Կոնի ծավալը որոշելու բանաձև. Խնդրի լուծման օրինակ

2025 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2025-01-23 12:25

Ավագ դպրոցում ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության ժամանակ յուրաքանչյուր աշակերտ հանդիպեց մի կոնի: Այս տարածական գործչի երկու կարևոր բնութագրերն են մակերեսի մակերեսը և ծավալը: Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել կլոր կոնի ծավալը։

Կլոր կոն՝ որպես ուղղանկյուն եռանկյան պտտման պատկեր

Հոդվածի թեմային անմիջապես անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է նկարագրել կոնը երկրաչափական տեսանկյունից։

Թող լինի մի քանի ուղղանկյուն եռանկյուն: Եթե դուք պտտեք այն ոտքից որևէ մեկի շուրջը, ապա այս գործողության արդյունքը կլինի ցանկալի պատկերը, որը ցույց է տրված ստորև նկարում:

Այստեղ AB ոտքը կոնի առանցքի մի մասն է, և դրա երկարությունը համապատասխանում է պատկերի բարձրությանը: Երկրորդ ոտքը (հատվածը CA) կլինի կոնի շառավիղը: Պտտման ընթացքում այն նկարագրելու է շրջանակը, որը սահմանում է գործչի հիմքը: BC հիպոթենուսը կոչվում է պատկերի գեներատրիքս կամ նրա գեներատրիքս: B կետը կոնի միակ գագաթն է:

Հաշվի առնելով ABC եռանկյան հատկությունները, մենք կարող ենք գրել g գեներատորի, r շառավիղի և h բարձրության հարաբերությունները հետևյալ կերպ.հավասարություն:

g²=h²+ r²

Այս բանաձևը օգտակար է տվյալ գործչի հետ կապված բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար:

Կոնի ծավալի բանաձև

Ցանկացած տարածական պատկերի ծավալը տարածության տարածքն է, որը սահմանափակվում է այս պատկերի մակերեսներով: Կոնու համար կա երկու այդպիսի մակերես՝

1. Կողային կամ կոնաձև: Այն ձևավորվում է բոլոր գեներատորներով։
2. Հիմնադրամ. Այս դեպքում դա շրջան է։

Ստացեք կոնի ծավալը որոշելու բանաձևը. Դա անելու համար մենք մտովի կտրեցինք այն բազային զուգահեռ բազմաթիվ շերտերի: Շերտերից յուրաքանչյուրն ունի dx հաստություն, որը ձգտում է զրոյի: Նկարի վերևից x հեռավորության վրա գտնվող շերտի S_x մակերեսը հավասար է հետևյալ արտահայտությանը.

S_x=pir²x²/h ²

Այս արտահայտության վավերականությունը կարելի է ստուգել ինտուիտիվ կերպով՝ փոխարինելով x=0 և x=h արժեքները: Առաջին դեպքում կստանանք զրոյի հավասար մակերես, երկրորդ դեպքում այն հավասար կլինի կլոր հիմքի մակերեսին։

Կոնի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր շերտի փոքր «ծավալներ» գումարել, այսինքն՝ օգտագործել ինտեգրալ հաշվարկը՝

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/ժ²2_/ժ2 ^∫0ժ

(x2dx)

Հաշվելով այս ինտեգրալը՝ մենք հասնում ենք կլոր կոնի վերջնական բանաձևին՝

V=1/3pir²h

Հետաքրքիր է նշել, որ այս բանաձևը լիովին նման է կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար օգտագործվող բանաձևին: Այս զուգադիպությունը պատահական չէ, քանի որ ցանկացած բուրգ դառնում է կոն, երբ նրա ծայրերի թիվը մեծանում է մինչև անսահմանություն։

Ծավալի հաշվարկման խնդիր

Օգտակար է բերել խնդրի լուծման օրինակ, որը ցույց կտա V ծավալի համար ստացված բանաձևի օգտագործումը։

Տրվում է կլոր կոն, որի հիմքի մակերեսը 37 սմ է², իսկ նկարի գեներատորը շառավիղից երեք անգամ է: Որքա՞ն է կոնի ծավալը:

Մենք իրավունք ունենք օգտագործելու ծավալի բանաձևը, եթե գիտենք երկու մեծություն՝ h բարձրություն և r շառավիղ։ Եկեք գտնենք այն բանաձևերը, որոնք որոշում են դրանք խնդրի պայմանին համապատասխան։

R շառավիղը կարելի է հաշվարկել՝ իմանալով S շրջանագծի մակերեսը, մենք ունենք՝

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Օգտագործելով խնդրի պայմանը, մենք գրում ենք g գեներատորի հավասարությունը:

g=3r=3√(S_o/pi)

Իմանալով r-ի և g-ի բանաձևերը՝ հաշվարկեք h բարձրությունը:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ պարամետրերը: Այժմ ժամանակն է դրանք միացնել V:

բանաձևին

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Մնում է փոխարինելբազային տարածքը S_o և հաշվարկեք ծավալի արժեքը՝ V=119,75 սմ³.