Տարածական պատկերների ծավալը հաշվելու ունակությունը կարևոր է երկրաչափության մի շարք գործնական խնդիրների լուծման համար։ Ամենատարածված ձևերից մեկը բուրգն է: Այս հոդվածում մենք կդիտարկենք բուրգի ծավալի բանաձևերը՝ ինչպես ամբողջական, այնպես էլ կտրված:
Բուրգը որպես եռաչափ պատկեր
Բոլորը գիտեն եգիպտական բուրգերի մասին, ուստի նրանք լավ պատկերացնում են, թե ինչ գործիչ է քննարկվելու: Այնուամենայնիվ, եգիպտական քարե կառույցները բուրգերի հսկայական դասի միայն հատուկ դեպք են:
Դիտարկվող երկրաչափական օբյեկտը ընդհանուր դեպքում բազմանկյուն հիմք է, որի յուրաքանչյուր գագաթ կապված է տարածության ինչ-որ կետի հետ, որը չի պատկանում բազային հարթությանը։ Այս սահմանումը հանգեցնում է մեկ n-անկյունից և n եռանկյունից բաղկացած թվին:
Ցանկացած բուրգ բաղկացած է n+1 դեմքերից, 2n եզրերից և n+1 գագաթներից: Քանի որ դիտարկվող պատկերը կատարյալ բազմանիստ է, նշված տարրերի թիվը ենթարկվում է Էյլերի հավասարությանը.
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Հիմքում գտնվող բազմանկյունը տալիս է բուրգի անունը,օրինակ՝ եռանկյուն, հնգանկյուն և այլն։ Ստորև բերված լուսանկարում ներկայացված է տարբեր հիմքերով բուրգերի հավաքածու:
Այն կետը, որով միացված են պատկերի n եռանկյունները, կոչվում է բուրգի գագաթ: Եթե նրանից ուղղահայացը իջեցվի հիմքի վրա, և այն հատի այն երկրաչափական կենտրոնում, ապա այդպիսի պատկերը կկոչվի ուղիղ գիծ։ Եթե այս պայմանը չկատարվի, ուրեմն կա թեք բուրգ։
Ուղիղ պատկերը, որի հիմքը կազմված է հավասարակողմ (հավասարանկյուն) n-անկյունով, կոչվում է կանոնավոր։
Բուրգի ծավալի բանաձև
Բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ հաշվարկը: Դա անելու համար մենք նկարը բաժանում ենք հիմքին զուգահեռ հատվածային հարթություններով անսահման թվով բարակ շերտերի: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս քառանկյուն բուրգ՝ h բարձրությամբ և L կողմի երկարությամբ, որում հատվածի բարակ շերտը նշված է քառանկյունով:
Յուրաքանչյուր նման շերտի մակերեսը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը՝
A(z)=A0(h-z)2/h2:
Այստեղ A0-ը հիմքի մակերեսն է, z-ը ուղղահայաց կոորդինատի արժեքն է: Կարելի է տեսնել, որ եթե z=0, ապա բանաձևը տալիս է A0:
արժեքը
Բուրգի ծավալի բանաձևը ստանալու համար պետք է հաշվարկել ինտեգրալը պատկերի ողջ բարձրության վրա, այսինքն՝
V=∫h0(A(z)dz).
Փոխարինելով A(z) կախվածությունը և հաշվելով հակաածանցյալը՝ հասնում ենք
արտահայտությանը.
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0ժ.
Մենք ստացանք բուրգի ծավալի բանաձևը: V-ի արժեքը գտնելու համար բավական է նկարի բարձրությունը բազմապատկել հիմքի մակերեսով, այնուհետև արդյունքը բաժանել երեքի։
Նշեք, որ ստացված արտահայտությունը վավեր է կամայական տիպի բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար: Այսինքն, այն կարող է թեքվել, և դրա հիմքը կարող է լինել կամայական n-gon:
Ճիշտ բուրգը և դրա ծավալը
Վերևի պարբերությունում ստացված ծավալի ընդհանուր բանաձևը կարող է ճշգրտվել ճիշտ հիմք ունեցող բուրգի դեպքում: Նման բազայի տարածքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Այստեղ L-ն n գագաթներով կանոնավոր բազմանկյան կողմի երկարությունն է: Pi նշանը pi թիվն է։
Ա0 արտահայտությունը փոխարինելով ընդհանուր բանաձևով, մենք ստանում ենք կանոնավոր բուրգի ծավալը՝
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Օրինակ, եռանկյունաձև բուրգի համար այս բանաձևը հանգեցնում է հետևյալ արտահայտությանը.
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2ժ.
Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի համար ծավալի բանաձևը դառնում է՝
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2ժ.
Կանոնավոր բուրգերի ծավալը որոշելը պահանջում է իմանալ դրանց հիմքի կողմը և պատկերի բարձրությունը:
Կտրված բուրգ
Ենթադրենք՝ վերցրել ենքկամայական բուրգ և կտրել դրա կողային մակերեսի մի մասը, որը պարունակում է գագաթը: Մնացած գործիչը կոչվում է կտրված բուրգ: Այն արդեն բաղկացած է երկու n-gonal հիմքերից և n trapezoids-ից, որոնք միացնում են դրանք: Եթե կտրող հարթությունը զուգահեռ է եղել պատկերի հիմքին, ապա առաջանում է կտրված բուրգ՝ զուգահեռ նմանատիպ հիմքերով։ Այսինքն՝ դրանցից մեկի կողմերի երկարությունները կարելի է ստանալ՝ մյուսի երկարությունները բազմապատկելով k գործակցով։
Վերևի նկարը ցույց է տալիս կտրված կանոնավոր վեցանկյուն բուրգը: Երևում է, որ նրա վերին հիմքը, ինչպես և ստորինը, կազմված է կանոնավոր վեցանկյունով։
Կտրված բուրգի ծավալի բանաձևը, որը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով տրվածին նման ինտեգրալ հաշվարկը, հետևյալն է.
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Որտեղ A0 և A1 համապատասխանաբար ստորին (մեծ) և վերին (փոքր) հիմքերի տարածքներն են: h փոփոխականը կտրված բուրգի բարձրությունն է։
Քեոպսի բուրգի ծավալը
Հետաքրքիր է լուծել ամենամեծ եգիպտական բուրգի ներսում գտնվող ծավալը որոշելու խնդիրը։
1984 թվականին բրիտանացի եգիպտագետներ Մարկ Լեհները և Ջոն Գուդմանը սահմանեցին Քեոպսի բուրգի ճշգրիտ չափերը: Նրա սկզբնական բարձրությունը եղել է 146,50 մետր (ներկայումս մոտ 137 մետր)։ Կառույցի չորս կողմերից յուրաքանչյուրի միջին երկարությունը կազմել է 230,363 մետր։Բուրգի հիմքը բարձր ճշգրտությամբ քառակուսի է։
Օգտագործենք տրված թվերը՝ որոշելու այս քարե հսկայի ծավալը։ Քանի որ բուրգը կանոնավոր քառանկյուն է, ապա դրա համար գործում է բանաձևը՝
V4=1/3L2ժ.
Փոխարինեք թվերը, ստանում ենք՝
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 մ 3.
Քեոպսի բուրգի ծավալը կազմում է գրեթե 2,6 միլիոն մ3: Համեմատության համար նշենք, որ օլիմպիական լողավազանն ունի 2,5 հազար մ3 ծավալ։ Այսինքն՝ ամբողջ Քեոպսի բուրգը լրացնելու համար անհրաժեշտ կլինի այս լողավազաններից ավելի քան 1000-ը։
