Հատկություններ և մեթոդներ քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Աշխարհը դասավորված է այնպես, որ մեծ թվով խնդիրների լուծումը հանգում է քառակուսի հավասարման արմատները գտնելուն: Հավասարումների արմատները կարևոր են տարբեր օրինաչափություններ նկարագրելու համար: Սա հայտնի էր նույնիսկ հին Բաբելոնի երկրաչափերին։ Աստղագետներն ու ինժեներները նույնպես ստիպված էին լուծել նման խնդիրները։ Դեռևս մ.թ. 6-րդ դարում հնդիկ գիտնական Արյաբհատան մշակեց քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու հիմունքները: Բանաձևերն ավարտվել են 19-րդ դարում։

Ընդհանուր հասկացություններ

Հրավիրում ենք Ձեզ ծանոթանալ քառակուսի հավասարումների հիմնական օրինաչափություններին։ Ընդհանուր առմամբ, հավասարությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

ax2 + bx + c=0, Քառակուսի հավասարման արմատների թիվը կարող է հավասար լինել մեկ կամ երկու: Արագ վերլուծություն կարելի է անել՝ օգտագործելով տարբերակիչ հասկացությունը՝

D=b2 - 4ac

Կախված հաշվարկված արժեքից՝ ստանում ենք՝

• Երբ D > 0 կան երկու տարբեր արմատներ: Քառակուսային հավասարման արմատները որոշելու ընդհանուր բանաձևը նման է (-b± √D) / (2a).
• D=0, այս դեպքում արմատը մեկ է և համապատասխանում է x=-b / (2a) արժեքին
• D < 0, տարբերակիչի բացասական արժեքի համար հավասարման լուծում չկա:

Նշում․ եթե դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա հավասարումը արմատներ չունի միայն իրական թվերի շրջանում։ Եթե հանրահաշիվը տարածվում է բարդ արմատների հասկացության վրա, ապա հավասարումը լուծում ունի։

Տրենք գործողությունների շղթա, որը հաստատում է արմատներ գտնելու բանաձևը:

Հավասարման ընդհանուր ձևից հետևում է.

ax2 + bx=-c

Աջ և ձախ մասերը բազմապատկում ենք 4a-ով և ավելացնում b2, ստանում ենք

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Ձախ կողմը վերածի՛ր (2ax + b)² բազմանդամի քառակուսու: Հանում ենք 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2) հավասարման երկու կողմերի քառակուսի արմատը, b գործակիցը տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝.}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Այստեղից հետևում է.

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Ինչ էր պահանջվում ցույց տալ։

Հատուկ դեպք

Որոշ դեպքերում խնդրի լուծումը կարելի է պարզեցնել։ Այսպիսով, b զույգ գործակցի համար մենք ստանում ենք ավելի պարզ բանաձև։

Նշեք k=1/2b, ապա քառակուսի հավասարման արմատների ընդհանուր ձևի բանաձևը ստանում է ձև՝

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Երբ D=0, մենք ստանում ենք x=-k / a

Մեկ այլ հատուկ դեպք է a=1-ով հավասարման լուծումը։

x² + bx + c=0 ձևի համար արմատները կլինեն x=-k ± √(k^{2 - c) 0-ից մեծ դիսկրիմինանտով:Այն դեպքում, երբ D=0, արմատը կորոշվի պարզ բանաձեւով՝ x=-k։}

Օգտագործել գծապատկերներ

Ցանկացած մարդ, նույնիսկ չիմանալով, անընդհատ բախվում է ֆիզիկական, քիմիական, կենսաբանական և նույնիսկ սոցիալական երևույթների, որոնք լավ նկարագրված են քառակուսի ֆունկցիայով:

Ծանոթագրություն. քառակուսային ֆունկցիայի հիման վրա կառուցված կորը կոչվում է պարաբոլա:

Ահա մի քանի օրինակ:

1. Արկի հետագիծը հաշվարկելիս օգտագործվում է հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ արձակված մարմնի պարաբոլայի երկայնքով շարժման հատկությունը։
2. Բեռը հավասարաչափ բաշխելու պարաբոլայի հատկությունը լայնորեն կիրառվում է ճարտարապետության մեջ:

Հասկանալով պարաբոլիկ ֆունկցիայի կարևորությունը՝ եկեք պարզենք, թե ինչպես օգտագործել գրաֆիկը՝ դրա հատկությունները ուսումնասիրելու համար՝ օգտագործելով «դիսկրիմինանտ» և «քառորդական հավասարման արմատներ» հասկացությունները։։

Կախված a և b գործակիցների արժեքից՝ կորի դիրքի միայն վեց տարբերակ կա.

1. Տարբերիչը դրական է, a-ն և b-ն ունեն տարբեր նշաններ: Պարաբոլայի ճյուղերը նայում են դեպի վեր, քառակուսի հավասարումն ունի երկու լուծում:
2. Տարբերիչը և b գործակիցը հավասար են զրոյի, a գործակիցը մեծ է զրոյից: Գրաֆիկը գտնվում է դրական գոտում, հավասարումն ունի 1 արմատ։
3. Խտրականությունը և բոլոր գործակիցները դրական են։ Քառակուսի հավասարումը լուծում չունի։
4. Խտրականությունը և a գործակիցը բացասական են, b-ն մեծ է զրոյից: Գրաֆիկի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, հավասարումն ունի երկու արմատ։
5. Խտրական ևb գործակիցը հավասար է զրոյի, a գործակիցը բացասական է: Պարաբոլան նայում է ներքև, հավասարումն ունի մեկ արմատ:
6. Դրիմինանտի և բոլոր գործակիցների արժեքները բացասական են: Լուծումներ չկան, ֆունկցիայի արժեքներն ամբողջությամբ բացասական գոտում են։

Նշում. a=0 տարբերակը չի դիտարկվում, քանի որ այս դեպքում պարաբոլան վերածվում է ուղիղ գծի:

Բոլոր վերը նշվածները լավ պատկերված են ստորև բերված նկարում:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Պայման. օգտագործելով ընդհանուր հատկությունները, կազմեք քառակուսի հավասարում, որի արմատները հավասար են միմյանց:

Լուծում՝

ըստ խնդրի պայմանի x₁ =x₂, կամ -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a): Նշման պարզեցում.}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2ա))=0, բացեք փակագծերը և տվեք նման տերմիններ: Հավասարումը դառնում է 2√(b² - 4ac)=0: Այս պնդումը ճշմարիտ է, երբ b² - 4ac=0, հետևաբար b^{2 2=4ac, ապա b=2√(ac) արժեքը փոխարինվում էհավասարման մեջ}

ax² + 2√(ac)x + c=0, կրճատված ձևով մենք ստանում ենք x^{2 + 2√(գ / ա) x + գ=0.}

Պատասխան՝

-ի համար, որը հավասար չէ 0-ի և ցանկացած c-ի, կա միայն մեկ լուծում, եթե b=2√(c / a):

Քառյակային հավասարումները, չնայած իրենց պարզությանը, մեծ նշանակություն ունեն ինժեներական հաշվարկներում: Գրեթե ցանկացած ֆիզիկական գործընթաց կարելի է նկարագրել որոշակի մոտավոր օգտագործմամբn կարգի ուժային ֆունկցիաներ. Քառակուսային հավասարումը կլինի առաջին նման մոտարկումը։