Գլան՝ կողային մակերեսի մակերեսը: Մխոցի կողային մակերեսի տարածքի բանաձևը

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Ստերեոմետրիա ուսումնասիրելիս հիմնական թեմաներից մեկը «Գլանն» է։ Կողային մակերեսը համարվում է, եթե ոչ հիմնական, ապա կարևոր բանաձև երկրաչափական խնդիրների լուծման համար: Այնուամենայնիվ, կարևոր է հիշել սահմանումներ, որոնք կօգնեն ձեզ կողմնորոշվել օրինակների միջով և տարբեր թեորեմներ ապացուցելիս:

Գլանների հայեցակարգ

Նախ մենք պետք է դիտարկենք մի քանի սահմանումներ: Միայն դրանք ուսումնասիրելուց հետո կարելի է սկսել դիտարկել մխոցի կողային մակերեսի տարածքի բանաձևի հարցը: Այս գրառման հիման վրա կարող են հաշվարկվել այլ արտահայտություններ։

• Գլանաձև մակերեսը հասկացվում է որպես մի հարթություն, որը նկարագրված է գեներատորի կողմից, որը շարժվում և զուգահեռ է մնում տվյալ ուղղությամբ, սահում է գոյություն ունեցող կորի երկայնքով:
• Կա նաև երկրորդ սահմանումը. գլանաձև մակերեսը ձևավորվում է տրված կորը հատող զուգահեռ գծերի բազմությունից:
• Գեներատիվը պայմանականորեն կոչվում է գլանի բարձրություն: Երբ այն շարժվում է հիմքի կենտրոնով անցնող առանցքի շուրջ,ստացվում է նշանակված երկրաչափական մարմինը։
• Առանցքի տակ նշանակում է նկարի երկու հիմքերով անցնող ուղիղ գիծ:
• Մխոցը ստերեոմետրիկ մարմին է, որը սահմանափակված է հատվող կողային մակերեսով և 2 զուգահեռ հարթություններով:

Կան այս եռաչափ կերպարի տարատեսակներ.

1. Շրջանաձևը գլան է, որի ուղեցույցը շրջանագիծ է: Դրա հիմնական բաղադրիչներն են հիմքի շառավիղը և գեներատրիքսը: Վերջինս հավասար է նկարի բարձրությանը։
2. Կա ուղիղ գլան։ Այն ստացել է իր անվանումը պատկերի հիմքերին գեներատրիսի ուղղահայացության շնորհիվ։
3. Երրորդ տեսակը փեղկավոր գլան է: Դասագրքերում կարելի է գտնել նաև դրա մեկ այլ անուն՝ «շեղված հիմքով շրջանաձև գլան»։ Այս ցուցանիշը սահմանում է հիմքի շառավիղը, նվազագույն և առավելագույն բարձրությունները:
4. Հավասարակողմ գլան հասկացվում է որպես մարմին, որն ունի հավասար բարձրություն և շրջանաձև հարթության տրամագիծ:

Սիմվոլներ

Ավանդաբար, բալոնի հիմնական «բաղադրիչները» կոչվում են հետևյալ կերպ՝

• Հիմքի շառավիղը R է (այն նաև փոխարինում է ստերեոմետրիկ պատկերի նույն արժեքը):
• Գեներատիվ – L.
• Բարձրություն – Հ.
• Հիմնական տարածք - S_{հիմք(այլ կերպ ասած, դուք պետք է գտնեք նշված շրջանակի պարամետրը):}
• շեղված գլանների բարձրություններ – h₁, h_{2 (նվազագույն և առավելագույն):}
• Կողքի մակերեսը - S_{կողմ (եթե այն ընդլայնեք, կստանաքմի տեսակ ուղղանկյուն):}
• Ստերեոմետրիկ պատկերի ծավալը - V.
• Ընդհանուր մակերեսը – S.

Ստերեոմետրիկ պատկերի «բաղադրիչներ»

Մխոցը ուսումնասիրելիս կարևոր դեր է խաղում կողային մակերեսի մակերեսը։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս բանաձեւը ներառված է մի քանի այլ, ավելի բարդ բանաձեւերի մեջ։ Ուստի անհրաժեշտ է լավ տիրապետել տեսությանը։

Նկարի հիմնական բաղադրիչներն են՝

1. Կողային մակերես. Ինչպես գիտեք, այն ստացվում է տվյալ կորի երկայնքով գեներատրիսի շարժման շնորհիվ։
2. Լրիվ մակերեսը ներառում է գոյություն ունեցող հիմքերը և կողային հարթությունը:
3. Գլանի հատվածը, որպես կանոն, ուղղանկյուն է, որը գտնվում է պատկերի առանցքին զուգահեռ։ Հակառակ դեպքում դա կոչվում է ինքնաթիռ։ Ստացվում է, որ երկարությունը և լայնությունը այլ գործիչների կես դրույքով բաղադրիչներ են: Այսպիսով, պայմանականորեն, հատվածի երկարությունները գեներատորներ են: Լայնություն - ստերեոմետրիկ պատկերի զուգահեռ ակորդներ։
4. Սռնու հատվածը նշանակում է հարթության գտնվելու վայրը մարմնի կենտրոնով:
5. Եվ վերջապես, վերջնական սահմանումը. Շոշափողն այն հարթությունն է, որն անցնում է գլանի գեներատրիցով և առանցքային հատվածի նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ։ Այս դեպքում պետք է կատարվի մեկ պայման. Նշված գեներատորը պետք է ներառվի առանցքային հատվածի հարթության մեջ:

Գլանով աշխատելու հիմնական բանաձևեր

Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել բալոնի մակերեսը, անհրաժեշտ է ուսումնասիրել ստերեոմետրիկ պատկերի հիմնական «բաղադրիչները» և դրանք գտնելու բանաձևերը։

Այս բանաձևերը տարբերվում են նրանով, որ սկզբում տրված են թեքված գլանների արտահայտությունները, այնուհետև ուղիղի համար:

Քայքայված օրինակներ

Առաջադրանք 1.

Անհրաժեշտ է իմանալ գլանի կողային մակերեսի մակերեսը։ Տրված է AC=8 սմ հատվածի անկյունագիծը (ընդ որում՝ առանցքային է)։ Երբ շփվում է գեներատորի հետ, ստացվում է _<ACD=30°

Որոշում. Քանի որ անկյունագծի և անկյան արժեքները հայտնի են, ապա այս դեպքում՝

CD=ACcos 30°։

Մեկնաբանություն. Եռանկյուն ACD-ն, այս կոնկրետ օրինակում, ուղղանկյուն եռանկյուն է: Սա նշանակում է, որ CD և AC բաժանման գործակիցը=տվյալ անկյան կոսինուսը: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքը կարելի է գտնել հատուկ աղյուսակում։

Նմանապես, դուք կարող եք գտնել AD-ի արժեքը:

AD=ACsin 30°

Այժմ անհրաժեշտ է հաշվարկել ցանկալի արդյունքը՝ օգտագործելով հետևյալ ձևակերպումը․ Պետք է օգտագործել նաև մեկ այլ բանաձև՝ մխոցի հիմքի տարածքը: Այն հավասար է «pi»-ի շառավիղի քառակուսով բազմապատկելու արդյունքին։ Եվ վերջապես, վերջին բանաձեւը՝ ընդհանուր մակերեսը։ Այն հավասար է նախորդ երկու տարածքների գումարին։

Առաջադրանք 2.

Տրված են բալոններ։ Նրանց ծավալը=128n սմ³: Ո՞ր մխոցն ունի ամենափոքրըլրիվ մակերես?

Որոշում. Նախ անհրաժեշտ է օգտագործել գործչի ծավալը և բարձրությունը գտնելու բանաձևերը:

Քանի որ գլանների ընդհանուր մակերեսը հայտնի է տեսությունից, դրա բանաձևը պետք է կիրառվի:

Եթե ստացված բանաձևը դիտարկենք որպես մխոցի մակերեսի ֆունկցիա, ապա նվազագույն «ցուցիչը» կհասնի ծայրահեղ կետում: Վերջին արժեքը ստանալու համար դուք պետք է օգտագործեք տարբերակումը:

Բանաձևերը կարելի է դիտել հատուկ աղյուսակում՝ ածանցյալներ գտնելու համար: Հետագայում գտնված արդյունքը հավասարեցվում է զրոյի և գտնվում է հավասարման լուծումը։

Պատասխան. S_{min կհասնի h=1/32 սմ, R=64 սմ:}

Խնդիր 3.

Տրված է ստերեոմետրիկ պատկեր՝ գլան և հատված: Վերջինս իրականացվում է այնպես, որ այն գտնվում է ստերեոմետրիկ մարմնի առանցքին զուգահեռ։ Մխոցն ունի հետևյալ պարամետրերը՝ VK=17 սմ, h=15 սմ, R=5 սմ։ Անհրաժեշտ է գտնել հատվածի և առանցքի միջև եղած հեռավորությունը։

Որոշում.

Քանի որ մխոցի խաչմերուկը հասկացվում է որպես VSCM, այսինքն՝ ուղղանկյուն, նրա կողմը VM=h: WMC-ն պետք է դիտարկել: Եռանկյունը ուղղանկյուն է։ Այս հայտարարության հիման վրա մենք կարող ենք եզրակացնել ճիշտ ենթադրությունը, որ MK=BC:

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ MK=BC=8 սմ:

Հաջորդ քայլը նկարի հիմքի միջով հատված գծելն է: Պետք է հաշվի առնել ստացված հարթությունը։

AD – ստերեոմետրիկ գործչի տրամագիծ: Այն զուգահեռ է խնդրի հայտարարության մեջ նշված հատվածին:

BC-ն ուղիղ գիծ է, որը գտնվում է գոյություն ունեցող ուղղանկյան հարթության վրա:

ABCD-ն trapezoid է: Կոնկրետ դեպքում այն համարվում է հավասարաչափ, քանի որ նրա շուրջ նկարագրված է շրջան։

Եթե գտնեք ստացված trapezoid-ի բարձրությունը, կարող եք ստանալ խնդրի սկզբում տրված պատասխանը: Այսինքն՝ գտնելով առանցքի և գծված հատվածի միջև հեռավորությունը։

Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել AD-ի և OS-ի արժեքները:

Պատասխան՝ հատվածը գտնվում է առանցքից 3 սմ հեռավորության վրա։

Նյութի համախմբման խնդիր

Օրինակ 1.

Գլան տրված է: Հետագա լուծման մեջ օգտագործվում է կողային մակերեսը: Մյուս տարբերակները հայտնի են. Հիմքի մակերեսը Q է, առանցքային հատվածի մակերեսը՝ M։ Անհրաժեշտ է գտնել S։ Այլ կերպ ասած՝ մխոցի ընդհանուր մակերեսը։

Օրինակ 2.

Գլան տրված է: Կողմնակի մակերեսը պետք է գտնել խնդրի լուծման քայլերից մեկում։ Հայտնի է, որ բարձրությունը=4 սմ, շառավիղը=2 սմ: Անհրաժեշտ է գտնել ստերեոմետրիկ գործչի ընդհանուր մակերեսը: