Մաթեմատիկայում կարևոր հասկացությունը ֆունկցիան է: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք պատկերացնել բնության մեջ տեղի ունեցող բազմաթիվ գործընթացներ, արտացոլել որոշակի քանակությունների միջև հարաբերությունները՝ օգտագործելով բանաձևեր, աղյուսակներ և պատկերներ գրաֆիկի վրա: Օրինակ՝ մարմնի վրա հեղուկ շերտի ճնշման կախվածությունը ընկղմման խորությունից, արագացումը՝ օբյեկտի վրա որոշակի ուժի ազդեցությունից, ջերմաստիճանի բարձրացումը՝ փոխանցվող էներգիայից և շատ այլ գործընթացներից։ Ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը ներառում է գրաֆիկի կառուցում, դրա հատկությունների պարզաբանում, ծավալի և արժեքների, աճի և նվազման ընդմիջումներով: Այս գործընթացում կարևոր կետը ծայրահեղ կետերի հայտնաբերումն է: Այն մասին, թե ինչպես դա անել ճիշտ, և զրույցը կշարունակվի:
Հասկացության մասին կոնկրետ օրինակով
Բժշկության մեջ ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրումը կարող է պատմել հիվանդի մարմնում հիվանդության առաջընթացի մասին՝ տեսողականորեն արտացոլելով նրա վիճակը: Ենթադրենք, որ օրերով ժամանակը գծագրված է OX առանցքի երկայնքով, իսկ մարդու մարմնի ջերմաստիճանը՝ OY առանցքի երկայնքով: Նկարը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես է այս ցուցանիշը կտրուկ բարձրանում, ևապա այն ընկնում է: Հեշտ է նաև նկատել եզակի կետեր, որոնք արտացոլում են այն պահերը, երբ ֆունկցիան, նախկինում աճելով, սկսում է նվազել և հակառակը։ Սրանք ծայրահեղ կետերն են, այսինքն՝ հիվանդի ջերմաստիճանի այս դեպքում կրիտիկական արժեքները (առավելագույնը և նվազագույնը), որից հետո նրա վիճակի փոփոխություններ են տեղի ունենում։
Թեքության անկյուն
Հեշտ է նկարից որոշել, թե ինչպես է փոխվում ֆունկցիայի ածանցյալը: Եթե գրաֆիկի ուղիղ գծերը ժամանակի ընթացքում բարձրանում են, ապա դա դրական է: Եվ որքան կտրուկ են դրանք, այնքան մեծ է ածանցյալի արժեքը, քանի որ թեքության անկյունը մեծանում է։ Նվազման ժամանակաշրջաններում այս արժեքը ընդունում է բացասական արժեքներ՝ ծայրահեղ կետերում վերածվելով զրոյի, իսկ վերջին դեպքում ածանցյալի գրաֆիկը գծվում է OX առանցքին զուգահեռ։
Ցանկացած այլ գործընթաց պետք է վերաբերվի նույն կերպ: Բայց այս հայեցակարգի լավագույն բանը կարող է պատմել տարբեր մարմինների շարժումները, որոնք հստակ ցույց են տրված գրաֆիկներում:
Շարժում
Ենթադրենք, ինչ-որ առարկա շարժվում է ուղիղ գծով՝ հավասարաչափ արագություն ձեռք բերելով: Այս ժամանակահատվածում մարմնի կոորդինատների փոփոխությունը գրաֆիկորեն ներկայացնում է որոշակի կոր, որը մաթեմատիկոսը կանվանի պարաբոլայի ճյուղ։ Միևնույն ժամանակ ֆունկցիան անընդհատ աճում է, քանի որ կոորդինատային ցուցիչները փոխվում են ամեն վայրկյան ավելի ու ավելի արագ։ Արագության գրաֆիկը ցույց է տալիս ածանցյալի վարքագիծը, որի արժեքը նույնպես մեծանում է։ Սա նշանակում է, որ շարժումը չունի կրիտիկական կետեր։
Կշարունակվեր անվերջ։ Բայց եթե մարմինը հանկարծ որոշի դանդաղեցնել, կանգ առեք և սկսեք շարժվել մեկ ուրիշի մեջուղղություն? Այս դեպքում կոորդինատային ցուցանիշները կսկսեն նվազել։ Եվ ֆունկցիան կանցնի կրիտիկական արժեքը և կվերածի աճողից նվազման:
Այս օրինակում դուք կրկին կարող եք հասկանալ, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի ծայրահեղ կետերը հայտնվում են այն պահերին, երբ այն դադարում է միապաղաղ լինել:
Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը
Նկարագրված ավելի վաղ պարզորոշ ցույց տվեց, որ ածանցյալը, ըստ էության, ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է: Այս ճշգրտումը պարունակում է իր ֆիզիկական իմաստը: Ծայրահեղ կետերը գծապատկերի կրիտիկական հատվածներն են: Դրանք հնարավոր է պարզել և հայտնաբերել՝ ածանցյալի արժեքը հաշվելով, որը զրոյի հավասար է ստացվում։
Կա ևս մեկ նշան, որը բավարար պայման է էքստրեմումի համար. Այդպիսի թեքման վայրերում ածանցյալը փոխում է իր նշանը՝ առավելագույնի շրջանում «+»-ից «-»-ի և նվազագույնի շրջանում «-»-ից «+»-ի:
Շարժում գրավիտացիայի ազդեցության տակ
Պատկերացնենք այլ իրավիճակ. Երեխաները գնդակ խաղալով այնպես են նետել այն, որ այն սկսել է շարժվել դեպի հորիզոնը անկյան տակ։ Սկզբնական պահին այս օբյեկտի արագությունն ամենամեծն էր, սակայն ձգողականության ազդեցությամբ այն սկսեց նվազել և յուրաքանչյուր վայրկյանի հետ նույն արժեքով հավասար էր մոտավորապես 9,8 մ/վրկ.2. Սա այն արագացման արժեքն է, որը տեղի է ունենում Երկրի ձգողականության ազդեցության տակ ազատ անկման ժամանակ։ Լուսնի վրա այն մոտավորապես վեց անգամ փոքր կլիներ։
Մարմնի շարժումը նկարագրող գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ճյուղերով,դեպի ներքեւ. Ինչպե՞ս գտնել ծայրահեղ կետեր: Այս դեպքում սա ֆունկցիայի գագաթն է, որտեղ մարմնի (գնդակի) արագությունը զրոյական արժեք է ստանում։ Ֆունկցիայի ածանցյալը դառնում է զրո: Այս դեպքում ուղղությունը և, հետևաբար, արագության արժեքը փոխվում է հակառակը: Մարմինը ամեն վայրկյան ավելի ու ավելի արագ է թռչում ցած, և արագանում է նույնքան՝ 9,8 մ/վ2.
Երկրորդ ածանցյալ
Նախորդ դեպքում արագության մոդուլի գրաֆիկը գծված է ուղիղ գծի տեսքով։ Այս գիծը սկզբում ուղղվում է դեպի ներքև, քանի որ այդ քանակի արժեքը անընդհատ նվազում է։ Ժամանակի կետերից մեկում հասնելով զրոյի, այնուհետև այս արժեքի ցուցիչները սկսում են աճել, և արագության մոդուլի գրաֆիկական ներկայացման ուղղությունը կտրուկ փոխվում է: Գիծն այժմ ուղղված է դեպի վեր։
Արագությունը, լինելով կոորդինատի ժամանակի ածանցյալը, ունի նաև կրիտիկական կետ: Այս տարածաշրջանում ֆունկցիան, ի սկզբանե նվազում է, սկսում է աճել։ Սա ֆունկցիայի ածանցյալի ծայրահեղ կետի տեղն է։ Այս դեպքում շոշափողի թեքությունը դառնում է զրո: Իսկ արագացումը, լինելով կոորդինատի երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ, նշանը փոխում է «-»-ից «+»-ի: Եվ շարժումը միատեսակ դանդաղից դառնում է միատեսակ արագացված:
Արագացման աղյուսակ
