Կոնի ծավալը որոշելու բանաձև. Խնդրի լուծման օրինակ

Կոնի ծավալը որոշելու բանաձև. Խնդրի լուծման օրինակ
Կոնի ծավալը որոշելու բանաձև. Խնդրի լուծման օրինակ
Anonim

Ավագ դպրոցում ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության ժամանակ յուրաքանչյուր աշակերտ հանդիպեց մի կոնի: Այս տարածական գործչի երկու կարևոր բնութագրերն են մակերեսի մակերեսը և ծավալը: Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել կլոր կոնի ծավալը։

Կլոր կոն՝ որպես ուղղանկյուն եռանկյան պտտման պատկեր

Հոդվածի թեմային անմիջապես անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է նկարագրել կոնը երկրաչափական տեսանկյունից։

Թող լինի մի քանի ուղղանկյուն եռանկյուն: Եթե դուք պտտեք այն ոտքից որևէ մեկի շուրջը, ապա այս գործողության արդյունքը կլինի ցանկալի պատկերը, որը ցույց է տրված ստորև նկարում:

Կոն - պտտման գործիչ
Կոն - պտտման գործիչ

Այստեղ AB ոտքը կոնի առանցքի մի մասն է, և դրա երկարությունը համապատասխանում է պատկերի բարձրությանը: Երկրորդ ոտքը (հատվածը CA) կլինի կոնի շառավիղը: Պտտման ընթացքում այն նկարագրելու է շրջանակը, որը սահմանում է գործչի հիմքը: BC հիպոթենուսը կոչվում է պատկերի գեներատրիքս կամ նրա գեներատրիքս: B կետը կոնի միակ գագաթն է:

Հաշվի առնելով ABC եռանկյան հատկությունները, մենք կարող ենք գրել g գեներատորի, r շառավիղի և h բարձրության հարաբերությունները հետևյալ կերպ.հավասարություն:

g2=h2+ r2

Այս բանաձևը օգտակար է տվյալ գործչի հետ կապված բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար:

Կոն և դրա պարամետրերը
Կոն և դրա պարամետրերը

Կոնի ծավալի բանաձև

Ցանկացած տարածական պատկերի ծավալը տարածության տարածքն է, որը սահմանափակվում է այս պատկերի մակերեսներով: Կոնու համար կա երկու այդպիսի մակերես՝

  1. Կողային կամ կոնաձև: Այն ձևավորվում է բոլոր գեներատորներով։
  2. Հիմնադրամ. Այս դեպքում դա շրջան է։

Ստացեք կոնի ծավալը որոշելու բանաձևը. Դա անելու համար մենք մտովի կտրեցինք այն բազային զուգահեռ բազմաթիվ շերտերի: Շերտերից յուրաքանչյուրն ունի dx հաստություն, որը ձգտում է զրոյի: Նկարի վերևից x հեռավորության վրա գտնվող շերտի Sx մակերեսը հավասար է հետևյալ արտահայտությանը.

Sx=pir2x2/h 2

Այս արտահայտության վավերականությունը կարելի է ստուգել ինտուիտիվ կերպով՝ փոխարինելով x=0 և x=h արժեքները: Առաջին դեպքում կստանանք զրոյի հավասար մակերես, երկրորդ դեպքում այն հավասար կլինի կլոր հիմքի մակերեսին։

Կոնի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր շերտի փոքր «ծավալներ» գումարել, այսինքն՝ օգտագործել ինտեգրալ հաշվարկը՝

V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2222

(x2dx)

Հաշվելով այս ինտեգրալը՝ մենք հասնում ենք կլոր կոնի վերջնական բանաձևին՝

V=1/3pir2h

Հետաքրքիր է նշել, որ այս բանաձևը լիովին նման է կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար օգտագործվող բանաձևին: Այս զուգադիպությունը պատահական չէ, քանի որ ցանկացած բուրգ դառնում է կոն, երբ նրա ծայրերի թիվը մեծանում է մինչև անսահմանություն։

Կոն և բուրգի ծավալներ
Կոն և բուրգի ծավալներ

Ծավալի հաշվարկման խնդիր

Օգտակար է բերել խնդրի լուծման օրինակ, որը ցույց կտա V ծավալի համար ստացված բանաձևի օգտագործումը։

Տրվում է կլոր կոն, որի հիմքի մակերեսը 37 սմ է2, իսկ նկարի գեներատորը շառավիղից երեք անգամ է: Որքա՞ն է կոնի ծավալը:

Մենք իրավունք ունենք օգտագործելու ծավալի բանաձևը, եթե գիտենք երկու մեծություն՝ h բարձրություն և r շառավիղ։ Եկեք գտնենք այն բանաձևերը, որոնք որոշում են դրանք խնդրի պայմանին համապատասխան։

R շառավիղը կարելի է հաշվարկել՝ իմանալով S շրջանագծի մակերեսը, մենք ունենք՝

So=pir2=>

r=√(So/pi)

Օգտագործելով խնդրի պայմանը, մենք գրում ենք g գեներատորի հավասարությունը:

g=3r=3√(So/pi)

Իմանալով r-ի և g-ի բանաձևերը՝ հաշվարկեք h բարձրությունը:

h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)

Մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ պարամետրերը: Այժմ ժամանակն է դրանք միացնել V:

բանաձևին

V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)

Մնում է փոխարինելբազային տարածքը So և հաշվարկեք ծավալի արժեքը՝ V=119,75 սմ3.

Խորհուրդ ենք տալիս: