Ինչպես գտնել մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը՝ կանոններ, օրինակներ և առանձնահատկություններ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Ֆունկցիաների և դրանց գրաֆիկների ուսումնասիրությունն այն թեման է, որին հատուկ ուշադրություն է դարձվում ավագ դպրոցի ուսումնական ծրագրի շրջանակներում։ Մաթեմատիկական վերլուծության որոշ հիմունքներ՝ տարբերակում, ներառված են մաթեմատիկայի քննության պրոֆիլային մակարդակում: Որոշ դպրոցականներ այս թեմայի հետ կապված խնդիրներ ունեն, քանի որ շփոթում են ