Պրիզմը հանրակրթական դպրոցներում պինդ երկրաչափության կուրսում ուսումնասիրված հայտնի կերպարներից է։ Այս դասի թվերի համար տարբեր բնութագրեր հաշվարկելու համար դուք պետք է իմանաք, թե ինչ տեսակի պրիզմաներ կան: Եկեք մանրամասն նայենք այս հարցին։
Պրիզմա ստերեոմետրիայում
Նախ սահմանենք թվերի նշված դասը։ Պրիզմա է ցանկացած բազմանիստ, որը բաղկացած է երկու զուգահեռ բազմանկյուն հիմքերից, որոնք փոխկապակցված են զուգահեռագրություններով։
Այս թիվը կարող եք ստանալ հետևյալ կերպ. հարթության վրա ընտրել կամայական բազմանկյուն, այնուհետև տեղափոխել այն ցանկացած վեկտորի երկարությամբ, որը չի պատկանում բազմանկյան սկզբնական հարթությանը: Նման զուգահեռ շարժման ժամանակ բազմանկյան կողմերը կնկարագրեն ապագա պրիզմայի կողային երեսները, իսկ բազմանկյան վերջնական դիրքը կդառնա նկարի երկրորդ հիմքը։ Նկարագրված ձևով կարելի է ձեռք բերել պրիզմայի կամայական տեսակ։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս եռանկյուն պրիզմա:
Որո՞նք են պրիզմաների տեսակները:
Խոսքը ձևերի դասակարգման մասին էխնդրո առարկա դասարանը։ Ընդհանուր դեպքում այս դասակարգումն իրականացվում է՝ հաշվի առնելով բազմանկյուն հիմքի և պատկերի կողերի առանձնահատկությունները։ Սովորաբար առանձնանում են պրիզմաների հետևյալ երեք տեսակները՝
- Ուղիղ և թեք (շեղ).
- Ճիշտ և սխալ.
- ուռուցիկ և գոգավոր.
Դասակարգման նշված տեսակներից որևէ մեկի պրիզման կարող է ունենալ քառանկյուն, հնգանկյուն, …, n-անկյունային հիմք: Ինչ վերաբերում է եռանկյուն պրիզմայի տեսակներին, ապա այն կարելի է դասակարգել միայն նշված առաջին երկու կետերի համաձայն։ Եռանկյուն պրիզմա միշտ ուռուցիկ է:
Ստորև մենք մանրամասն կանդրադառնանք դասակարգման այս տեսակներից յուրաքանչյուրին և կտանք մի քանի օգտակար բանաձևեր պրիզմայի երկրաչափական հատկությունները (մակերեսի մակերեսը, ծավալը) հաշվարկելու համար:
Ուղիղ և թեք ձևեր
Կարելի է մի հայացքով տարբերել ուղիղ պրիզմաը թեքից: Ահա համապատասխան ցուցանիշը։
Այստեղ ցուցադրված են երկու պրիզմա (ձախից՝ վեցանկյուն, աջում՝ հնգանկյուն)։ Բոլորը վստահորեն կասեն, որ վեցանկյունը ուղիղ է, իսկ հնգանկյունը՝ թեք։ Ո՞ր երկրաչափական հատկանիշն է առանձնացնում այս պրիզմաները: Իհարկե, կողային դեմքի տեսակը։
Ուղիղ պրիզմա, անկախ դրա հիմքից, բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են: Նրանք կարող են հավասար լինել միմյանց, կամ կարող են տարբերվել, միակ կարևորն այն է, որ դրանք ուղղանկյուններ են, և դրանց երկանկյուն անկյունները հիմքերով կազմում են 90o:
:
Ինչ վերաբերում է թեք պատկերին, ապա պետք է ասել, որ դրա բոլոր կամ մի քանի կողային երեսներըզուգահեռներ, որոնք հիմքի հետ կազմում են անուղղակի երկնիշ անկյուններ։
Բոլոր տեսակի ուղիղ պրիզմաների համար բարձրությունը կողային եզրի երկարությունն է, թեք պատկերների համար բարձրությունը միշտ փոքր է նրանց կողային եզրերից։ Պրիզմայի բարձրությունը իմանալը կարևոր է դրա մակերեսը և ծավալը հաշվարկելիս: Օրինակ, ծավալի բանաձևն է՝
V=Soh
Որտեղ h-ն բարձրությունն է, So-ը մեկ հիմքի մակերեսն է:
Պրիզմաները ճիշտ և սխալ
Ցանկացած պրիզմա սխալ է, եթե այն ուղիղ չէ կամ դրա հիմքը ճիշտ չէ: Ուղղակի և թեք պրիզմաների հարցը քննարկվել է վերևում։ Այստեղ մենք դիտարկում ենք, թե ինչ է նշանակում «կանոնավոր բազմանկյուն հիմք» արտահայտությունը։
Բազմանկյունը կանոնավոր է, եթե նրա բոլոր կողմերը հավասար են (նշենք դրանց երկարությունը a տառով), և նրա բոլոր անկյունները նույնպես հավասար են։ Կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ են հավասարակողմ եռանկյունը, քառակուսին, վեցանկյունը՝ վեց անկյուններով 120o և այլն: Ցանկացած կանոնավոր n-gon-ի տարածքը հաշվարկվում է այս բանաձևով.
S=n/4a2ctg(pi/n)
Ստորև բերված է եռանկյունաձև, քառակուսի, …, ութանկյուն հիմքերով կանոնավոր պրիզմաների սխեմատիկ ներկայացում:
Օգտագործելով V-ի վերը նշված բանաձևը, մենք կարող ենք գրել համապատասխան արտահայտությունը կանոնավոր ձևերի համար.
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Ինչ վերաբերում է ընդհանուր մակերեսին, ապա կանոնավոր պրիզմաների համար այն ձևավորվում է երկուսի մակերեսներով.միանման հիմքեր և n նույնական ուղղանկյուններ h և a կողմերով: Այս փաստերը թույլ են տալիս մեզ բանաձև գրել ցանկացած կանոնավոր պրիզմայի մակերեսի համար՝
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Այստեղ առաջին անդամը համապատասխանում է երկու հիմքերի մակերեսին, երկրորդ անդամը որոշում է միայն կողային մակերեսի տարածքը:
Կանոնավոր պրիզմաների բոլոր տեսակներից միայն քառանկյուն պրիզմաներն ունեն իրենց անունները: Այսպիսով, կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա, որում a≠h, կոչվում է ուղղանկյուն զուգահեռական: Եթե այս թիվը ունի a=h, ապա նրանք խոսում են խորանարդի մասին։
Գոգավոր ձևեր
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք պրիզմաների միայն ուռուցիկ տեսակներ: Նրանց վրա է, որ հիմնական ուշադրությունն է դարձվում դիտարկվող գործիչների դասի ուսումնասիրության ժամանակ։ Այնուամենայնիվ, կան նաև գոգավոր պրիզմաներ: Նրանք տարբերվում են ուռուցիկներից նրանով, որ դրանց հիմքերը գոգավոր բազմանկյուններ են՝ սկսած քառանկյունից։
Նկարը ցույց է տալիս երկու գոգավոր պրիզմա, որոնք պատրաստված են թղթից, որպես օրինակ։ Ձախը հնգաթև աստղի տեսքով տասնանկյուն պրիզմա է, աջը՝ վեցաթև աստղի տեսքով, կոչվում է տասներեքանկյուն գոգավոր ուղիղ պրիզմա։
