Քառյակային հավասարումներ հաճախ ի հայտ են գալիս մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրներում, ուստի յուրաքանչյուր ուսանող պետք է կարողանա լուծել դրանք: Այս հոդվածը մանրամասնում է քառակուսի հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները, ինչպես նաև տալիս է դրանց օգտագործման օրինակներ։
Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսի
Նախ կպատասխանենք այս պարբերության հարցին՝ ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչի մասին է լինելու հոդվածը։ Այսպիսով, քառակուսի հավասարումն ունի հետևյալ ընդհանուր ձևը՝ c + bx+ax2=0, որտեղ a, b, c որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են գործակիցներ։ Այստեղ a≠0-ը պարտադիր պայման է, հակառակ դեպքում նշված հավասարումը վերածվում է գծայինի: Մնացած գործակիցները (b, c) կարող են ընդունել բացարձակապես ցանկացած արժեք, ներառյալ զրո: Այսպիսով, այնպիսի արտահայտություններ, ինչպիսիք են ax2=0, որտեղ b=0 և c=0, կամ c+ax2=0, որտեղ b=0, կամ bx+ax2=0, որտեղ c=0 նույնպես քառակուսի հավասարումներ են, որոնք կոչվում են թերի, քանի որ դրանցում b գծային գործակիցը զրո է կամ զրո։c ազատ տերմին է, կամ նրանք երկուսն էլ անհետանում են:
Հավասարում, որտեղ a=1 կոչվում է կրճատված, այսինքն՝ ունի ձև՝ x2 + с/a + (b/a)x=0։
Քառակուսային հավասարման լուծումը պետք է գտնել այնպիսի x արժեքներ, որոնք բավարարում են դրա հավասարությունը: Այս արժեքները կոչվում են արմատներ: Քանի որ քննարկվող հավասարումը երկրորդ աստիճանի արտահայտություն է, սա նշանակում է, որ դրա արմատների առավելագույն թիվը չի կարող գերազանցել երկուսը։
Քառակուսի հավասարումների լուծման ի՞նչ մեթոդներ կան
Ընդհանուր առմամբ, գոյություն ունի լուծման 4 եղանակ. Նրանց անունները թվարկված են ստորև՝
- Ֆակտորինգ.
- Հավելում հրապարակում.
- Օգտագործելով հայտնի բանաձև (տարբերիչի միջոցով):
- Լուծման մեթոդը երկրաչափական է։
Ինչպես կարող եք տեսնել վերը նշված ցանկից, առաջին երեք մեթոդները հանրահաշվական են, ուստի դրանք օգտագործվում են ավելի հաճախ, քան վերջինը, որը ներառում է ֆունկցիայի գծապատկեր:
Կա Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումները լուծելու ևս մեկ եղանակ: Այն կարող էր ներառվել վերը նշված ցանկում 5-րդը, սակայն դա չի արվում, քանի որ Վիետայի թեորեմը 3-րդ մեթոդի պարզ հետևանքն է։
Հոդվածում ավելի ուշ կքննարկենք լուծման անվանված մեթոդները, ինչպես նաև կտանք դրանց օգտագործման օրինակներ հատուկ հավասարումների արմատները գտնելու համար:
Մեթոդ 1. Ֆակտորինգ
Այս մեթոդի համար քառակուսի հավասարումների մաթեմատիկայի մեջ կա գեղեցիկանվանումը՝ ֆակտորիզացիա։ Այս մեթոդի էությունը հետևյալն է՝ քառակուսի հավասարումը պետք է ներկայացնել որպես երկու անդամի (արտահայտությունների) արտադրյալ, որը պետք է հավասար լինի զրոյի։ Նման ներկայացումից հետո կարող եք օգտագործել արտադրանքի հատկությունը, որը հավասար կլինի զրոյի միայն այն դեպքում, երբ նրա անդամներից մեկը կամ մի քանիսը զրո են։
Այժմ դիտարկենք հատուկ գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք պետք է կատարվեն հավասարման արմատները գտնելու համար.
- Տեղափոխեք բոլոր անդամներին արտահայտության մի մաս (օրինակ՝ դեպի ձախ), որպեսզի նրա մյուս մասում (աջ) մնա միայն 0-ը։
- Հավասարման մի մասի անդամների գումարը ներկայացրեք որպես երկու գծային հավասարումների արտադրյալ:
- Գծային արտահայտություններից յուրաքանչյուրը զրո սահմանեք և լուծեք դրանք։
Ինչպես տեսնում եք, ֆակտորիզացիայի ալգորիթմը բավականին պարզ է, սակայն 2-րդ կետն իրականացնելիս ուսանողների մեծամասնությունը դժվարություններ է ունենում, ուստի այն ավելի մանրամասն կբացատրենք։
Գուշակելու համար, թե որ 2 գծային արտահայտությունները միմյանցով բազմապատկելով կտան ցանկալի քառակուսի հավասարումը, պետք է հիշել երկու պարզ կանոն.
- Երկու գծային արտահայտությունների գծային գործակիցները, երբ բազմապատկվում են միմյանցով, պետք է տան քառակուսի հավասարման առաջին գործակիցը, այսինքն՝ a թիվը։
- Գծային արտահայտությունների ազատ անդամները, երբ բազմապատկվում են, պետք է տան ցանկալի հավասարման c թիվը:
Բոլոր գործոնների թվերն ընտրելուց հետո դրանք պետք է բազմապատկվեն, և եթե նրանք տալիս են ցանկալի հավասարումը, ապա անցեք քայլ 3-ին:վերը նշված ալգորիթմը, հակառակ դեպքում դուք պետք է փոխեք բազմապատկիչները, բայց դուք պետք է դա անեք այնպես, որ վերը նշված կանոնները միշտ պահպանվեն:
Ֆակտորացման մեթոդով լուծման օրինակ
Եկեք հստակ ցույց տանք, թե ինչպես է քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմը անհայտ արմատներ կազմելու և գտնելու համար: Թող տրվի կամայական արտահայտություն, օրինակ՝ 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Անցնենք դրա լուծմանը՝ պահպանելով հոդվածի նախորդ պարբերությունում շարադրված 1-ից 3 կետերի հաջորդականությունը։
Կետ 1. Բոլոր անդամները տեղափոխեք ձախ կողմ և դասավորեք դրանք դասական հաջորդականությամբ՝ քառակուսի հավասարման համար: Մենք ունենք հետևյալ հավասարությունը՝ 2x+(-8)+x2=0.
Կետ 2. Այն բաժանում ենք գծային հավասարումների արտադրյալի: Քանի որ a=1, իսկ c=-8, ապա մենք կընտրենք, օրինակ, նման արտադրյալ (x-2)(x+4): Այն համապատասխանում է վերը նշված պարբերությունում նշված ակնկալվող գործոնները գտնելու կանոններին: Եթե բացենք փակագծերը, ապա կստանանք՝ -8+2x+x2, այսինքն՝ կստանանք ճիշտ նույն արտահայտությունը, ինչ հավասարման ձախ կողմում։ Սա նշանակում է, որ մենք ճիշտ ենք կռահել բազմապատկիչները և կարող ենք անցնել ալգորիթմի 3-րդ քայլին։
Կետ 3. Յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցրեք զրոյի, ստանում ենք՝ x=-4 և x=2:
Եթե արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ կան, խորհուրդ է տրվում ստուգել՝ փոխարինելով գտնված արմատները սկզբնական հավասարման մեջ: Այս դեպքում մենք ունենք՝ 22+22-8=0 և 2(-4)+(-4)2 -8=0. Արմատները ճիշտ են գտնվել։
Այսպիսով, օգտագործելով ֆակտորացման մեթոդը, մենք պարզեցինք, որ տրված հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ.ունի՝ 2 և -4.
Մեթոդ 2. Լրացրեք ամբողջ քառակուսին
Քառակուսի հավասարումների հանրահաշիվում բազմապատկիչ մեթոդը չի կարող միշտ օգտագործվել, քանի որ քառակուսի հավասարման գործակիցների կոտորակային արժեքների դեպքում դժվարություններ են առաջանում ալգորիթմի 2-րդ պարբերության իրականացման ժամանակ։
Լրիվ քառակուսի մեթոդը, իր հերթին, ունիվերսալ է և կարող է կիրառվել ցանկացած տեսակի քառակուսի հավասարումների համար: Դրա էությունը հետևյալ գործողությունների կատարումն է.
