Այս երկրաչափական պատկերները շրջապատում են մեզ ամենուր: Ուռուցիկ բազմանկյունները կարող են լինել բնական, օրինակ՝ բջիջ, կամ արհեստական (տեխնածին): Այս թվերն օգտագործվում են տարբեր տեսակի ծածկույթների արտադրության մեջ՝ գեղանկարչության, ճարտարապետության, դեկորացիաների և այլնի մեջ։ Ուռուցիկ բազմանկյուններն ունեն այն հատկությունը, որ նրանց բոլոր կետերը գտնվում են ուղիղ գծի միևնույն կողմում, որն անցնում է այս երկրաչափական պատկերի զույգ հարակից գագաթներով: Կան նաև այլ սահմանումներ. Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է մեկ կիսահարթության մեջ՝ կապված իր կողմերից որևէ մեկին պարունակող ցանկացած ուղիղի հետ:
ուռուցիկ բազմանկյուններ
Տարրական երկրաչափության ընթացքում միշտ դիտարկվում են միայն պարզ բազմանկյունները: Հասկանալ այդպիսիների բոլոր հատկություններըերկրաչափական ձևերը, անհրաժեշտ է հասկանալ դրանց բնույթը: Սկզբից պետք է հասկանալ, որ ցանկացած տող կոչվում է փակ, որի ծայրերը համընկնում են։ Ավելին, նրա կողմից ձևավորված գործիչը կարող է ունենալ տարբեր կոնֆիգուրացիաներ: Բազմանկյունը պարզ փակ բեկված գիծ է, որում հարևան կապերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։ Նրա կապերն ու գագաթները, համապատասխանաբար, այս երկրաչափական պատկերի կողմերն ու գագաթներն են։ Պարզ բազմագիծը չպետք է ունենա ինքնահատումներ:
Բազմանկյունի գագաթները կոչվում են կից, եթե դրանք ներկայացնում են նրա կողմերից մեկի ծայրերը: Այն երկրաչափական պատկերը, որն ունի գագաթների n-րդ թիվը և հետևաբար կողմերի n-րդ թիվը, կոչվում է n-գոն: Կտրված գիծն ինքնին կոչվում է այս երկրաչափական գործչի եզրագիծը կամ եզրագիծը: Բազմանկյուն հարթություն կամ հարթ բազմանկյուն կոչվում է դրանով սահմանափակված ցանկացած հարթության ծայրամաս։ Այս երկրաչափական պատկերի հարակից կողմերը կոչվում են մեկ գագաթից բխող կոտրված գծի հատվածներ: Նրանք հարևան չեն լինի, եթե դրանք գալիս են բազմանկյան տարբեր գագաթներից:
ուռուցիկ բազմանկյունների այլ սահմանումներ
Տարրական երկրաչափության մեջ կան ևս մի քանի համարժեք սահմանումներ, որոնք ցույց են տալիս, թե որ բազմանկյունն է կոչվում ուռուցիկ: Այս բոլոր հայտարարությունները հավասարապես ճիշտ են: Բազմանկյունը համարվում է ուռուցիկ, եթե՝
• յուրաքանչյուր հատված, որը կապում է իր ներսում գտնվող ցանկացած երկու կետ, ամբողջովին գտնվում է դրա մեջ;
• դրա ներսումնրա բոլոր անկյունագծերը սուտ են;
• ցանկացած ներքին անկյուն չի գերազանցում 180°:
Բազմանկյունը միշտ հարթությունը բաժանում է 2 մասի: Դրանցից մեկը սահմանափակ է (այն կարող է պարփակվել շրջանագծի մեջ), իսկ մյուսը՝ անսահմանափակ։ Առաջինը կոչվում է ներքին շրջան, իսկ երկրորդը այս երկրաչափական պատկերի արտաքին շրջանն է։ Այս բազմանկյունը մի քանի կիսհարթությունների հատում է (այլ կերպ ասած՝ ընդհանուր բաղադրիչ): Ավելին, յուրաքանչյուր հատված, որն ավարտվում է բազմանկյունին պատկանող կետերով, ամբողջությամբ պատկանում է դրան։
ուռուցիկ բազմանկյունների տարատեսակներ
Ուռուցիկ բազմանկյունի սահմանումը ցույց չի տալիս, որ դրանց տեսակները շատ են: Եվ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի չափանիշներ։ Այսպիսով, ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնք ունեն 180° ներքին անկյուն, կոչվում են թույլ ուռուցիկ: Ուռուցիկ երկրաչափական պատկերը, որն ունի երեք գագաթ, կոչվում է եռանկյուն, չորսը` քառանկյուն, հինգը` հնգանկյուն և այլն: Ուռուցիկ n-անկյուններից յուրաքանչյուրը բավարարում է հետևյալ հիմնական պահանջը. n-ը պետք է լինի 3-ից մեծ կամ հավասար: եռանկյունները ուռուցիկ են. Այս տեսակի երկրաչափական պատկերը, որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա, կոչվում է շրջանագծի մեջ գրված։ Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է շրջագծված, եթե շրջանագծի մոտ գտնվող նրա բոլոր կողմերը դիպչում են դրան: Երկու բազմանկյուններն ասում են, որ հավասար են միայն այն դեպքում, եթե դրանք կարող են վերադրվել սուպերպոզիցիայով: Հարթ բազմանկյունը կոչվում է բազմանկյուն հարթություն:(հարթության մի մասը), որը սահմանափակվում է այս երկրաչափական պատկերով։
Կանոնավոր ուռուցիկ բազմանկյուններ
Կանոնավոր բազմանկյունները հավասար անկյուններով և կողմերով երկրաչափական պատկերներ են: Դրանց ներսում կա 0 կետ, որն իր յուրաքանչյուր գագաթից գտնվում է նույն հեռավորության վրա։ Այն կոչվում է այս երկրաչափական պատկերի կենտրոն։ Այս երկրաչափական պատկերի գագաթներով կենտրոնը կապող հատվածները կոչվում են ապոթեմներ, իսկ 0 կետը կողմերի հետ կապող հատվածները՝ շառավիղներ։
Կանոնավոր քառանկյունը քառակուսի է: Հավասարակողմ եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն: Նման թվերի համար կա հետևյալ կանոնը՝ ուռուցիկ բազմանկյան յուրաքանչյուր անկյուն 180°(n-2)/ n,
է։
որտեղ n-ն այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերի գագաթների թիվն է:
Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի մակերեսը որոշվում է բանաձևով.
S=ph, որտեղ p-ը տրված բազմանկյան բոլոր կողմերի գումարի կեսն է, իսկ h-ը ապոտեմի երկարությունն է:
ուռուցիկ բազմանկյունների հատկությունները
ուռուցիկ բազմանկյուններն ունեն որոշակի հատկություններ: Այսպիսով, մի հատված, որը կապում է նման երկրաչափական գործչի ցանկացած 2 կետ, անպայմանորեն գտնվում է դրանում: Ապացույց՝
Ենթադրենք, որ P-ն տրված ուռուցիկ բազմանկյուն է: Վերցնում ենք 2 կամայական կետ, օրինակ՝ A, B, որոնք պատկանում են P-ին, ուռուցիկ բազմանկյունի գոյություն ունեցող սահմանման համաձայն՝ այս կետերը գտնվում են գծի նույն կողմում, որը պարունակում է P-ի ցանկացած կողմ։Հետևաբար, AB-ն նույնպես ունի այս հատկությունը և պարունակվում է P-ում: Ուռուցիկ բազմանկյունը միշտ կարելի է բաժանել մի քանի եռանկյունների՝ բացարձակապես բոլոր անկյունագծերով, որոնք կազմված են իր գագաթներից մեկից:
:
ուռուցիկ երկրաչափական պատկերների անկյուններ
Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունները նրա կողմերից կազմված անկյուններն են: Ներքին անկյունները գտնվում են տվյալ երկրաչափական պատկերի ներքին հատվածում։ Այն անկյունը, որը ձևավորվում է նրա կողմերից, որոնք միանում են մեկ գագաթին, կոչվում է ուռուցիկ բազմանկյունի անկյուն: Տվյալ երկրաչափական պատկերի ներքին անկյուններին կից անկյունները կոչվում են արտաքին: Նրա ներսում գտնվող ուռուցիկ բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյուն հետևյալն է՝
180° - x, որտեղ x-ը արտաքին անկյան արժեքն է: Այս պարզ բանաձևը գործում է այս տեսակի ցանկացած երկրաչափական ձևի համար:
Ընդհանուր առմամբ, արտաքին անկյունների համար գործում է հետևյալ կանոնը՝ ուռուցիկ բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 180°-ի և ներքին անկյան արժեքի տարբերությանը։ Այն կարող է ունենալ -180°-ից մինչև 180° արժեքներ: Հետևաբար, երբ ներքին անկյունը 120° է, արտաքին անկյունը կլինի 60°։
Ուռուցիկ բազմանկյունների անկյունների գումարը
Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարը սահմանվում է բանաձևով՝
180°(n-2), որտեղ n-ը n-անկյունի գագաթների թիվն է։
Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը բավականին հեշտ է հաշվարկել։ Դիտարկենք ցանկացած նման երկրաչափական պատկեր: Ուռուցիկ բազմանկյունի ներսում անկյունների գումարը որոշելու համար անհրաժեշտ էմիացնել նրա գագաթներից մեկը մյուս գագաթներին: Այս գործողության արդյունքում ստացվում են (n-2) եռանկյուններ։ Մենք գիտենք, որ ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180° է։ Քանի որ ցանկացած բազմանկյունում դրանց թիվը (n-2 է), նման պատկերի ներքին անկյունների գումարը 180° x (n-2) է։
Ուռուցիկ բազմանկյունի, այն է՝ ցանկացած երկու ներքին և հարակից արտաքին անկյունների անկյունների գումարը տվյալ ուռուցիկ երկրաչափական պատկերի համար միշտ հավասար կլինի 180°-ի: Դրա հիման վրա կարող եք որոշել նրա բոլոր անկյունների գումարը՝
180 x n.
Ներքին անկյունների գումարը 180°(n-2): Դրա հիման վրա այս գործչի բոլոր արտաքին անկյունների գումարը սահմանվում է բանաձևով՝
180°n-180°-(n-2)=360°։
Ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը միշտ կլինի 360° (անկախ կողմերի քանակից):
Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունը սովորաբար ներկայացված է 180°-ի և ներքին անկյան արժեքի տարբերությամբ:
ուռուցիկ բազմանկյունի այլ հատկություններ
Այս երկրաչափական ձևերի հիմնական հատկություններից բացի, նրանք ունեն նաև ուրիշներ, որոնք առաջանում են դրանք մանիպուլյացիայի ժամանակ: Այսպիսով, բազմանկյուններից որևէ մեկը կարելի է բաժանել մի քանի ուռուցիկ n-անկյունների։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է շարունակել նրա յուրաքանչյուր կողմը և կտրել այս երկրաչափական պատկերը այս ուղիղ գծերով: Հնարավոր է նաև ցանկացած բազմանկյուն բաժանել մի քանի ուռուցիկ մասերի այնպես, որ կտորներից յուրաքանչյուրի գագաթները համընկնեն նրա բոլոր գագաթների հետ։ Նման երկրաչափական պատկերից եռանկյունները կարելի է շատ պարզ կերպով պատրաստել՝ նկարելով բոլորըանկյունագծեր մեկ գագաթից: Այսպիսով, ցանկացած բազմանկյուն ի վերջո կարելի է բաժանել որոշակի թվով եռանկյունների, ինչը պարզվում է, որ շատ օգտակար է նման երկրաչափական ձևերի հետ կապված տարբեր խնդիրներ լուծելու համար։
ուռուցիկ բազմանկյունի պարագիծ
Կտրված գծի հատվածները, որոնք կոչվում են բազմանկյան կողմեր, ամենից հաճախ նշվում են հետևյալ տառերով՝ ab, bc, cd, de, ea: Սրանք երկրաչափական պատկերի կողմերն են՝ a, b, c, d, e գագաթներով: Այս ուռուցիկ բազմանկյան բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է նրա պարագիծ։
Բազմանկյունի շրջագիծ
ուռուցիկ բազմանկյունները կարող են գրվել և շրջագծվել: Շրջանակը, որը դիպչում է այս երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերին, կոչվում է դրա մեջ գրված: Նման բազմանկյունը կոչվում է շրջագծված: Շրջանի կենտրոնը, որը ներգծված է բազմանկյունի մեջ, տրված երկրաչափական պատկերի մեջ բոլոր անկյունների կիսատների հատման կետն է: Նման բազմանկյունի մակերեսը հետևյալն է՝
S=pr, որտեղ r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն՝ տրված բազմանկյան կիսաշրջագիծը։
Շրջանակը, որը պարունակում է բազմանկյան գագաթներ, կոչվում է նրա շուրջը շրջագծված: Ընդ որում, այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերը կոչվում է մակագրված։ Շրջանի կենտրոնը, որը շրջագծված է նման բազմանկյունով, բոլոր կողմերի այսպես կոչված ուղղահայաց կիսորդների հատման կետն է։
ուռուցիկ երկրաչափական պատկերների անկյունագծեր
Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերը հատվածներ են, որոնքմիացնել ոչ հարակից գագաթները. Նրանցից յուրաքանչյուրն ընկած է այս երկրաչափական պատկերի ներսում: Նման n-անկյունի անկյունագծերի թիվը սահմանվում է բանաձևով՝
N=n (n – 3)/ 2.
Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերի թիվը կարևոր դեր է խաղում տարրական երկրաչափության մեջ: Եռանկյունների թիվը (K), որոնց կարելի է բաժանել յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմանկյուն, հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով՝
K=n – 2.
Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերի թիվը միշտ կախված է նրա գագաթների թվից:
ուռուցիկ բազմանկյունի տարրալուծում
Որոշ դեպքերում երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է ուռուցիկ բազմանկյունը բաժանել մի քանի եռանկյունների՝ չհատվող անկյունագծերով։ Այս խնդիրը կարող է լուծվել կոնկրետ բանաձևով:
Խնդիրի սահմանում. եկեք ուռուցիկ n-անկյունի ճիշտ բաժանումը կանչենք մի քանի եռանկյունների՝ ըստ անկյունագծերի, որոնք հատվում են միայն այս երկրաչափական պատկերի գագաթներով:
Լուծում. Ենթադրենք, որ Р1, Р2, Р3…, Pn այս n-անկոնի գագաթներն են: Xn թիվը նրա բաժանումների թիվն է։ Եկեք ուշադիր դիտարկենք Pi Pn երկրաչափական պատկերի ստացված անկյունագիծը: Կանոնավոր բաժանմունքներից որևէ մեկում P1 Pn-ը պատկանում է P1 Pi Pn որոշակի եռանկյունին, որն ունի 1<i<n: Ելնելով դրանից և ենթադրելով, որ i=2, 3, 4…, n-1, մենք ստանում ենք այս բաժանմունքների (n-2) խմբեր, որոնք ներառում են բոլոր հնարավոր կոնկրետ դեպքերը:
Թող i=2 լինի կանոնավոր բաժանումների մեկ խումբ, որը միշտ պարունակում է Р2 Pn անկյունագիծը: Այն մուտքագրվող միջնորմների թիվը նույնն է, ինչ բաժինների թիվը(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Այլ կերպ ասած, այն հավասար է Xn-1:
Եթե i=3, ապա բաժանումների այս մյուս խումբը միշտ կպարունակի Р3 Р1 և Р3 Pn անկյունագծերը: Այս դեպքում կանոնավոր բաժանմունքների թիվը, որոնք պարունակվում են այս խմբում, կհամընկնեն (n-2)-gon P3 P4 … Pn բաժանումների քանակի հետ: Այլ կերպ ասած, այն կհավասարվի Xn-2:
Թող i=4, ապա եռանկյունների շարքում կանոնավոր բաժանումը անպայման կպարունակի P1 P4 Pn եռանկյունին, որին կկապվի P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn քառանկյունը:. Նման քառանկյունի կանոնավոր բաժանումների թիվը X4 է, իսկ (n-3)-gon բաժանումների թիվը՝ Xn-3։ Ելնելով վերոգրյալից՝ կարող ենք ասել, որ այս խմբում պարունակվող ճիշտ բաժինների ընդհանուր թիվը Xn-3 X4 է: i=4, 5, 6, 7… ունեցող այլ խմբերը կպարունակեն Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … սովորական միջնապատեր:
Թող i=n-2, ապա այս խմբում ճիշտ բաժանումների թիվը կլինի նույնը, ինչ բաժանումների թիվը խմբի մեջ, որտեղ i=2 (այլ կերպ ասած՝ հավասար է Xn-1):
Քանի որ X1=X2=0, X3=1, X4=2…, ապա ուռուցիկ բազմանկյունի բոլոր բաժանումների թիվը հետևյալն է.
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Օրինակ՝
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Ճիշտ բաժանումների քանակը, որոնք հատում են մեկ անկյունագիծ ներսում
Հատուկ դեպքերը ստուգելիս կարելի է հասնելայն ենթադրությունը, որ ուռուցիկ n-անկյունների անկյունագծերի թիվը հավասար է այս թվի բոլոր բաժանումների արտադրյալին (n-3):
Այս ենթադրության ապացույցը. պատկերացրեք, որ P1n=Xn(n-3), ապա ցանկացած n-գոն կարելի է բաժանել (n-2)-եռանկյունների: Ընդ որում, դրանցից կարող է կազմվել (n-3)-քառանկյուն։ Սրա հետ մեկտեղ յուրաքանչյուր քառանկյուն կունենա անկյունագիծ։ Քանի որ այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերում կարող են գծվել երկու անկյունագծեր, դա նշանակում է, որ լրացուցիչ (n-3) անկյունագծերը կարող են գծվել ցանկացած (n-3) քառանկյունների վրա: Ելնելով դրանից՝ մենք կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած կանոնավոր բաժանման մեջ հնարավոր է նկարել (n-3)-անկյունագծեր, որոնք համապատասխանում են այս խնդրի պայմաններին։
ուռուցիկ բազմանկյունների տարածք
Հաճախ տարրական երկրաչափության տարբեր խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է դառնում որոշել ուռուցիկ բազմանկյունի մակերեսը։ Ենթադրենք, որ (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n-ը բազմանկյունի բոլոր հարևան գագաթների կոորդինատների հաջորդականությունն է, որը չունի ինքնահատումներ: Այս դեպքում դրա մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով՝
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), որտեղ (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
