Եռանկյուն, քառակուսի, վեցանկյուն - այս թվերը հայտնի են գրեթե բոլորին: Բայց ոչ բոլորը գիտեն, թե ինչ է կանոնավոր բազմանկյունը: Բայց սրանք բոլորը նույն երկրաչափական ձևերն են: Կանոնավոր բազմանկյունն այն բազմանկյունն է, որն ունի հավասար անկյուններ և կողմեր: Նման թվեր շատ կան, բայց դրանք բոլորն ունեն նույն հատկությունները, և դրանց նկատմամբ կիրառվում են նույն բանաձևերը։
Կանոնավոր բազմանկյունների հատկություններ
Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն, լինի դա քառակուսի կամ ութանկյուն, կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ: Այս հիմնական հատկությունը հաճախ օգտագործվում է գործիչ կառուցելիս: Բացի այդ, շրջանակը կարող է նաև մակագրվել բազմանկյունի: Այս դեպքում շփման կետերի թիվը հավասար կլինի նրա կողմերի թվին: Կարևոր է, որ կանոնավոր բազմանկյան մեջ ներգծված շրջանագիծն իր հետ ունենա ընդհանուր կենտրոն։ Այս երկրաչափական պատկերները ենթակա են նույն թեորեմների: Ցանկացած կողմԿանոնավոր n-gon-ը կապված է նրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի R շառավղին, հետևաբար, այն կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով. a=2R ∙ sin180°: Շրջանակի շառավղով դուք կարող եք գտնել ոչ միայն կողմերը, այլև բազմանկյունի պարագիծը։
Ինչպես գտնել կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թիվը
Ցանկացած կանոնավոր n-գոն բաղկացած է միմյանց հավասար հատվածների որոշակի քանակից, որոնք միացնելիս կազմում են փակ գիծ։ Այս դեպքում ձևավորված գործչի բոլոր անկյուններն ունեն նույն արժեքը։ Բազմանկյունները բաժանվում են պարզ և բարդ: Առաջին խումբը ներառում է եռանկյուն և քառակուսի: Բարդ բազմանկյուններն ավելի շատ կողմեր ունեն։ Դրանք ներառում են նաև աստղակերպ ֆիգուրներ։ Բարդ կանոնավոր բազմանկյունների համար կողմերը հայտնաբերվում են շրջանագծի մեջ մակագրելով: Եկեք ապացույց տանք. Գծե՛ք կանոնավոր բազմանկյուն n կողմերի կամայական թվով: Նկարագրեք նրա շուրջը մի շրջան: Նշեք R շառավիղը: Այժմ պատկերացրեք, որ տրված է որոշ n-գոն: Եթե նրա անկյունների կետերը ընկած են շրջանագծի վրա և հավասար են միմյանց, ապա կողմերը կարելի է գտնել բանաձևով՝ a=2R ∙ sinα: 2.
Գտեք ներգծված կանոնավոր եռանկյան կողմերի թիվը
Հավասարակողմ եռանկյունը կանոնավոր բազմանկյուն է: Դրա համար կիրառվում են նույն բանաձևերը, ինչ քառակուսու և n-անկյունի համար: Եռանկյունը ճիշտ կհամարվի, եթե այն ունի նույն երկարության կողմերը: Այս դեպքում անկյունները 60⁰ են։ Կառուցեք տրված կողմի երկարությամբ եռանկյուն a. Իմանալով նրա միջինը և բարձրությունը,դուք կարող եք գտնել դրա կողմերի արժեքը: Դա անելու համար մենք կօգտագործենք a \u003d x՝ cosα բանաձևի միջոցով գտնելու մեթոդը, որտեղ x-ը միջինն է կամ բարձրությունը: Քանի որ եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են, մենք ստանում ենք a=b=c: Այնուհետև հետևյալ պնդումը ճիշտ կլինի a=b=c=x. cosα: Նմանապես, դուք կարող եք գտնել կողմերի արժեքը հավասարաչափ եռանկյունու մեջ, բայց x-ը կլինի տրված բարձրությունը: Միևնույն ժամանակ, այն պետք է խստորեն նախագծվի գործչի հիմքի վրա: Այսպիսով, իմանալով x բարձրությունը, մենք գտնում ենք հավասարաչափ եռանկյունու a կողմը՝ օգտագործելով a \u003d b \u003d x բանաձևը՝ cosα: a-ի արժեքը գտնելուց հետո կարող եք հաշվարկել c հիմքի երկարությունը։ Կիրառենք Պյութագորասի թեորեմը։ Մենք կփնտրենք c հիմքի կեսի արժեքը՝ 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α):cos^2α=x ∙ tgα: Այնուհետև c=2xtanα: Ահա ցանկացած մակագրված բազմանկյունի կողմերի թիվը գտնելու պարզ միջոց:
Հաշվե՛ք շրջանագծի մեջ գծված քառակուսու կողմերը
Ինչպես ցանկացած այլ ներգծված կանոնավոր բազմանկյուն, քառակուսին նույնպես ունի հավասար կողմեր և անկյուններ: Նրա նկատմամբ կիրառվում են նույն բանաձևերը, ինչ եռանկյունին: Դուք կարող եք հաշվարկել քառակուսու կողմերը՝ օգտագործելով շեղանկյունի արժեքը: Դիտարկենք այս մեթոդը ավելի մանրամասն: Հայտնի է, որ անկյունագիծը կիսում է անկյունը։ Սկզբում դրա արժեքը 90 աստիճան էր։ Այսպիսով, բաժանումից հետո առաջանում են երկու ուղղանկյուն եռանկյուններ։ Նրանց հիմքի անկյունները կլինեն 45 աստիճան։ Համապատասխանաբար, քառակուսու յուրաքանչյուր կողմը հավասար կլինի, այսինքն՝ a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, որտեղ e-ն քառակուսու անկյունագիծն է կամ հիմքը: բաժանումից հետո ձևավորված ուղղանկյուն եռանկյունը. Դա միակ ճանապարհը չէգտնելով քառակուսու կողմերը. Եկեք այս պատկերը գրենք շրջանագծի մեջ: Իմանալով այս R շրջանագծի շառավիղը, մենք գտնում ենք քառակուսու կողմը: Մենք այն կհաշվարկենք հետևյալ կերպ a4=R√2: Կանոնավոր բազմանկյունների շառավիղները հաշվարկվում են R=a բանաձևով: 2tg (360o: 2n), որտեղ a-ն կողմի երկարությունն է:
Ինչպես հաշվարկել n-անկյունի պարագիծը
N-անկյունի պարագիծը նրա բոլոր կողմերի գումարն է: Դա հեշտ է հաշվարկել։ Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք բոլոր կողմերի արժեքները: Բազմանկյունների որոշ տեսակների համար կան հատուկ բանաձևեր։ Նրանք թույլ են տալիս շատ ավելի արագ գտնել պարագիծը: Հայտնի է, որ ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն ունի հավասար կողմեր։ Ուստի դրա պարագիծը հաշվարկելու համար բավական է իմանալ դրանցից գոնե մեկը։ Բանաձևը կախված կլինի նկարի կողմերի քանակից: Ընդհանուր առմամբ, դա հետևյալն է. P \u003d an, որտեղ a-ն կողմի արժեքն է, իսկ n-ը անկյունների թիվն է: Օրինակ՝ 3 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր ութանկյան պարագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 8-ով, այսինքն՝ P=3 ∙ 8=24 սմ: 5 սմ կողմ ունեցող վեցանկյունի համար մենք հաշվարկում ենք. P=5 ∙ 6=30 սմ Եվ այսպես, յուրաքանչյուր բազմանկյունի համար:
Գտեք զուգահեռագծի, քառակուսու և ռոմբի պարագիծը
Կախված նրանից, թե քանի կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, հաշվարկվում է նրա պարագիծը։ Սա շատ ավելի հեշտացնում է առաջադրանքը: Իսկապես, ի տարբերություն այլ գործիչների, այս դեպքում պետք չէ փնտրել դրա բոլոր կողմերը, բավական է միայն մեկը։ Նույն սկզբունքով մենք գտնում ենք պարագիծը ժամըքառանկյուններ, այսինքն՝ քառակուսի և ռոմբուս։ Չնայած այն հանգամանքին, որ դրանք տարբեր թվեր են, դրանց բանաձևը նույնն է P=4a, որտեղ a-ն կողմն է: Օրինակ բերենք. Եթե ռոմբի կամ քառակուսու կողմը 6 սմ է, ապա պարագիծը գտնում ենք հետևյալ կերպ՝ P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 սմ: Զուգահեռագիծն ունի միայն հակառակ կողմեր: Հետևաբար, դրա պարագիծը հայտնաբերվում է այլ մեթոդով: Այսպիսով, մենք պետք է իմանանք նկարի երկարությունը a և լայնությունը b: Այնուհետև մենք կիրառում ենք P=(a + c) ∙ 2 բանաձևը: Զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են, կոչվում է ռոմբ:
Գտեք հավասարակողմ և ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը
Կանոնավոր հավասարակողմ եռանկյան պարագիծը կարելի է գտնել P=3a բանաձևով, որտեղ a-ն կողմի երկարությունն է։ Եթե դա անհայտ է, ապա այն կարելի է գտնել միջինի միջոցով: Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ միայն երկու կողմերն են հավասար: Հիմքը կարելի է գտնել Պյութագորասի թեորեմի միջոցով։ Երբ բոլոր երեք կողմերի արժեքները հայտնի են դառնում, մենք հաշվարկում ենք պարագիծը: Այն կարելի է գտնել՝ կիրառելով P \u003d a + b + c բանաձևը, որտեղ a-ն և b-ը հավասար կողմեր են, իսկ c-ն հիմքն է: Հիշեցնենք, որ հավասարաչափ եռանկյունում a \u003d b \u003d a, հետևաբար, a + b \u003d 2a, ապա P \u003d 2a + c: Օրինակ, հավասարաչափ եռանկյան կողմը 4 սմ է, գտե՛ք դրա հիմքը և պարագիծը։ Մենք հաշվարկում ենք հիպոթենուսի արժեքը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 սմ: Այժմ մենք հաշվարկում ենք պարագիծը Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 սմ։
Ինչպես գտնել կանոնավոր բազմանկյունի անկյունները
Կանոնավոր բազմանկյունմեր կյանքում ամեն օր առաջանում է, օրինակ, սովորական քառակուսի, եռանկյուն, ութանկյուն: Թվում է, թե այս գործիչը ինքներդ կառուցելուց ավելի հեշտ բան չկա: Բայց սա միայն առաջին հայացքից է։ Ցանկացած n-անկյուն կառուցելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա անկյունների արժեքը: Բայց ինչպե՞ս եք դրանք գտնում: Նույնիսկ հնության գիտնականները փորձել են կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցել: Նրանք գուշակեցին, որ դրանք տեղավորեն շրջանակների մեջ: Իսկ հետո դրա վրա նշվել են անհրաժեշտ կետերը՝ միացված ուղիղ գծերով։ Պարզ թվերի դեպքում շինարարության խնդիրը լուծված է։ Ձեռք են բերվել բանաձևեր և թեորեմներ։ Օրինակ, Էվկլիդեսը իր հայտնի «Սկիզբը» աշխատության մեջ զբաղվում էր 3-, 4-, 5-, 6- և 15-գոնների խնդիրների լուծումով։ Նա գտավ դրանք կառուցելու և անկյուններ գտնելու ուղիներ: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել 15 գոնի համար: Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել նրա ներքին անկյունների գումարը: Անհրաժեշտ է օգտագործել S=180⁰(n-2) բանաձեւը։ Այսպիսով, մեզ տրվում է 15 գոն, ինչը նշանակում է, որ n թիվը 15 է: Մենք մեր իմացած տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով և ստանում S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰: Մենք գտել ենք 15 գոնի բոլոր ներքին անկյունների գումարը: Այժմ մենք պետք է ստանանք դրանցից յուրաքանչյուրի արժեքը: Ընդհանուր առմամբ կա 15 անկյուն։Հաշվարկը կատարում ենք 2340⁰՝ 15=156⁰։ Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր ներքին անկյունը 156⁰ է, այժմ օգտագործելով քանոն և կողմնացույց, կարող եք կառուցել սովորական 15-գոն: Բայց ինչ վերաբերում է ավելի բարդ n-gons-ին: Դարեր շարունակ գիտնականները պայքարել են այս խնդիրը լուծելու համար։ Այն հայտնաբերվել է միայն 18-րդ դարում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի կողմից: Նա կարողացավ կառուցել 65537 գոն: Այդ ժամանակվանից խնդիրը պաշտոնապես համարվում է ամբողջությամբ լուծված։
N-անկյունների անկյունների հաշվարկռադիաններով
Իհարկե, բազմանկյունների անկյունները գտնելու մի քանի եղանակ կա: Ամենից հաճախ դրանք հաշվարկվում են աստիճաններով: Բայց դուք կարող եք դրանք արտահայտել նաև ռադիաններով: Ինչպե՞ս դա անել: Անհրաժեշտ է շարունակել հետևյալ կերպ. Սկզբում պարզում ենք կանոնավոր բազմանկյան կողմերի թիվը, այնուհետև նրանից հանում ենք 2, և ստանում ենք արժեքը՝ n - 2: Գտնված տարբերությունը բազմապատկում ենք n թվով (“pi”=3, 14): Այժմ մնում է միայն ստացված արտադրյալը բաժանել n-անկյունի անկյունների քանակով։ Դիտարկենք այս հաշվարկները՝ օգտագործելով նույն տասնհինգ կողմի օրինակը: Այսպիսով, n թիվը 15 է: Կիրառեք S=p(n - 2) բանաձևը: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72: Սա, իհարկե, ռադիաններով անկյունը հաշվարկելու միակ միջոցը չէ։ Դուք պարզապես կարող եք անկյան չափը աստիճաններով բաժանել 57, 3 թվի վրա: Ի վերջո, այդ շատ աստիճանները համարժեք են մեկ ռադիանի:
Հաշվե՛ք անկյունների արժեքը աստիճաններով
Բացի աստիճաններից և ռադիաններից, դուք կարող եք փորձել գտնել կանոնավոր բազմանկյունի անկյունների արժեքը աստիճաններով: Դա արվում է հետևյալ կերպ. Անկյունների ընդհանուր թվից հանել 2, ստացված տարբերությունը բաժանել կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թվի վրա։ Գտնված արդյունքը բազմապատկում ենք 200-ով։ Ի դեպ, անկյունների չափման այնպիսի միավոր, ինչպիսին կարկտահարությունն է, գործնականում չի օգտագործվում։
N-գոնների արտաքին անկյունների հաշվարկ
Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի համար, բացառությամբ ներքինի, կարող եք նաև հաշվարկել արտաքին անկյունը։ Դրա արժեքը հայտնաբերվում է այնպես, ինչպես մյուս գործիչների համար: Այսպիսով, կանոնավոր բազմանկյունի արտաքին անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ էիմացեք ներքինի իմաստը. Ավելին, մենք գիտենք, որ այս երկու անկյունների գումարը միշտ 180 աստիճան է: Հետևաբար, մենք հաշվարկները կատարում ենք հետևյալ կերպ՝ 180⁰ հանած ներքին անկյան արժեքը։ Մենք գտնում ենք տարբերությունը. Այն հավասար կլինի դրան հարող անկյան արժեքին։ Օրինակ, քառակուսու ներքին անկյունը 90 աստիճան է, ուստի արտաքին անկյունը կլինի 180⁰ - 90⁰=90⁰: Ինչպես տեսնում ենք, այն գտնելը դժվար չէ։ Արտաքին անկյունը կարող է համապատասխանաբար ընդունել +180⁰-ից մինչև -180⁰ արժեք:
