Մաթեմատիկական որոշ խնդիրներ պահանջում են քառակուսի արմատը հաշվարկելու ունակություն: Այս խնդիրները ներառում են երկրորդ կարգի հավասարումների լուծում: Այս հոդվածում մենք ներկայացնում ենք քառակուսի արմատները հաշվելու արդյունավետ մեթոդ և այն օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերի հետ աշխատելիս։
Ի՞նչ է քառակուսի արմատը:
Մաթեմատիկայում այս հասկացությունը համապատասխանում է √ նշանին: Պատմական տվյալները վկայում են, որ այն առաջին անգամ սկսել է կիրառվել 16-րդ դարի առաջին կեսին Գերմանիայում (հանրահաշվի վերաբերյալ գերմանական առաջին աշխատությունը Քրիստոֆ Ռուդոլֆի կողմից)։ Գիտնականները կարծում են, որ այս խորհրդանիշը փոխակերպված լատինատառ r է (ռադիքս լատիներեն նշանակում է «արմատ»):
Ցանկացած թվի արմատը հավասար է այնպիսի արժեքի, որի քառակուսին համապատասխանում է արմատային արտահայտությանը։ Մաթեմատիկայի լեզվով այս սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը. √x=y, եթե y2=x.
Դրական թվի արմատը (x > 0) նույնպես.դրական թիվ (y > 0), բայց եթե արմատը վերցված է բացասական թվից (x < 0), ապա դրա արդյունքն արդեն կլինի բարդ թիվ՝ ներառյալ i երևակայական միավորը։
Ահա երկու պարզ օրինակ՝
√9=3, քանի որ 32 =9; √(-9)=3i, քանի որ i2=-1.
Հերոնի կրկնվող բանաձեւը քառակուսի արմատները գտնելու համար
Վերոնշյալ օրինակները շատ պարզ են, և դրանցում արմատները հաշվարկելը դժվար չէ։ Դժվարությունները սկսում են ի հայտ գալ արդեն ցանկացած արժեքի համար արմատային արժեքներ գտնելիս, որը չի կարող ներկայացվել որպես բնական թվի քառակուսի, օրինակ՝ √10, √11, √12, √13, էլ չենք խոսում այն մասին, որ գործնականում դա անհրաժեշտ է ոչ ամբողջ թվերի համար արմատներ գտնելու համար, օրինակ՝ √(12, 15), √(8, 5) և այլն:
Բոլոր վերը նշված դեպքերում պետք է օգտագործել քառակուսի արմատը հաշվելու հատուկ մեթոդ։ Ներկայումս հայտնի են մի քանի նման մեթոդներ՝ օրինակ՝ ընդլայնում Թեյլորի շարքում, բաժանում սյունակով և մի քանի այլ եղանակներ։ Բոլոր հայտնի մեթոդներից, թերևս, ամենապարզն ու ամենաարդյունավետը Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործումն է, որը նաև հայտնի է որպես քառակուսի արմատները որոշելու բաբելոնյան մեթոդ (կա ապացույց, որ հին բաբելոնացիներն այն օգտագործել են իրենց գործնական հաշվարկներում):
Թող անհրաժեշտ լինի որոշել √x-ի արժեքը: Քառակուսի արմատը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.
an+1=1/2 (a+x/a), որտեղ limn->∞(a)=> x.
Վերծանիր այս մաթեմատիկական նշումը: √x-ը հաշվարկելու համար դուք պետք է վերցնեք ինչ-որ թիվ a0 (դա կարող է լինել կամայական, բայց արագ արդյունքի համար դուք պետք է ընտրեք այն այնպես, որ (a0) 2-ը հնարավորինս մոտ էր x-ին, այնուհետև այն փոխարինեք նշված քառակուսի արմատի բանաձևով և ստացեք նոր թիվ a1, որն արդեն ավելի մոտ լինի ցանկալի արժեքին: Արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել 1 և ստանալ 2:.
Հերոնի կրկնվող բանաձևի կիրառման օրինակ
Որոշ թվի քառակուսի արմատ ստանալու վերը նկարագրված ալգորիթմը կարող է շատերի համար բավականին բարդ և շփոթեցնող թվալ, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է դառնում, քանի որ այս բանաձևը շատ արագ զուգակցվում է (հատկապես եթե հաջողակ թիվ է): ընտրված է 0).
Բերենք մի պարզ օրինակ՝ պետք է հաշվենք √11: Մենք ընտրում ենք 0=3, քանի որ 32=9, որն ավելի մոտ է 11-ին, քան 42=16. Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք՝
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2 (3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Իմաստ չկա շարունակել հաշվարկները, քանի որ մենք ստացել ենք, որ a2 և a3-ը սկսում են տարբերվել միայն 5-րդ տասնորդականում: տեղ. Այսպիսով, բավական էր կիրառել բանաձեւը միայն 2 անգամհաշվարկել √11-ը մինչև 0,0001-ի սահմաններում:
Ներկայումս հաշվիչներն ու համակարգիչները լայնորեն օգտագործվում են արմատները հաշվարկելու համար, այնուամենայնիվ, օգտակար է հիշել նշված բանաձևը, որպեսզի կարողանանք ձեռքով հաշվարկել դրանց ճշգրիտ արժեքը:
Երկրորդ կարգի հավասարումներ
Հասկանալը, թե ինչ է քառակուսի արմատը և այն հաշվարկելու ունակությունը օգտագործվում է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս: Այս հավասարումները հավասարումներ են մեկ անհայտով, որի ընդհանուր ձևը ներկայացված է ստորև նկարում։
Այստեղ c, b և a-ն որոշ թվեր են, և a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի, իսկ c-ի և b-ի արժեքները կարող են լինել բոլորովին կամայական, ներառյալ զրո:
x-ի ցանկացած արժեք, որը բավարարում է նկարում նշված հավասարությունը, կոչվում է դրա արմատներ (այս հասկացությունը չպետք է շփոթել √ քառակուսի արմատի հետ): Քանի որ քննարկվող հավասարումն ունի 2-րդ կարգ (x2), ուրեմն դրա արմատների համար երկու թվից ավելի լինել չի կարող։ Եկեք նայենք, թե ինչպես գտնել այս արմատները հոդվածում ավելի ուշ:
Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները (բանաձև)
Հավասարությունների դիտարկվող տիպի լուծման այս մեթոդը կոչվում է նաև ունիվերսալ կամ տարբերակիչի միջոցով մեթոդ։ Այն կարող է կիրառվել ցանկացած քառակուսի հավասարումների վրա: Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը հետևյալն է.
Դա ցույց է տալիս, որ արմատները կախված են հավասարման երեք գործակիցներից յուրաքանչյուրի արժեքից: Ընդ որում, հաշվարկըx1-ը տարբերվում է x2 հաշվարկից միայն քառակուսի արմատից առաջ նշանով: Արմատական արտահայտությունը, որը հավասար է b2 - 4ac-ին, ոչ այլ ինչ է, քան դիտարկված հավասարության տարբերակիչ։ Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի տարբերակիչը կարևոր դեր է խաղում, քանի որ այն որոշում է լուծումների քանակը և տեսակը: Այսպիսով, եթե այն զրոյական է, ապա կլինի միայն մեկ լուծում, եթե այն դրական է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ, վերջապես, բացասական դիսկրիմինանտը հանգեցնում է երկու բարդ արմատների x1 և x 2.
Վիետայի թեորեմը կամ երկրորդ կարգի հավասարումների արմատների որոշ հատկություններ
16-րդ դարի վերջում ժամանակակից հանրահաշվի հիմնադիրներից մեկը՝ ֆրանսիացի Ֆրանսուա Վիեն, ուսումնասիրելով երկրորդ կարգի հավասարումները, կարողացավ ստանալ դրա արմատների հատկությունները։ Մաթեմատիկորեն դրանք կարելի է գրել այսպես՝
x1 + x2=-b / a և x1 x 2=c / a.
Երկու հավասարությունները հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել ցանկացածի կողմից, դրա համար միայն անհրաժեշտ է կատարել համապատասխան մաթեմատիկական գործողություններ՝ բանաձևի միջոցով ստացված արմատներով տարբերակիչով:
Այս երկու արտահայտությունների համակցությունը իրավամբ կարելի է անվանել քառակուսի հավասարման արմատների երկրորդ բանաձեւը, որը հնարավորություն է տալիս կռահել դրա լուծումները՝ առանց դիսկրիմինանտ օգտագործելու։ Այստեղ պետք է նշել, որ թեև երկու արտահայտություններն էլ միշտ վավեր են, բայց հարմար է դրանք օգտագործել հավասարումը լուծելու համար միայն այն դեպքում, եթե այն կարելի է գործոնավորել։
Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբման խնդիր
Եկեք լուծենք մաթեմատիկական խնդիր, որում կցուցադրենք հոդվածում քննարկված բոլոր տեխնիկաները։ Խնդրի պայմանները հետևյալն են՝ պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը -13 է, իսկ գումարը՝ 4։
Այս պայմանը անմիջապես հիշեցնում է Վիետայի թեորեմը՝ կիրառելով քառակուսի արմատների գումարի և դրանց արտադրյալի բանաձևերը՝ գրում ենք.
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=գ / ա=-13.
Ենթադրենք a=1, ապա b=-4 և c=-13: Այս գործակիցները մեզ թույլ են տալիս գրել երկրորդ կարգի հավասարում.
x2 - 4x - 13=0.
Օգտագործեք տարբերակիչով բանաձևը, մենք ստանում ենք հետևյալ արմատները.
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Այսինքն՝ առաջադրանքը կրճատվել է մինչև √68 թիվը։ Նկատի ունեցեք, որ 68=417, ապա օգտագործելով քառակուսի արմատ հատկությունը, մենք ստանում ենք՝ √68=2√17:
Այժմ օգտագործենք քառակուսի արմատի համարվող բանաձևը՝ a0=4, ապա՝
a1=1/2 (4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231:
Կարիք չկա հաշվարկել a3, քանի որ գտնված արժեքները տարբերվում են ընդամենը 0,02-ով: Այսպիսով, √68=8,246: Փոխարինելով այն x բանաձևի մեջ 1, 2, մենք ստանում ենք՝
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 և x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Ինչպես տեսնում եք, գտնված թվերի գումարն իսկապես 4 է, բայց եթե գտնեք դրանց արտադրյալը, այն հավասար կլինի -12-ի,999, որը բավարարում է խնդրի պայմանը 0,001 ճշտությամբ։
