Տիպիկ երկրաչափական խնդիրները հարթության և եռաչափ տարածության մեջ տարբեր ձևերի մակերեսների որոշման խնդիրներն են: Այս հոդվածում մենք ներկայացնում ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողային մակերեսի մակերեսի բանաձևը:
Ի՞նչ է բուրգը
Տանք բուրգի խիստ երկրաչափական սահմանումը։ Ենթադրենք, որ կա մի քանի բազմանկյուն n կողմով և n անկյունով: Մենք ընտրում ենք տարածության կամայական կետ, որը չի լինի նշված n-անկյունի հարթությունում, և այն միացնում ենք բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթին։ Մենք կստանանք մի գործիչ, որն ունի որոշակի ծավալ, որը կոչվում է n-անկյունային բուրգ: Օրինակ՝ ստորև բերված նկարում ցույց տանք, թե ինչ տեսք ունի հնգանկյուն բուրգը։
Ցանկացած բուրգի երկու կարևոր տարրերն են դրա հիմքը (n-gon) և գագաթը: Այս տարրերը միմյանց հետ կապված են n եռանկյունիներով, որոնք ընդհանուր առմամբ իրար հավասար չեն։ Ուղղահայաց ընկել էվերևից ներքև կոչվում է գործչի բարձրություն: Եթե այն հատում է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում (համընկնում է բազմանկյան զանգվածի կենտրոնի հետ), ապա այդպիսի բուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ։ Եթե այս պայմանից բացի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, ապա ամբողջ բուրգը կոչվում է կանոնավոր։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունեն կանոնավոր բուրգերը՝ եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն և վեցանկյուն հիմքերով։
Բուրգի մակերես
Նախքան կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողային մակերեսի մակերեսի հարցին անդրադառնալը, մենք պետք է կանգ առնենք հենց մակերեսի հայեցակարգի վրա:
Ինչպես նշվեց վերևում և ցույց է տրված նկարներում, ցանկացած բուրգ ձևավորվում է մի շարք դեմքերով կամ կողմերից: Մի կողմը հիմքն է, իսկ n կողմերը եռանկյուններ են: Ամբողջ պատկերի մակերեսը նրա յուրաքանչյուր կողմի մակերեսների գումարն է։
Հարմար է մակերեսն ուսումնասիրել բացվող գործչի օրինակով։ Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի սկանավորումը ներկայացված է ստորև բերված նկարներում:
Մենք տեսնում ենք, որ նրա մակերեսի մակերեսը հավասար է նույնական հավասարաչափ եռանկյունների չորս մակերեսների և քառակուսու մակերեսի գումարին:
Նկարի կողմերը կազմող բոլոր եռանկյունների ընդհանուր մակերեսը կոչվում է կողային մակերեսի մակերես: Հաջորդը, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է այն հաշվարկել կանոնավոր քառանկյուն բուրգի համար:
Քառանկյուն կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը
Կողայինի մակերեսը հաշվարկելու համարնշված գործչի մակերեսը, մենք կրկին դիմում ենք վերը նշված սկանավորմանը: Ենթադրենք գիտենք քառակուսի հիմքի կողմը։ Նշենք ա խորհրդանիշով։ Տեսանելի է, որ չորս միանման եռանկյուններից յուրաքանչյուրն ունի a երկարությամբ հիմք: Նրանց ընդհանուր տարածքը հաշվարկելու համար դուք պետք է իմանաք այս արժեքը մեկ եռանկյունու համար: Երկրաչափության դասընթացից հայտնի է, որ St եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալին, որը պետք է բաժանվի կիսով չափ։ Այսինքն՝
St=1/2hba.
Որտեղ hb-ը հավասարաչափ եռանկյան բարձրությունն է, որը գծված է դեպի a հիմքը: Բուրգի համար այս բարձրությունը ապոտեմն է: Այժմ մնում է ստացված արտահայտությունը բազմապատկել 4-ով, որպեսզի ստացվի խնդրո առարկա բուրգի կողային մակերեսի S մակերեսը::
Sb=4St=2hba.
Այս բանաձևը պարունակում է երկու պարամետր՝ ապոտեմ և հիմքի կողմ: Եթե վերջինը հայտնի է խնդիրների մեծ մասում, ապա առաջինը պետք է հաշվարկվի՝ իմանալով այլ մեծություններ։ Ահա ապոտեմա hb հաշվարկելու բանաձևերը երկու դեպքի համար.
- երբ հայտնի է կողային կողի երկարությունը;
- երբ հայտնի է բուրգի բարձրությունը։
Եթե կողային եզրի երկարությունը (հավասարաչափ եռանկյունու կողմը) նշանակում ենք L նշանով, ապա hb ապոտեմա որոշվում է բանաձևով՝.
hb=√(L2 - a2/4).
Այս արտահայտությունը Պյութագորասի թեորեմի կիրառման արդյունք է կողային մակերեսի եռանկյունու համար:
Եթե հայտնի էբուրգի h բարձրությունը, ապա hb ապոտեմա կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ.
hb=√(h2 + a2/4).
Այս արտահայտությունը ստանալը նույնպես դժվար չէ, եթե բուրգի ներսում դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունին, որը կազմված է h և a/2 ոտքերով և hb:
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կիրառել այս բանաձևերը՝ լուծելով երկու հետաքրքիր խնդիր։
Խնդիր հայտնի մակերեսի հետ
Հայտնի է, որ կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողային մակերեսը կազմում է 108 սմ2: Անհրաժեշտ է հաշվարկել նրա ապոտեմի երկարության արժեքը hb, եթե բուրգի բարձրությունը 7 սմ է։
Գրենք բարձրության միջով կողային մակերեսի Sb մակերեսի բանաձևը: Մենք ունենք՝
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Այստեղ մենք պարզապես փոխարինեցինք համապատասխան ապոտեմայի բանաձևը Sb արտահայտության մեջ: Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը՝
Sb2=4a2h2 + a4.
Ա-ի արժեքը գտնելու համար կատարենք փոփոխականների փոփոխություն՝
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
Հիմա մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները և լուծում քառակուսի հավասարումը.
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
Մենք դուրս գրեցինք այս հավասարման միայն դրական արմատը: Այնուհետև բուրգի հիմքի կողմերը կլինեն՝
a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 սմ.
Ապոտեմայի երկարությունը ստանալու համար,պարզապես օգտագործեք բանաձևը՝
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 տես
Քեոպսի բուրգի կողային մակերես
Որոշեք եգիպտական ամենամեծ բուրգի կողային մակերեսի արժեքը: Հայտնի է, որ դրա հիմքում ընկած է 230,363 մետր երկարությամբ քառակուսի: Կառույցի բարձրությունն ի սկզբանե եղել է 146,5 մետր։ Փոխարինեք այս թվերը Sb-ի համապատասխան բանաձևով, մենք ստանում ենք՝
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 մ2.
Գտնված արժեքը մի փոքր ավելի մեծ է, քան 17 ֆուտբոլային դաշտի տարածքը:
