Ի՞նչ են փոփոխականները: Փոփոխական մաթեմատիկայի մեջ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Փոփոխականների նշանակությունը մաթեմատիկայի մեջ մեծ է, քանի որ դրա գոյության ընթացքում գիտնականներին հաջողվել է բազմաթիվ բացահայտումներ անել այս ոլորտում, և այս կամ այն թեորեմը համառոտ և հստակ արտահայտելու համար օգտագործում ենք փոփոխականներ՝ համապատասխան բանաձևերը գրելու համար։. Օրինակ՝ Պյութագորասի թեորեմը ուղղանկյուն եռանկյունու վրա՝ a² =b² + c^{2: Ինչպես գրել ամեն անգամ խնդիր լուծելիս. ըստ Պյութագորասի թեորեմի, հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին. մենք սա գրում ենք բանաձևով, և ամեն ինչ անմիջապես պարզ է դառնում:}

Այսպիսով, այս հոդվածը կքննարկի, թե ինչ են փոփոխականները, դրանց տեսակներն ու հատկությունները: Կդիտարկվեն նաև տարբեր մաթեմատիկական արտահայտություններ՝ անհավասարություններ, բանաձևեր, համակարգեր և դրանց լուծման ալգորիթմներ։

Փոփոխական հասկացություն

Առաջին հերթին ի՞նչ է փոփոխականը: Սա թվային արժեք է, որը կարող է ընդունել բազմաթիվ արժեքներ: Այն չի կարող հաստատուն լինել, քանի որ տարբեր խնդիրներում և հավասարումներում, հարմարության համար, լուծումներն ընդունում ենք որպեսփոփոխական տարբեր թվեր, այսինքն, օրինակ, z-ն ընդհանուր նշանակում է յուրաքանչյուր մեծության համար, որի համար այն վերցված է: Սովորաբար դրանք նշվում են լատինական կամ հունական այբուբենի տառերով (x, y, a, b և այլն):

Կան տարբեր տեսակի փոփոխականներ: Նրանք սահմանում են և՛ որոշ ֆիզիկական մեծություններ՝ ուղի (S), ժամանակ (t), և պարզապես անհայտ արժեքներ հավասարումների, ֆունկցիաների և այլ արտահայտությունների մեջ:

Օրինակ, կա բանաձև՝ S=Vt: Այստեղ փոփոխականները նշանակում են իրական աշխարհի հետ կապված որոշակի մեծություններ՝ ուղի, արագություն և ժամանակ:

Եվ կա ձևի հավասարում. 3x - 16=12x: Այստեղ x-ն արդեն վերցված է որպես վերացական թիվ, որն իմաստ ունի այս նշումով:

Քանակների տեսակները

Գումար նշանակում է մի բան, որն արտահայտում է որոշակի առարկայի, նյութի կամ երևույթի հատկությունները: Օրինակ՝ օդի ջերմաստիճանը, կենդանու քաշը, վիտամինների տոկոսը դեղահատում. սրանք այն բոլոր քանակներն են, որոնց թվային արժեքները կարելի է հաշվարկել։

Յուրաքանչյուր մեծություն ունի իր չափման միավորները, որոնք միասին կազմում են համակարգ։ Այն կոչվում է թվային համակարգ (SI):

Ի՞նչ են փոփոխականները և հաստատունները: Դիտարկենք դրանք կոնկրետ օրինակներով։

Վերցնենք ուղղագիծ միատեսակ շարժում: Տարածության մի կետ ամեն անգամ շարժվում է նույն արագությամբ: Այսինքն՝ ժամանակն ու հեռավորությունը փոխվում են, բայց արագությունը մնում է նույնը։ Այս օրինակում ժամանակը և հեռավորությունը փոփոխականներ են, իսկ արագությունը՝ հաստատուն։

Կամ, օրինակ, «pi»: Սա իռացիոնալ թիվ է, որը շարունակվում է առանց կրկնվելութվանշանների հաջորդականություն և չի կարելի ամբողջությամբ գրել, ուստի մաթեմատիկայում այն արտահայտվում է ընդհանուր ընդունված խորհրդանիշով, որն ընդունում է միայն տվյալ անսահման կոտորակի արժեքը։ Այսինքն՝ «pi»-ն հաստատուն արժեք է։

Պատմություն

Փոփոխականների նշագրման պատմությունը սկսվում է տասնյոթերորդ դարում գիտնական Ռենե Դեկարտի հետ:

Նա նշանակել է հայտնի արժեքները այբուբենի առաջին տառերով՝ a, b և այլն, իսկ անհայտների համար առաջարկել է օգտագործել վերջին տառերը՝ x, y, z: Հատկանշական է, որ Դեկարտը նման փոփոխականները համարել է ոչ բացասական թվեր, և երբ բախվելով բացասական պարամետրերի, փոփոխականի դիմաց դնում է մինուս նշան կամ, եթե հայտնի չէր, թե ինչ նշան է այդ թիվը, էլիպսիս։ Բայց ժամանակի ընթացքում փոփոխականների անունները սկսեցին նշանակել ցանկացած նշանի թվեր, և դա սկսվեց մաթեմատիկոս Յոհան Հադդեից:

Փոփոխականներով մաթեմատիկայի հաշվարկներն ավելի հեշտ են լուծել, քանի որ, օրինակ, հիմա ինչպե՞ս ենք լուծում երկքառակուսի հավասարումները: Մենք մուտքագրում ենք փոփոխական: Օրինակ՝

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2-ի համար մենք վերցնում ենք որոշ k, և հավասարումը պարզ է դառնում.

x2=k, k ≧ 0-ի համար

k2 + 15k + 7=0

Ահա թե ինչ է բերում մաթեմատիկային փոփոխականների ներդրումը:

Անհավասարություններ, լուծումների օրինակներ

Անհավասարությունը ռեկորդ է, որտեղ երկու մաթեմատիկական արտահայտություններ կամ երկու թվեր միացված են համեմատության նշաններով՝, ≦, ≧: Դրանք խիստ են և նշվում են նշաններով կամ ոչ խիստ ≦, ≧ նշաններով։։

Առաջին անգամ ներկայացվեցին այս նշաններըԹոմաս Հարիոթ. Թոմասի մահից հետո լույս է տեսել նրա գիրքը այս նշումներով, մաթեմատիկոսներին դրանք հավանել են, և ժամանակի ընթացքում դրանք լայնորեն օգտագործվել են մաթեմատիկական հաշվարկներում։

Կան մի քանի կանոններ, որոնք պետք է հետևել միայնակ փոփոխական անհավասարությունները լուծելիս.

Անհավասարության մի մասից մյուսը տեղափոխելիս նրա նշանը փոխեք հակառակի։
Անհավասարության մասերը բացասական թվով բազմապատկելիս կամ բաժանելիս դրանց նշանները հակադարձվում են։
Եթե անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկեք կամ բաժանեք դրական թվով, կստանաք սկզբնականին հավասար անհավասարություն:

Անհավասարության լուծում նշանակում է գտնել փոփոխականի բոլոր վավեր արժեքները:

Մեկ փոփոխականի օրինակ՝

10x - 50 > 150

Այն լուծում ենք սովորական գծային հավասարման պես - տերմինները փոփոխականով տեղափոխում ենք ձախ, առանց փոփոխականի աջ և տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ:

10x > 200

Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք 10-ի և ստանում՝

x > 20

Հստակության համար մեկ փոփոխականով անհավասարություն լուծելու օրինակում գծեք թվային ուղիղ, վրան նշեք ծակված կետը 20, քանի որ անհավասարությունը խիստ է, և այդ թիվը ներառված չէ դրա լուծումների բազմության մեջ։.

Այս անհավասարության լուծումը միջակայքն է (20; +∞):

Ոչ խիստ անհավասարության լուծումը կատարվում է այնպես, ինչպես խիստը.

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Բայց կա մեկ բացառություն. x ≧ 5 ձևի գրառումը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. x-ը մեծ է կամ հավասար է հինգին, ինչը նշանակում է.հինգ թիվը ներառված է անհավասարության բոլոր լուծումների բազմության մեջ, այսինքն՝ պատասխանը գրելիս հինգ թվի դիմաց քառակուսի փակագիծ ենք դնում։

x ∈ [5; +∞)

Քառակուսի անհավասարություններ

Եթե վերցնենք ax2 + bx +c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը և հավասարության նշանը փոխենք դրանում առկա անհավասարության նշանի, ապա համապատասխանաբար կստանանք. քառակուսային անհավասարություն.

Քառակային անհավասարություն լուծելու համար դուք պետք է կարողանաք լուծել քառակուսի հավասարումներ:

y=ax2 + bx + c-ն քառակուսի ֆունկցիա է: Մենք կարող ենք լուծել այն օգտագործելով դիսկրիմինանտը կամ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Հիշեք, թե ինչպես են լուծվում այս հավասարումները՝

1) y=x2 + 12x + 11 - ֆունկցիան պարաբոլա է: Նրա ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, քանի որ «ա» գործակցի նշանը դրական է։

2) x2 + 12x + 11=0 - հավասարեցնել զրոյի և լուծել՝ օգտագործելով տարբերակիչ:

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 արմատ

Ըստ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի՝ ստանում ենք՝

x₁ =-1, x_2=-11

Կամ դուք կարող եք լուծել այս հավասարումը Վիետայի թեորեմի միջոցով.

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Օգտագործելով ընտրության մեթոդը՝ մենք ստանում ենք հավասարման նույն արմատները։

Պարաբոլա

Այսպիսով, քառակուսային անհավասարությունը լուծելու առաջին միջոցը պարաբոլան է: Այն լուծելու ալգորիթմը հետևյալն է.

1. Որոշեք, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը։

2. Հավասարեցրե՛ք ֆունկցիան զրոյի և գտե՛ք հավասարման արմատները։

3. Կառուցում ենք թվային ուղիղ, վրան նշում ենք արմատները, գծում պարաբոլա և գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ բացը՝ կախված անհավասարության նշանից։

Լուծեք անհավասարությունը x2 + x - 12 > 0

Գրել որպես ֆունկցիա՝

1) y=x2 + x - 12 - պարաբոլա, ճյուղավորվում է վերև։

Սահմանել զրո:

2) x2 + x -12=0

Հաջորդը լուծում ենք որպես քառակուսի հավասարում և գտնում ենք ֆունկցիայի զրոները.

x₁ =3, x_2=-4

3) Գծի՛ր 3 և -4 կետերով թվային ուղիղ: Պարաբոլան կանցնի դրանց միջով, ճյուղավորվի, և անհավասարության պատասխանը կլինի դրական արժեքների մի շարք, այսինքն՝ (-∞; -4), (3; +∞):

Ինտերվալ մեթոդ

Երկրորդ ճանապարհը տարածության մեթոդն է: Այն լուծելու ալգորիթմ՝

1. Գտե՛ք այն հավասարման արմատները, որոնց անհավասարությունը հավասար է զրոյի։

2. Մենք դրանք նշում ենք թվային տողի վրա: Այսպիսով, այն բաժանվում է մի քանի ընդմիջումների։

3. Որոշեք ցանկացած միջակայքի նշանը։

4. Մնացած ընդմիջումներով ցուցանակներ ենք դնում՝ փոխելով դրանք մեկից հետո։

Լուծեք անհավասարությունը (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Անհավասարության զրոներ՝ 4, 5 և -7։

2) Նկարեք դրանք թվային տողի վրա:

3) Որոշեք ինտերվալների նշանները:

Պատասխան՝ (-∞; -7]; [4; 5]:

Լուծեք ևս մեկ անհավասարություն՝ x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Անհավասարության զրոներ՝ 0, 2, -2 և 1։

2. Նշեք դրանք թվային տողի վրա։

3. Որոշեք միջակայքի նշանները։

Գիծը բաժանված է ընդմիջումներով՝ -2-ից 0, 0-ից 1, 1-ից մինչև 2:

Վերցրեք արժեքը առաջին միջակայքում - (-1): Փոխարինող անհավասարության մեջ: Այս արժեքով անհավասարությունը դառնում է դրական, ինչը նշանակում է, որ այս միջակայքի նշանը կլինի +։

Այնուհետև, սկսած առաջին բացից, դասավորում ենք ցուցանակները՝ փոխելով դրանք մեկից հետո։

Անհավասարությունը զրոյից մեծ է, այսինքն՝ գծի վրա պետք է գտնել դրական արժեքների հավաքածու:

Պատասխան՝ (-2; 0), (1; 2).

Հավասարումների համակարգեր

Երկու փոփոխականներով հավասարումների համակարգը երկու հավասարումներ են, որոնք միացված են գանգուր փակագծով, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծում:

Համակարգերը կարող են համարժեք լինել, եթե դրանցից մեկի ընդհանուր լուծումը մյուսի լուծումն է, կամ երկուսն էլ չունեն լուծումներ։

Կուսումնասիրենք երկու փոփոխականներով հավասարումների համակարգերի լուծումը։ Դրանք լուծելու երկու եղանակ կա՝ փոխարինման մեթոդ կամ հանրահաշվական մեթոդ:

Հանրահաշվական մեթոդ

Նկարում պատկերված համակարգը այս մեթոդով լուծելու համար նախ պետք է դրա մասերից մեկը բազմապատկել նման թվով, որպեսզի հետագայում կարողանաք փոխադարձաբար չեղարկել մեկ փոփոխական հավասարման երկու մասերից։ Այստեղ մենք բազմապատկում ենք երեքով, գիծ ենք քաշում համակարգի տակ և գումարում դրա մասերը։ Արդյունքում, x-երը մոդուլով դառնում են նույնական, բայց նշանով հակառակ, և մենք կրճատում ենք դրանք: Այնուհետև մենք ստանում ենք գծային հավասարում մեկ փոփոխականով և լուծում այն։

Մենք գտանք Y, բայց չենք կարող կանգ առնել դրանով, քանի որ մենք դեռ չենք գտել X-ը: ՓոխարինողY այն հատվածին, որտեղից հարմար կլինի հանել X-ը, օրինակ՝

-x + 5y=8, y=1-ով

-x + 5=8

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը և գտե՛ք x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Համակարգի լուծման մեջ գլխավորը պատասխանը ճիշտ գրելն է։ Շատ ուսանողներ սխալվում են գրելիս.

Պատասխան՝ -3, 1.

Բայց սա սխալ գրառում է: Ի վերջո, ինչպես արդեն նշվեց վերևում, հավասարումների համակարգը լուծելիս մենք փնտրում ենք դրա մասերի ընդհանուր լուծում: Ճիշտ պատասխանը կլինի՝

(-3; 1)