- A և b գործակիցները պարունակող հավասարման անդամները պետք է փոխանցվեն հավասարման մի մասի, իսկ c ազատ անդամը մյուսին:
- Հետագայում հավասարության մասերը (աջ և ձախ) պետք է բաժանել a գործակցով, այսինքն՝ հավասարումը ներկայացնել կրճատված ձևով (a=1):
- Գումարի՛ր a և b գործակիցներով անդամները՝ ներկայացնելու որպես գծային հավասարման քառակուսի: Քանի որ \u003d 1, ապա գծային գործակիցը հավասար կլինի 1-ի, ինչ վերաբերում է գծային հավասարման ազատ անդամին, ապա այն պետք է հավասար լինի կրճատված քառակուսի հավասարման գծային գործակցի կեսին: Գծային արտահայտության քառակուսին կազմելուց հետո անհրաժեշտ է հավասարության աջ կողմում ավելացնել համապատասխան թիվը, որտեղ գտնվում է ազատ անդամը, որը ստացվում է քառակուսին ընդլայնելով։
- Վերցրեք քառակուսի արմատը «+» և «-» նշաններով և լուծեք արդեն ստացված գծային հավասարումը։
Նկարագրված ալգորիթմն առաջին հայացքից կարող է ընկալվել որպես բավականին բարդ, սակայն գործնականում այն ավելի հեշտ է իրականացնել, քան ֆակտորացման մեթոդը:
Լուծման օրինակ՝ օգտագործելով լրիվ քառակուսի լրացումը
Բերենք քառակուսի հավասարման օրինակ՝ դրա լուծումը նախորդ պարբերությունում նկարագրված մեթոդով վարժեցնելու համար: Թող տրվի քառակուսի հավասարումը -10 - 6x+5x2=0: Մենք սկսում ենք այն լուծել վերը նկարագրված ալգորիթմով:
Կետ 1. Քառակուսի հավասարումներ լուծելիս օգտագործում ենք փոխանցման մեթոդը, ստանում ենք՝ - 6x+5x2=10.
Կետ 2. Այս հավասարման կրճատված ձևը ստացվում է նրա յուրաքանչյուր անդամի 5 թվի վրա բաժանելով (եթե երկու մասերը բաժանվեն կամ բազմապատկվեն նույն թվով, ապա հավասարությունը կպահպանվի): Փոխակերպումների արդյունքում ստանում ենք՝ x2 - 6/5x=2.
Կետ 3. 6/5 գործակիցի կեսը -6/10=-3/5 է, այս թիվը օգտագործեք քառակուսին լրացնելու համար, ստանում ենք՝ (-3/5+x) 2 . Մենք ընդլայնում ենք այն և ստացված ազատ անդամը պետք է հանել հավասարության ձախ կողմից, որպեսզի բավարարվի քառակուսի հավասարման սկզբնական ձևը, որը համարժեք է այն աջ կողմին ավելացնելուն։ Արդյունքում մենք ստանում ենք՝ (-3/5+x)2=59/25.
Կետ 4. Հաշվե՛ք քառակուսի արմատը դրական և բացասական նշաններով և գտե՛ք արմատները՝ x=3/5±√59/5=(3±√59)/5: Գտնված երկու արմատներն ունեն հետևյալ արժեքները՝ x1=(√59+3)/5 և x1=(3-√59)/5.
Քանի որ կատարված հաշվարկները կապված են արմատների հետ, սխալվելու հավանականությունը մեծ է։ Ուստի խորհուրդ է տրվում ստուգել x2 և x1 արմատների ճիշտությունը: Մենք ստանում ենք x1՝ 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0: Փոխարինել հիմաx2՝ 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Այսպիսով, մենք ցույց տվեցինք, որ հավասարման հայտնաբերված արմատները ճշմարիտ են:
Մեթոդ 3. Հայտնի բանաձևի կիրառում
Քառակուսային հավասարումների լուծման այս մեթոդը թերևս ամենապարզն է, քանի որ այն բաղկացած է գործակիցները հայտնի բանաձևով փոխարինելուց: Այն օգտագործելու համար պետք չէ մտածել լուծման ալգորիթմներ կազմելու մասին, բավական է հիշել միայն մեկ բանաձեւ. Այն ցուցադրված է վերևի նկարում։
Այս բանաձևում արմատական արտահայտությունը (b2-4ac) կոչվում է դիսկրիմինանտ (D): Նրա արժեքից կախված է նրանից, թե ինչ արմատներ են ձեռք բերվում: Կան 3 դեպք՝
- D>0, ապա արմատ երկու հավասարումը ունի իրական և տարբեր:
- D=0, ապա ստացվում է արմատը, որը կարելի է հաշվարկել x=-b/(a2) արտահայտությունից։
- D<0, ապա դուք ստանում եք երկու տարբեր երևակայական արմատներ, որոնք ներկայացված են որպես բարդ թվեր: Օրինակ՝ 3-5i թիվը բարդ է, իսկ երևակայական i միավորը բավարարում է հատկությունը՝ i2=-1.
