Ստերեոմետրիան երկրաչափության մի հատված է, որն ուսումնասիրում է նույն հարթության վրա չգտնվող պատկերները: Ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության առարկաներից են պրիզմաները։ Հոդվածում մենք կտանք պրիզմայի սահմանումը երկրաչափական տեսանկյունից, ինչպես նաև համառոտ կթվարկենք նրան բնորոշ հատկությունները։
Երկրաչափական պատկեր
Երկրաչափության մեջ պրիզմայի սահմանումը հետևյալն է. այն տարածական պատկեր է, որը բաղկացած է երկու նույնական n-անկյուններից, որոնք տեղակայված են զուգահեռ հարթություններում, միմյանց հետ կապված իրենց գագաթներով:
Պրիզմա ստանալը հեշտ է: Պատկերացրեք, որ կան երկու նույնական n-անկյուններ, որտեղ n-ը կողմերի կամ գագաթների թիվն է: Դրցնենք այնպես, որ իրար զուգահեռ լինեն։ Դրանից հետո մի բազմանկյան գագաթները պետք է միացվեն մյուսի համապատասխան գագաթներին։ Կազմված պատկերը բաղկացած կլինի երկու n անկյունային կողմերից, որոնք կոչվում են հիմքեր, և n քառանկյուն կողմերից, որոնք ընդհանուր դեպքում զուգահեռներ են։ Զուգահեռագրերի բազմությունը կազմում է նկարի կողային մակերեսը։
Կա ևս մեկ եղանակ՝ երկրաչափականորեն ստանալ տվյալ պատկերը: Այսպիսով, եթե վերցնենք n-անկյուն և տեղափոխենք այն մեկ այլ հարթության՝ օգտագործելով հավասար երկարության զուգահեռ հատվածներ, ապա նոր հարթությունում մենք ստանում ենք սկզբնական բազմանկյունը։ Երկու բազմանկյունները և նրանց գագաթներից գծված բոլոր զուգահեռ հատվածները կազմում են պրիզմա։
Վերևի նկարը ցույց է տալիս եռանկյունաձև պրիզմա: Այն այդպես է կոչվում, քանի որ դրա հիմքերը եռանկյուններ են։
Գծապատկերը կազմող տարրեր
Պրիզմայի սահմանումը տրվեց վերևում, որից պարզ է դառնում, որ գործչի հիմնական տարրերը նրա դեմքերը կամ կողմերն են՝ սահմանափակելով պրիզմայի բոլոր ներքին կետերը արտաքին տարածությունից։ Քննարկվող գործչի ցանկացած դեմք պատկանում է երկու տեսակներից մեկին.
- կողմ;
- հիմք.
Գոյություն ունեն n կողային մասեր, և դրանք զուգահեռականներ են կամ դրանց հատուկ տեսակները (ուղղանկյուններ, քառակուսիներ): Ընդհանուր առմամբ, կողային երեսները տարբերվում են միմյանցից: Հիմքի միայն երկու երես կա, դրանք n-գոններ են և հավասար են միմյանց։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր պրիզմա ունի n+2 կողմ։
Կողքերից բացի, գործիչը բնութագրվում է իր գագաթներով: Դրանք կետեր են, որտեղ միաժամանակ դիպչում են երեք դեմքեր: Ընդ որում, երեք դեմքերից երկուսը միշտ պատկանում են կողային մակերեսին, իսկ մեկը՝ հիմքին։ Այսպիսով, պրիզմայում չկա հատուկ ընտրված մեկ գագաթ, ինչպես, օրինակ, բուրգում բոլորը հավասար են։ Նկարի գագաթների թիվը 2n է (յուրաքանչյուրի համար n հատպատճառ).
Վերջապես, պրիզմայի երրորդ կարևոր տարրը նրա եզրերն են: Սրանք որոշակի երկարության հատվածներ են, որոնք առաջանում են գործչի կողերի հատման արդյունքում։ Դեմքերի պես, եզրերը նույնպես ունեն երկու տարբեր տեսակ՝
- կամ ձևավորված միայն կողմերից;
- կամ հայտնվել զուգահեռագծի և n-անկյունային հիմքի միացման տեղում:
Այսպիսով, եզրերի թիվը 3n է, և դրանցից 2n-ը երկրորդ տեսակի են։
Պրիզմայի տեսակներ
Պրիզմաները դասակարգելու մի քանի եղանակ կա: Այնուամենայնիվ, դրանք բոլորը հիմնված են գործչի երկու առանձնահատկությունների վրա՝
- n-ածխի հիմքի տեսակի մասին;
- կողքի տեսակ։
Նախ, անդրադառնանք երկրորդ հատկանիշին և սահմանենք ուղիղ և թեք պրիզմա: Եթե գոնե մի կողմը ընդհանուր տիպի զուգահեռագիծ է, ապա պատկերը կոչվում է թեք կամ թեք: Եթե բոլոր զուգահեռագծերը ուղղանկյուններ կամ քառակուսիներ են, ապա պրիզման ուղիղ կլինի։
Ուղիղ պրիզմայի սահմանումը կարող է տրվել նաև մի փոքր այլ կերպ. ուղիղ պատկերը պրիզմա է, որի կողային եզրերն ու դեմքերը ուղղահայաց են նրա հիմքերին: Նկարում ներկայացված են երկու քառանկյուն պատկերներ: Ձախն ուղիղ է, աջը՝ թեք։
Այժմ անցնենք դասակարգմանը ըստ հիմքերում ընկած n-գոնի տեսակի։ Այն կարող է ունենալ նույն կողմերն ու անկյունները կամ տարբեր: Առաջին դեպքում բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր։ Եթե դիտարկվող պատկերը պարունակում է հավասարազոր բազմանկյունկողմերը և անկյունները և ուղիղ գիծ է, ապա այն կոչվում է ճիշտ: Ըստ այս սահմանման, կանոնավոր պրիզման իր հիմքում կարող է ունենալ հավասարակողմ եռանկյուն, քառակուսի, կանոնավոր հնգանկյուն կամ վեցանկյուն և այլն։ Թվարկված ճիշտ թվերը ներկայացված են նկարում։
Պրիզմայի գծային պարամետրեր
Քննարկվող թվերի չափերը նկարագրելու համար օգտագործվում են հետևյալ պարամետրերը՝
- բարձրություն;
- բազային կողմեր;
- կողային կողերի երկարություններ;
- 3D անկյունագծեր;
- անկյունագծային կողմեր և հիմքեր։
Կանոնավոր պրիզմաների համար բոլոր անվանված մեծությունները կապված են միմյանց հետ: Օրինակ, կողային կողերի երկարությունները նույնն են և հավասար են բարձրությանը։ Որոշակի n-անկյունային կանոնավոր գործչի համար կան բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս որոշել մնացած բոլորը ցանկացած երկու գծային պարամետրով:
Ձևավոր մակերես
Եթե անդրադառնանք պրիզմայի վերը նշված սահմանմանը, ապա դժվար չի լինի հասկանալ, թե ինչ է ներկայացնում պատկերի մակերեսը։ Մակերեսը բոլոր դեմքերի տարածքն է: Ուղիղ պրիզմայի համար այն հաշվարկվում է բանաձևով՝
S=2So + Poh
որտեղ So-ը հիմքի մակերեսն է, Po-ը հիմքում գտնվող n-գոնի պարագիծն է: h-ը բարձրությունն է (հիմքերի միջև հեռավորությունը).
Նկարի ծավալը
Մակերևույթի հետ միասին պրակտիկայի համար կարևոր է իմանալ պրիզմայի ծավալը: Այն կարող է որոշվել հետևյալ բանաձևով՝
V=Soh
Սաարտահայտությունը ճշմարիտ է բացարձակապես ցանկացած տեսակի պրիզմայի համար, ներառյալ նրանց, որոնք թեք են և կազմված են անկանոն բազմանկյուններից:
Կանոնավոր պրիզմաների համար ծավալը կախված է հիմքի կողմի երկարությունից և պատկերի բարձրությունից: Համապատասխան n-անկյունային պրիզմայի համար V-ի բանաձևն ունի կոնկրետ ձև։
