի սկանավորումը կամայական պարամետրերով:
Կարելի է տեսնել, որ պատկերի մակերեսը կազմված է երեք բաղադրիչով՝ երկու շրջան և մեկ կտրված շրջանաձև հատված։ Ակնհայտ է, որ պահանջվող տարածքը որոշելու համար անհրաժեշտ է գումարել բոլոր նշված թվերի մակերեսները։ Եկեք այս խնդիրը լուծենք հաջորդ պարբերությունում։
Կտրված կոն տարածք
Հետևյալ պատճառաբանությունը հասկանալն ավելի հեշտ դարձնելու համար ներկայացնում ենք հետևյալ նշումը՝
- r1, r2 - մեծ և փոքր հիմքերի շառավիղները համապատասխանաբար;
- ժ - գործչի բարձրություն;
- g - կոնի գեներտրիս (տրապեզուի թեք կողմի երկարությունը):
Կտրված կոնի հիմքերի մակերեսը հեշտ է հաշվարկել: Գրենք համապատասխան արտահայտությունները՝
So1=pir12;
So2=pir22.
Շրջանաձև հատվածի մի մասի մակերեսը որոշ չափով ավելի դժվար է որոշել: Եթե պատկերացնենք, որ այս շրջանաձև հատվածի կենտրոնը կտրված չէ, ապա դրա շառավիղը հավասար կլինի G արժեքին: Դժվար չէ այն հաշվարկել, եթե հաշվի առնենք համապատասխանը.նմանատիպ ուղղանկյուն կոն եռանկյուններ: Այն հավասար է՝
G=r1g/(r1-r21
-r2):
Այնուհետև ամբողջ շրջանաձև հատվածի մակերեսը, որը կառուցված է G շառավղով և որը հենվում է 2pir1 երկարությամբ աղեղի վրա, հավասար կլինի դեպի՝
S1=pir1G=pir1 2գ/(r1-r2).
Այժմ եկեք որոշենք փոքր շրջանաձև հատվածի տարածքը S2, որը պետք է հանվի S1-ից: Այն հավասար է՝
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - գ)=pir22g/(r1-r2 ).
Կոնաձեւ կտրված մակերեսի մակերեսը Sb հավասար է S1 և S տարբերությանը 2. Մենք ստանում ենք՝
Sb=S1- S2=pir 12գ/(r1-r2) - պ. r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Չնայած որոշ ծանր հաշվարկներին, մենք ստացանք նկարի կողային մակերեսի բավականին պարզ արտահայտություն:
Ավելացնելով հիմքերի և Sb-ի տարածքները՝ հասնում ենք կտրված կոնի մակերեսի բանաձևին՝
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Այսպիսով, ուսումնասիրված պատկերի S-ի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա երեք գծային պարամետրերը։
Օրինակ խնդիր
Շրջանաձև ուղիղ կոն10 սմ շառավղով և 15 սմ բարձրությամբ ինքնաթիռով կտրվել է այնպես, որ ստացվել է սովորական կտրված կոն։ Իմանալով, որ կտրված պատկերի հիմքերի միջև հեռավորությունը 10 սմ է, անհրաժեշտ է գտնել դրա մակերեսը։
Կտրված կոնի տարածքի բանաձևն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա երեք պարամետր: Մեկը մենք գիտենք՝
r1=10 սմ.
Մյուս երկուսը հեշտ է հաշվարկել, եթե հաշվի առնենք նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնք ստացվում են կոնի առանցքային հատվածի արդյունքում։ Հաշվի առնելով խնդրի վիճակը՝ ստանում ենք՝
r2=105/15=3,33 սմ.
Վերջապես, կտրված կոն գ-ի ուղեցույցը կլինի՝
g=√(102+ (r1-r21-r2
) 2)=12,02 սմ.
Այժմ դուք կարող եք փոխարինել r1, r2 և g արժեքները S:
-ի բանաձևում:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 սմ 2.
Նկարի ցանկալի մակերեսը մոտավորապես 852 սմ է2.
