Տարածական պատկերների հատկությունների ուսումնասիրությունը կարևոր դեր է խաղում գործնական խնդիրների լուծման գործում։ Գիտությունը, որը զբաղվում է տարածության մեջ գտնվող ֆիգուրներով, կոչվում է ստերեոմետրիա: Այս հոդվածում, ամուր երկրաչափության տեսանկյունից, մենք կդիտարկենք կոն և ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել կոնի մակերեսը:
Կոն կլոր հիմքով
Ընդհանուր դեպքում կոնը հարթ կորի վրա կառուցված մակերես է, որի բոլոր կետերը միացված են տարածության մեկ կետ ունեցող հատվածներով։ Վերջինս կոչվում է կոնի գագաթ։
Վերոնշյալ սահմանումից պարզ է դառնում, որ կորը կարող է ունենալ կամայական ձև, օրինակ՝ պարաբոլիկ, հիպերբոլիկ, էլիպսաձև և այլն։ Այնուամենայնիվ, գործնականում և երկրաչափության խնդիրներում հաճախ հանդիպում է կլոր կոն: Այն ներկայացված է ստորև նկարում։
Այստեղ r նշանը նշանակում է նկարի հիմքում գտնվող շրջանագծի շառավիղը, h-ն ուղղահայացն է շրջանագծի հարթությանը, որը գծված է նկարի վերևից: Այն կոչվում է բարձրություն: s արժեքը կոնի ծագումնաբանությունն է կամ նրա գեներատրիքսը։
Երևում է, որ r, h և s հատվածներըկազմել ուղղանկյուն եռանկյուն: Եթե այն պտտվում է h ոտքի շուրջ, ապա s հիպոթենուսը կնկարագրի կոնաձև մակերեսը, իսկ r ոտքը կազմում է պատկերի կլոր հիմքը։ Այդ իսկ պատճառով կոնը համարվում է հեղափոխության գործիչ։ Անվանված երեք գծային պարամետրերը փոխկապակցված են հավասարությամբ՝
s2=r2+ h2
Նշեք, որ տրված հավասարությունը վավեր է միայն կլոր ուղիղ կոնի համար: Ուղիղ գործիչ է միայն այն դեպքում, եթե նրա բարձրությունն ընկնում է հենց հիմնական շրջանագծի կենտրոնում: Եթե այս պայմանը չի կատարվում, ապա գործիչը կոչվում է թեք: Ուղղակի և թեք կոնների միջև տարբերությունը ներկայացված է ստորև նկարում։
Ձևի մշակում
Կոնի մակերեսի ուսումնասիրությունը հարմար է իրականացնել՝ այն դիտարկելով հարթության վրա։ Տիեզերքում ֆիգուրների մակերեսը ներկայացնելու այս ձևը կոչվում է դրանց զարգացում։ Կոնու համար այս զարգացումը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ. անհրաժեշտ է վերցնել գործիչ, որը պատրաստված է, օրինակ, թղթից: Այնուհետև մկրատով կտրեք շրջագծի շուրջ գտնվող կլոր հիմքը։ Դրանից հետո գեներատորի երկայնքով կտրեք կոնաձև մակերեսը և դարձրեք այն հարթության: Այս պարզ գործողությունների արդյունքը կլինի կոնի զարգացումը, որը ներկայացված է ստորև նկարում:
Ինչպես տեսնում եք, կոնի մակերեսը իսկապես կարող է ներկայացված լինել հարթության վրա: Այն բաղկացած է հետևյալ երկու մասից՝
- շրջան՝ r շառավղով, որը ներկայացնում է նկարի հիմքը;
- շրջանաձև հատված g շառավղով, որը կոնաձև մակերես է։
Կոնի մակերեսի բանաձևը ներառում է երկու բացված մակերևույթների տարածքները գտնելը:
Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը
Եկեք առաջադրանքը բաժանենք երկու փուլի. Սկզբում գտնում ենք կոնի հիմքի մակերեսը, այնուհետև՝ կոնաձև մակերեսի մակերեսը։
Խնդրի առաջին մասը հեշտ է լուծել: Քանի որ տրված է r շառավիղը, հիմքի տարածքը հաշվարկելու համար բավական է հիշել շրջանագծի տարածքի համապատասխան արտահայտությունը: Եկեք գրենք:
So=pi × r2
Եթե շառավիղը հայտնի չէ, ապա նախ պետք է այն գտնել՝ օգտագործելով դրա, բարձրության և գեներատորի միջև հարաբերության բանաձևը:
Կոնի տարածքը գտնելու խնդրի երկրորդ մասը որոշ չափով ավելի բարդ է: Նկատի ունեցեք, որ շրջանաձև հատվածը կառուցված է գեներատորի g շառավղով և սահմանափակված է աղեղով, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շրջագծին: Այս փաստը թույլ է տալիս գրել համամասնությունը և գտնել դիտարկվող հատվածի անկյունը։ Նշենք այն հունարեն φ տառով։ Այս անկյունը հավասար կլինի՝
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Իմանալով շրջանաձև հատվածի կենտրոնական φ անկյունը, կարող եք օգտագործել համապատասխան համամասնությունը՝ գտնելու դրա մակերեսը: Նշենք այն Sb նշանով։ Այն հավասար կլինի՝
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=պի × r × g
Այսինքն՝ կոնաձև մակերեսի մակերեսը համապատասխանում է g գեներատորի արտադրյալին, r հիմքի շառավղին և Pi թվին։
Իմանալով, թե ինչ ոլորտներում է երկուսըհաշվի առնելով մակերեսները, մենք կարող ենք գրել կոնի մակերեսի վերջնական բանաձևը՝
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Գրավոր արտահայտությունը ենթադրում է կոնի երկու գծային պարամետրերի իմացություն՝ S-ը հաշվարկելու համար։ Եթե g-ը կամ r-ն անհայտ են, ապա դրանք կարելի է գտնել h բարձրության միջով։
Կոնի մակերեսը հաշվարկելու խնդիրը
Հայտնի է, որ կլոր ուղիղ կոնի բարձրությունը հավասար է տրամագծին։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի մակերեսը՝ իմանալով, որ դրա հիմքի մակերեսը 50 սմ է 2.
Իմանալով շրջանագծի մակերեսը՝ կարող եք գտնել նկարի շառավիղը։ Մենք ունենք՝
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Այժմ եկեք գտնենք g գեներատորը h և r-ով: Ըստ պայմանի՝ նկարի h բարձրությունը հավասար է երկու r շառավղին, ապա՝
ժ=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
գ-ի և r-ի հայտնաբերված բանաձևերը պետք է փոխարինվեն կոնի ամբողջ տարածքի արտահայտությամբ: Մենք ստանում ենք՝
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
Ստացված արտահայտության մեջ փոխարինում ենք So հիմքի մակերեսը և գրում պատասխանը՝ S ≈ 161,8 սմ2.