Այժմ հաշվի առեք չորս նկար: Նրանցից յուրաքանչյուրը ցույց է տալիս ժամանակի ընթացքում այնպիսի ֆիզիկական մեծության փոփոխության գրաֆիկ, ինչպիսին արագացումը: «Ա»-ի դեպքում դրա արժեքը մնում է դրական և հաստատուն։ Սա նշանակում է, որ մարմնի արագությունը, ինչպես նրա կոորդինատը, անընդհատ աճում է։ Եթեպատկերացրեք, որ օբյեկտը անսահման երկար ժամանակ կշարժվի այս կերպ, կոորդինատի կախվածությունը ժամանակից արտացոլող ֆունկցիան անընդհատ աճում է։ Այստեղից հետևում է, որ այն չունի կրիտիկական շրջաններ։ Ածանցյալի գրաֆիկի վրա նույնպես չկան ծայրահեղ կետեր, այսինքն՝ գծային փոփոխվող արագություն։
Նույնը վերաբերում է դրական և անընդհատ աճող արագացումով «B» դեպքին։ Ճիշտ է, կոորդինատների և արագության սյուժեները այստեղ մի փոքր ավելի բարդ կլինեն:
Երբ արագացումը ձգտում է զրոյի
Դիտելով «B» նկարը, կարող եք տեսնել մարմնի շարժումը բնութագրող բոլորովին այլ պատկեր։ Նրա արագությունը գրաֆիկորեն կպատկերվի որպես պարաբոլա՝ դեպի ներքև ուղղված ճյուղերով: Եթե մենք շարունակենք արագացման փոփոխությունը նկարագրող գիծը, մինչև այն հատվի OX առանցքի հետ, ապա կարող ենք պատկերացնել, որ մինչև այս կրիտիկական արժեքը, որտեղ արագացումը հավասար է զրոյի, օբյեկտի արագությունը կավելանա։ ավելի ու ավելի դանդաղ: Կոորդինատների ֆունկցիայի ածանցյալի ծայրահեղ կետը կլինի հենց պարաբոլայի վերին մասում, որից հետո մարմինը արմատապես կփոխի շարժման բնույթը և կսկսի շարժվել մյուս ուղղությամբ։
Վերջին դեպքում՝ «G», շարժման բնույթը հնարավոր չէ ճշգրիտ որոշել։ Այստեղ միայն գիտենք, որ քննարկվող որոշ ժամանակահատվածի համար արագացում չկա։ Սա նշանակում է, որ օբյեկտը կարող է մնալ տեղում, կամ շարժումը տեղի է ունենում հաստատուն արագությամբ:
Կորդինատների ավելացման առաջադրանք
Անցնենք առաջադրանքներին, որոնք հաճախ հանդիպում են դպրոցում հանրահաշվի ուսումնասիրության մեջ և առաջարկվում ենքննության նախապատրաստում. Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պահանջվում է հաշվարկել ծայրահեղ միավորների գումարը։
Եկեք դա անենք y առանցքի համար՝ որոշելով այն կրիտիկական շրջանների կոորդինատները, որտեղ նկատվում է ֆունկցիայի բնութագրերի փոփոխություն։ Պարզ ասած, մենք գտնում ենք արժեքները x առանցքի երկայնքով թեքման կետերի համար, այնուհետև անցնում ենք ստացված տերմինների ավելացմանը: Ըստ գրաֆիկի՝ ակնհայտ է, որ նրանք ընդունում են հետևյալ արժեքները՝ -8; -7; -5; -3; -2; մեկ; 3. Սա գումարվում է մինչև -21, որը պատասխանն է:
Օպտիմալ լուծում
Պետք չէ բացատրել, թե որքան կարևոր կարող է լինել օպտիմալ լուծման ընտրությունը գործնական առաջադրանքների կատարման մեջ։ Ի վերջո, նպատակին հասնելու ուղիները շատ են, իսկ լավագույն ելքը, որպես կանոն, միայն մեկն է. Սա չափազանց անհրաժեշտ է, օրինակ, երբ նախագծում ենք նավեր, տիեզերանավեր և ինքնաթիռներ, ճարտարապետական կառույցներ՝ գտնելու այս տեխնածին առարկաների օպտիմալ ձևը:
Տրանսպորտային միջոցների արագությունը մեծապես կախված է ջրի և օդի միջով շարժվելիս դիմադրության գրագետ նվազագույնից, գրավիտացիոն ուժերի և շատ այլ ցուցիչների ազդեցության տակ առաջացող ծանրաբեռնվածությունից: Ծովում գտնվող նավին անհրաժեշտ են այնպիսի որակներ, ինչպիսին է կայունությունը փոթորկի ժամանակ, գետային նավի համար կարևոր է նվազագույն հոսքը: Օպտիմալ դիզայնը հաշվարկելիս գրաֆիկի ծայրամասային կետերը կարող են տեսողականորեն պատկերացում կազմել բարդ խնդրի լավագույն լուծման մասին: Նման առաջադրանքները հաճախ են լինումլուծվում են տնտեսության մեջ, տնտեսական ոլորտներում, կյանքի բազմաթիվ այլ իրավիճակներում։
Հին պատմությունից
Ծայրահեղ խնդիրները զբաղեցրել են նույնիսկ հին իմաստուններին: Հույն գիտնականները մաթեմատիկական հաշվարկների միջոցով հաջողությամբ բացահայտել են տարածքների և ծավալների առեղծվածը: Նրանք առաջինն էին, որ հասկացան, որ միևնույն պարագծով տարբեր պատկերների հարթության վրա շրջանն ունի ամենամեծ մակերեսը: Նմանապես, գնդակն օժտված է առավելագույն ծավալով՝ նույն մակերեսով տարածության մյուս առարկաների միջև: Նման խնդիրների լուծմանը նվիրվել են այնպիսի նշանավոր դեմքեր, ինչպիսիք են Արքիմեդը, Էվկլիդեսը, Արիստոտելը, Ապոլոնիուսը։ Հերոնին շատ լավ հաջողվեց էքստրեմալ կետեր գտնել, ով, դիմելով հաշվարկների, հնարամիտ սարքեր է կառուցել։ Դրանք ներառում էին ավտոմատ մեքենաներ, որոնք շարժվում են գոլորշու, պոմպերի և տուրբինների միջոցով, որոնք գործում են նույն սկզբունքով։
Կարթագենի կառուցում
Կա մի լեգենդ, որի սյուժեն հիմնված է ծայրահեղ խնդիրներից մեկի լուծման վրա։ Փյունիկյան արքայադստեր ցուցաբերած բիզնես մոտեցման արդյունքը, ով դիմել էր իմաստունների օգնությանը, Կարթագենի կառուցումն էր։ Այս հնագույն և հայտնի քաղաքի հողատարածքը Դիդոյին (այդպես էր անվանում տիրակալը) նվիրել է աֆրիկյան ցեղերից մեկի առաջնորդը։ Հատկացման տարածքը նրան սկզբում այնքան էլ մեծ չէր թվում, քանի որ պայմանագրի համաձայն այն պետք է ծածկված լիներ օքսիդով։ Բայց արքայադուստրը հրամայեց իր զինվորներին կտրել այն բարակ շերտերով և դրանցից գոտի պատրաստել: Պարզվեց այնքան երկար, որ այն ծածկեց կայքը,որտեղ ամբողջ քաղաքը տեղավորվում է։
Հաշվի ծագումը
Եվ հիմա եկեք անցնենք հին ժամանակներից ավելի ուշ դարաշրջան: Հետաքրքիրն այն է, որ 17-րդ դարում Կեպլերին հուշում է գինու վաճառողի հետ հանդիպման ժամանակ՝ հասկանալու մաթեմատիկական վերլուծության հիմքերը: Վաճառականն այնքան լավ էր տիրապետում իր մասնագիտությանը, որ հեշտությամբ կարող էր որոշել ըմպելիքի ծավալը տակառում՝ պարզապես դրա մեջ իջեցնելով երկաթե շղթան։ Անդրադառնալով նման հետաքրքրասիրությանը՝ հայտնի գիտնականին հաջողվել է լուծել իր համար այս երկընտրանքը։ Պարզվում է, որ այն ժամանակների հմուտ կոպերները անոթներ էին պատրաստում այնպես, որ ամրացնող օղակների շրջագծի որոշակի բարձրության և շառավղով դրանք առավելագույն տարողություն ունենային։
Սա Կեպլերի համար էր՝ հետագա մտորումների համար: Բոչարները երկար փնտրտուքով, սխալներով ու նոր փորձերով եկան օպտիմալ լուծման՝ սերնդեսերունդ փոխանցելով իրենց փորձը։ Բայց Կեպլերը ցանկանում էր արագացնել գործընթացը և սովորել, թե ինչպես անել նույնը կարճ ժամանակում մաթեմատիկական հաշվարկների միջոցով: Նրա բոլոր զարգացումները, որոնք վերցվել են գործընկերների կողմից, վերածվել են Ֆերմայի և Նյուտոնի այժմ հայտնի թեորեմների՝ Լայբնից:
Առավելագույն տարածքի խնդիր
Պատկերացնենք, որ ունենք 50 սմ երկարությամբ մետաղալար։Ինչպե՞ս դրանից ամենամեծ մակերեսով ուղղանկյուն կազմել։
Որոշումը սկսելով՝ պետք է ելնել պարզ ու հայտնի ճշմարտություններից։ Հասկանալի է, որ մեր գործչի պարագիծը կլինի 50 սմ, այն նաև բաղկացած է երկու կողմերի երկարություններից: Սա նշանակում է, որ դրանցից մեկը նշանակելով որպես «X», մյուսը կարող է արտահայտվել որպես (25 - X):
Այստեղից մենք ստանում ենքտարածքը հավասար է X-ին (25 - X): Այս արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես գործառույթ, որն ընդունում է բազմաթիվ արժեքներ: Խնդրի լուծումը պահանջում է գտնել դրանց առավելագույնը, ինչը նշանակում է, որ պետք է պարզել ծայրահեղ կետերը։
Դա անելու համար մենք գտնում ենք առաջին ածանցյալը և հավասարեցնում այն զրոյի: Արդյունքը պարզ հավասարում է. 25 - 2X=0.
Դրանից մենք իմանում ենք, որ X կողմերից մեկը=12, 5.
Հետևաբար, մեկ այլ՝ 25 – 12, 5=12, 5.
Պարզվում է, որ խնդրի լուծումը կլինի 12,5 սմ կողմ ունեցող քառակուսին։
Ինչպես գտնել առավելագույն արագությունը
Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ: Պատկերացրեք, որ կա մարմին, որի ուղղագիծ շարժումը նկարագրվում է S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, որտեղ հեռավորությունը անցած ճանապարհն արտահայտվում է մետրերով, իսկ ժամանակը վայրկյաններով: Պահանջվում է գտնել առավելագույն արագությունը: Ինչպե՞ս դա անել: Ներբեռնված գտեք արագությունը, այսինքն՝ առաջին ածանցյալը։
Ստանում ենք հավասարումը. V=- 3t2 + 18t – 24: Այժմ խնդիրը լուծելու համար մենք կրկին պետք է գտնենք ծայրահեղ կետերը: Դա պետք է արվի նույն կերպ, ինչպես նախորդ առաջադրանքում: Գտեք արագության առաջին ածանցյալը և հավասարեցրեք այն զրոյի։
Ստանում ենք՝ - 6t + 18=0: Հետևաբար t=3 վ: Սա այն ժամանակն է, երբ մարմնի արագությունը կրիտիկական արժեք է ստանում: Ստացված տվյալները փոխարինում ենք արագության հավասարման մեջ և ստանում՝ V=3 մ/վ։
Բայց ինչպե՞ս հասկանալ, որ սա հենց առավելագույն արագությունն է, քանի որ ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը կարող են լինել նրա առավելագույն կամ նվազագույն արժեքները: Ստուգելու համար պետք է երկրորդ գտնելարագության ածանցյալ. Այն արտահայտվում է որպես թիվ 6՝ մինուս նշանով։ Սա նշանակում է, որ գտնված կետը առավելագույնն է: Իսկ երկրորդ ածանցյալի դրական արժեքի դեպքում կլիներ նվազագույնը։ Այսպիսով, գտնված լուծումը ճիշտ է ստացվել։
Որպես օրինակ տրված առաջադրանքները միայն դրանց մի մասն են, որոնք կարելի է լուծել՝ կարողանալով գտնել ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը: Իրականում կան շատ ավելին: Եվ նման գիտելիքն անսահմանափակ հնարավորություններ է բացում մարդկային քաղաքակրթության համար։
