Ստերեոմետրիայի շրջանակներում եռաչափ տարածության մեջ պատկերների հատկություններն ուսումնասիրելիս հաճախ պետք է խնդիրներ լուծել ծավալը և մակերեսը որոշելու համար։ Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել կտրված բուրգի ծավալը և կողային մակերեսը՝ օգտագործելով հայտնի բանաձևերը:
Բուրգը երկրաչափության մեջ
Երկրաչափության մեջ սովորական բուրգը տարածության մեջ գտնվող պատկեր է, որը կառուցված է ինչ-որ հարթ n-անկյունի վրա: Նրա բոլոր գագաթները միացված են մի կետի, որը գտնվում է բազմանկյան հարթությունից դուրս։ Օրինակ, ահա մի լուսանկար, որը ցույց է տալիս հնգանկյուն բուրգը:
Այս ցուցանիշը ձևավորվում է դեմքերով, գագաթներով և եզրերով: Հինգանկյուն երեսը կոչվում է հիմք: Մնացած եռանկյուն դեմքերը կազմում են կողային մակերեսը: Բոլոր եռանկյունների հատման կետը բուրգի հիմնական գագաթն է: Եթե նրանից ուղղահայաց է իջեցվել դեպի հիմքը, ապա խաչմերուկի կետի դիրքի համար հնարավոր է երկու տարբերակ՝
- երկրաչափական կենտրոնում, ապա բուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ;
- մուտ չէերկրաչափական կենտրոն, ապա պատկերը կլինի թեք:
Այնուհետև մենք կդիտարկենք միայն կանոնավոր n-անկյունային հիմքով ուղիղ թվեր:
Ի՞նչ է այս պատկերը՝ կտրված բուրգ։
Կտրված բուրգի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ, թե կոնկրետ որ գործչի մասին է խոսքը: Եկեք պարզաբանենք այս հարցը։
Ենթադրենք՝ վերցնում ենք սովորական բուրգի հիմքին զուգահեռ կտրող հարթություն և դրանով կտրում ենք կողային մակերեսի մի մասը։ Եթե այս գործողությունը կատարվի վերևում ներկայացված հնգանկյուն բուրգով, դուք կստանաք այնպիսի ցուցանիշ, ինչպիսին ստորև նկարում է:
Լուսանկարից երևում է, որ այս բուրգն արդեն երկու հիմք ունի, իսկ վերին մասը նման է ներքևին, բայց չափսերով ավելի փոքր է։ Կողային մակերեսն այլևս ներկայացված է ոչ թե եռանկյուններով, այլ տրապիզոիդներով։ Նրանք հավասարաչափ են, և դրանց թիվը համապատասխանում է հիմքի կողմերի թվին։ Կտրված պատկերը չունի հիմնական գագաթ, ինչպես կանոնավոր բուրգը, և դրա բարձրությունը որոշվում է զուգահեռ հիմքերի միջև եղած հեռավորությամբ:
Ընդհանուր դեպքում, եթե դիտարկվող պատկերը կազմված է n-անկյունային հիմքերով, այն ունի n+2 երես կամ կողմ, 2n գագաթ և 3n եզր։ Այսինքն՝ կտրված բուրգը բազմանկյուն է։
Կտրված բուրգի ծավալի բանաձև
Հիշենք, որ սովորական բուրգի ծավալը նրա բարձրության և հիմքի մակերեսի արտադրյալի 1/3-ն է։ Այս բանաձևը հարմար չէ կտրված բուրգի համար, քանի որ այն ունի երկու հիմք: Եվ դրա ծավալըմիշտ կլինի նույն արժեքից փոքր այն կանոնավոր թվի համար, որից այն ստացվել է:
Առանց արտահայտությունը ստանալու մաթեմատիկական մանրամասների մեջ մտնելու՝ ներկայացնում ենք կտրված բուրգի ծավալի վերջնական բանաձևը: Գրված է հետևյալ կերպ.
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
Այստեղ S1 և S2-ը համապատասխանաբար ստորին և վերին հիմքերի տարածքներն են, h-ը նկարի բարձրությունն է:. Գրավոր արտահայտությունը վավեր է ոչ միայն ուղիղ կանոնավոր կտրված բուրգի, այլ նաև այս դասի ցանկացած գործչի համար։ Ընդ որում, անկախ բազային բազմանկյունների տեսակից։ Միակ պայմանը, որը սահմանափակում է V արտահայտության օգտագործումը, բուրգի հիմքերը միմյանց զուգահեռ լինելու անհրաժեշտությունն է։
Մի քանի կարևոր եզրակացություն կարելի է անել՝ ուսումնասիրելով այս բանաձևի հատկությունները։ Այսպիսով, եթե վերին հիմքի մակերեսը զրո է, ապա մենք գալիս ենք սովորական բուրգի V-ի բանաձևին: Եթե հիմքերի մակերեսները հավասար են միմյանց, ապա ստանում ենք պրիզմայի ծավալի բանաձևը։
Ինչպե՞ս որոշել կողային մակերեսը:
Կտրված բուրգի բնութագրերի իմացությունը պահանջում է ոչ միայն դրա ծավալը հաշվարկելու ունակություն, այլ նաև իմանալ, թե ինչպես որոշել կողային մակերեսի մակերեսը:
Կտրված բուրգը բաղկացած է երկու տեսակի դեմքերից.
- հավասարսուռ trapezoids;
- բազմանկյուն հիմքեր.
Եթե հիմքերում կա կանոնավոր բազմանկյուն, ապա դրա մակերեսի հաշվարկը մեծ չէդժվարություններ. Դա անելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն a կողմի երկարությունը և դրանց թիվը n:
Կողմնային մակերևույթի դեպքում դրա մակերեսի հաշվարկը ներառում է n trapezoid-ից յուրաքանչյուրի համար այս արժեքի որոշումը: Եթե n-gon-ը ճիշտ է, ապա կողային մակերեսի բանաձևը դառնում է՝
Sb=hbn(a1+a2)/2
Այստեղ hb-ը տրապեզի բարձրությունն է, որը կոչվում է պատկերի ապոտեմ: a1 և a2մեծությունները կանոնավոր n-անկյունային հիմքերի կողմերի երկարություններն են:
Յուրաքանչյուր կանոնավոր n-գոնալ կտրված բուրգի համար hb ապոտեմա կարող է եզակիորեն սահմանվել a1 և a պարամետրերի միջոցով: 2և ձևի h բարձրությունը։
Նկարի ծավալը և մակերեսը հաշվարկելու առաջադրանքը
Տրված է կանոնավոր եռանկյունաձեւ կտրված բուրգը: Հայտնի է, որ նրա h բարձրությունը 10 սմ է, իսկ հիմքերի կողմերի երկարությունները՝ 5 սմ և 3 սմ։ Որքա՞ն է կտրված բուրգի ծավալը և նրա կողային մակերեսը։
Նախ, եկեք հաշվարկենք V արժեքը: Դա անելու համար գտեք նկարի հիմքերում գտնվող հավասարակողմ եռանկյունների մակերեսները: Մենք ունենք՝
S1=√3/4a12=√3/4 52=10,825 սմ2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3,897 սմ2
Տվյալները փոխարինեք V-ի բանաձևով, մենք ստանում ենք ցանկալի ծավալը՝
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 սմ3
Կողային մակերեսը որոշելու համար դուք պետք է իմանաքապոթեմի երկարությունը hb: Հաշվի առնելով բուրգի ներսում համապատասխան ուղղանկյուն եռանկյունը, կարող ենք դրա հավասարությունը գրել՝
hb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10,017 սմ
Ապոթեմի արժեքը և եռանկյուն հիմքերի կողմերի արժեքը փոխարինվում են Sbարտահայտությամբ և ստանում ենք պատասխանը՝:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 սմ2
Այսպիսով, մենք պատասխանել ենք խնդրի բոլոր հարցերին. V ≈ 70,72 սմ3, Sb ≈ 120,2 սմ2.