։
Լուծման օրինակ՝ հաշվարկելով դիսկրիմինանտը
Բերենք քառակուսի հավասարման օրինակ՝ կիրառելով վերը նշված բանաձևը: Գտեք -3x2-6+3x+4x=0-ի արմատները: Նախ հաշվարկեք դիսկրիմինանտի արժեքը, ստանում ենք՝ D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Քանի որ ստացվել է D<0, նշանակում է, որ դիտարկվող հավասարման արմատները բարդ թվեր են։ Գտնենք դրանք՝ փոխարինելով գտնված D արժեքը նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևով (այն նաև ցուցադրված է վերևի լուսանկարում): Մենք ստանում ենք՝ x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Մեթոդ 4. Օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկը
Այն նաև կոչվում է քառակուսի հավասարումների լուծման գրաֆիկական մեթոդ։ Պետք է ասել, որ այն, որպես կանոն, օգտագործվում է դիտարկվող հավասարման ոչ թե քանակական, այլ որակական վերլուծության համար։
Մեթոդի էությունը y=f(x) քառակուսի ֆունկցիայի գծագրումն է, որը պարաբոլա է: Այնուհետև անհրաժեշտ է որոշել, թե որ կետերում է պարաբոլան հատում x առանցքը (X), դրանք կլինեն համապատասխան հավասարման արմատները։
Որպեսզի պարզենք, թե արդյոք պարաբոլան հատում է X առանցքը, բավական է իմանալ նրա նվազագույնի (առավելագույնի) դիրքը և ճյուղերի ուղղությունը (դրանք կարող են կա՛մ մեծանալ, կա՛մ նվազել): Այս կորի երկու հատկություն կա հիշելու համար.
- Եթե a>0 - ճյուղի պարաբոլները ուղղված են դեպի վեր, ընդհակառակը, եթե a<0, ապա դրանք իջնում են:
- Պարաբոլայի նվազագույն (առավելագույն) կոորդինատը միշտ x=-b/(2a) է։
Օրինակ, դուք պետք է որոշեք, արդյոք -4x+5x2+10=0 հավասարումը արմատներ ունի: Համապատասխան պարաբոլան ուղղված կլինի դեպի վեր, քանի որ a.=5>0. Նրա ծայրահեղությունն ունի կոորդինատներ՝ x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Քանի որ կորի նվազագույնը գտնվում է x առանցքի վերևում (y=9, 2), այնուհետև այն չի հատում վերջինիս ոչ միx արժեքներ. Այսինքն՝ տրված հավասարումը չունի իրական արմատներ։
Վիետայի թեորեմ
Ինչպես նշվեց վերևում, այս թեորեմը թիվ 3 մեթոդի հետևանք է, որը հիմնված է տարբերակիչով բանաձևի կիրառման վրա: Վիետայի թեորեմի էությունն այն է, որ այն թույլ է տալիս հավասարության գործակիցները և դրա արմատները կապել հավասարության մեջ։ Ստացնենք համապատասխան հավասարությունները։
Օգտագործենք արմատները դիսկրիմինանտի միջոցով հաշվելու բանաձևը։ Ավելացնենք երկու արմատ, ստանում ենք՝ x1+x2=-b/a: Հիմա արմատները բազմապատկենք իրարով՝ x1x2, մի շարք պարզեցումներից հետո ստանում ենք c/a թիվը։
։
Այսպիսով, քառակուսի հավասարումները Վիետայի թեորեմով լուծելու համար կարող եք օգտագործել ստացված երկու հավասարությունները։ Եթե հավասարման բոլոր երեք գործակիցները հայտնի են, ապա արմատները կարելի է գտնել՝ լուծելով այս երկու հավասարումների համապատասխան համակարգը։
Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակ
Դուք պետք է գրեք քառակուսի հավասարում, եթե գիտեք, որ այն ունի x2+c=-bx ձևը, և դրա արմատները 3 և -4 են:
Քանի որ քննարկվող հավասարման մեջ a=1, Վիետայի բանաձևերը նման կլինեն՝ x2+x1=-b և x2x1=էջ. Փոխարինելով արմատների հայտնի արժեքները՝ ստանում ենք՝ b=1 և c=-12: Արդյունքում, վերականգնված քառակուսի կրճատված հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x2-12=-1x: Դուք կարող եք փոխարինել արմատների արժեքը դրա մեջ և համոզվել, որ հավասարությունը պահպանվում է:
Վիետայի թեորեմի հակադարձ կիրառում, այսինքն՝ արմատների հաշվարկը ըստհավասարման հայտնի ձևը, որը թույլ է տալիս a, b և c փոքր ամբողջ թվերին արագ (ինտուիտիվ) լուծումներ գտնել:
