Յուրաքանչյուր ուսանող լսել է կլոր կոնի մասին և պատկերացնում է, թե ինչ տեսք ունի այս եռաչափ պատկերը: Այս հոդվածը սահմանում է կոնի զարգացումը, տրամադրում է բանաձևեր, որոնք նկարագրում են դրա բնութագրերը և նկարագրում է, թե ինչպես կարելի է այն կառուցել՝ օգտագործելով կողմնացույց, անկյունաչափ և ուղղագիծ:
Շրջանաձև կոն երկրաչափության մեջ
Տանք այս գործչի երկրաչափական սահմանումը: Կլոր կոնը մակերես է, որը ձևավորվում է ուղիղ գծերի հատվածներով, որոնք միացնում են որոշակի շրջանագծի բոլոր կետերը տարածության մեկ կետի հետ: Այս մեկ կետը չպետք է պատկանի այն հարթությանը, որում ընկած է շրջանագիծը: Եթե շրջանագծի փոխարեն վերցնենք շրջան, ապա այս մեթոդը նույնպես հանգեցնում է կոնի։
Շրջանակը կոչվում է նկարի հիմք, նրա շրջագիծը՝ ուղղագիծ։ Կետը ուղղորդիչի հետ կապող հատվածները կոչվում են գեներատորներ կամ գեներատորներ, իսկ դրանց հատման կետը կոնի գագաթն է։
Կլոր կոնը կարող է լինել ուղիղ և թեք: Երկու թվերն էլ ներկայացված են ստորև նկարում:
Նրանց միջև տարբերությունը հետևյալն է. եթե կոնի վերևից ուղղահայացը ընկնում է հենց շրջանագծի կենտրոնին, ապա կոնը ուղիղ կլինի: Նրա համար ուղղահայացը, որը կոչվում է գործչի բարձրություն, իր առանցքի մի մասն է։ Թեք կոնի դեպքում բարձրությունը և առանցքը կազմում են սուր անկյուն։
Նկարի պարզության և համաչափության շնորհիվ մենք կքննարկենք միայն կլոր հիմքով աջ կոնի հատկությունները:
Ձևի ստացում ռոտացիայի միջոցով
Նախքան կոնի մակերեսի զարգացումը քննարկելը, օգտակար է իմանալ, թե ինչպես կարելի է ձեռք բերել այս տարածական պատկերը՝ օգտագործելով պտույտը:
Ենթադրենք՝ ունենք ուղղանկյուն եռանկյուն՝ a, b, c կողմերով: Դրանցից առաջին երկուսը ոտքեր են, c-ն հիպոթենուսն է։ Եկեք եռանկյուն դնենք a ոտքի վրա և սկսենք պտտել այն b ոտքի շուրջ: Այնուհետև c հիպոթենուսը կնկարագրի կոնաձև մակերես: Այս պարզ կոնի տեխնիկան ներկայացված է ստորև ներկայացված գծապատկերում:
Ակնհայտ է, որ a ոտքը կլինի նկարի հիմքի շառավիղը, b ոտքը կլինի նրա բարձրությունը, իսկ c հիպոթենուսը համապատասխանում է կլոր աջ կոնի գեներատրին:
Տեսարան կոնի զարգացման մասին
Ինչպես կարող եք կռահել, կոնը ձևավորվում է երկու տեսակի մակերեսներից: Նրանցից մեկը հարթ հիմքի շրջանակ է: Ենթադրենք, որ այն ունի r շառավիղ: Երկրորդ մակերեսը կողային է և կոչվում է կոնաձև։ Թող դրա գեներատորը հավասար լինի g-ի։
Եթե ունենք թղթե կոն, ապա կարող ենք վերցնել մկրատը և հիմքը կտրել դրանից։ Այնուհետեւ, կոնաձեւ մակերեսը պետք է կտրվիցանկացած գեներատորի երկայնքով և տեղակայել այն ինքնաթիռում: Այսպիսով, մենք ստացանք կոնի կողային մակերեսի զարգացում: Երկու մակերեսները բնօրինակ կոնի հետ միասին ներկայացված են ստորև ներկայացված գծապատկերում:
Հիմնական շրջանագիծը պատկերված է ներքևի աջ մասում: Կենտրոնում ցուցադրված է բացված կոնաձև մակերեսը։ Պարզվում է, որ այն համապատասխանում է շրջանագծի ինչ-որ շրջանաձև հատվածի, որի շառավիղը հավասար է g գեներատրիսի երկարությանը։
Անկյուն և տարածքի մաքրում
Այժմ մենք ստանում ենք բանաձևեր, որոնք օգտագործելով g և r հայտնի պարամետրերը թույլ են տալիս հաշվարկել կոնի մակերեսը և անկյունը:
Ակնհայտ է, որ նկարում վերը նշված շրջանաձև հատվածի աղեղն ունի երկարություն, որը հավասար է հիմքի շրջագծին, այսինքն՝
l=2pir.
Եթե կառուցված լիներ g շառավղով ամբողջ շրջանագիծը, ապա դրա երկարությունը կլիներ՝
L=2pig.
Քանի որ L երկարությունը համապատասխանում է 2pi ռադիանի, ապա անկյունը, որի վրա հենվում է l աղեղը, կարելի է որոշել համապատասխան համամասնությունից՝
L==>2pi;
l==> φ.
Այդ դեպքում φ անհայտ անկյունը հավասար կլինի՝
φ=2pil/L.
Փոխարինելով l և L երկարությունների արտահայտությունները՝ հասնում ենք կոնի կողային մակերեսի զարգացման անկյան բանաձևին՝
φ=2pir/g.
Այս անկյունը φ արտահայտված է ռադիաններով:
Շրջանաձև հատվածի Sb տարածքը որոշելու համար մենք կօգտագործենք φ-ի գտնված արժեքը: Եվս մեկ համամասնություն ենք անում՝ միայն տարածքների համար։ Մենք ունենք՝
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Որտեղից արտահայտել Sb, այնուհետև փոխարինել φ անկյան արժեքը: Մենք ստանում ենք՝
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Կոնաձև մակերևույթի մակերեսի համար մենք ստացել ենք բավականին կոմպակտ բանաձև: Sb-ի արժեքը հավասար է երեք գործոնի արտադրյալին. pi, նկարի շառավիղը և դրա գեներատորը:
Այնուհետև նկարի ամբողջ մակերեսի մակերեսը հավասար կլինի Sb և So-ի գումարին (շրջանաձեւ բազային տարածք): Ստանում ենք բանաձևը՝
S=Sb+ So=pir(g + r).
Թղթի վրա կոնի մաքրում
Այս առաջադրանքը կատարելու համար ձեզ հարկավոր է թուղթ, մատիտ, անկյունաչափ, քանոն և կողմնացույց:
Նախ գծենք 3 սմ, 4 սմ և 5 սմ կողմերով ուղղանկյուն եռանկյունի, որի 3 սմ ոտքի շուրջ պտույտը կտա ցանկալի կոն։ Նկարն ունի r=3 սմ, h=4 սմ, g=5 սմ:
Ալցում կառուցելը կսկսվի կողմնացույցով r շառավղով շրջան գծելով: Նրա երկարությունը հավասար կլինի 6պի սմ։Այժմ նրա կողքին կգծենք ևս մեկ շրջան, բայց g շառավղով։ Դրա երկարությունը կհամապատասխանի 10pi սմ: Այժմ մենք պետք է կտրենք շրջանաձև հատվածը մեծ շրջանից: Նրա անկյունը φ է:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Այժմ մենք անկյունաչափով մի կողմ ենք դնում g շառավղով շրջանագծի վրա և գծում ենք երկու շառավիղ, որոնք կսահմանափակեն շրջանաձև հատվածը:
ԱյսպեսԱյսպիսով, մենք կառուցել ենք կոնի մշակում շառավիղի, բարձրության և գեներատորի նշված պարամետրերով:
Երկրաչափական խնդրի լուծման օրինակ
Տրվում է կլոր ուղիղ կոն: Հայտնի է, որ նրա կողային ավլման անկյունը 120o է։ Անհրաժեշտ է գտնել այս թվի շառավիղը և ծագումը, եթե հայտնի է, որ կոնի h բարձրությունը 10 սմ է։
Առաջադրանքը դժվար չէ, եթե հիշենք, որ կլոր կոնը ուղղանկյուն եռանկյան պտտման պատկեր է։ Այս եռանկյունից հետևում է միանշանակ հարաբերություն բարձրության, շառավղի և գեներատորի միջև: Գրենք համապատասխան բանաձևը՝
g2=h2+ r2.
Լուծելիս օգտագործվող երկրորդ արտահայտությունը φ անկյան բանաձևն է:
φ=2pir/g.
Այսպիսով, մենք ունենք երկու հավասարումներ, որոնք կապում են երկու անհայտ մեծությունների (r և g):
Արտահայտեք g երկրորդ բանաձևից և արդյունքը փոխարինեք առաջինով, ստանում ենք՝
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Անկյուն φ=120o ռադիաններում 2pi/3 է: Մենք փոխարինում ենք այս արժեքը, ստանում ենք r-ի և g-ի վերջնական բանաձևերը՝
r=h /√8;
g=3h /√8.
Մնում է փոխարինել բարձրության արժեքը և ստանալ խնդրի հարցի պատասխանը՝ r ≈ 3,54 սմ, g ≈ 10,61 սմ:
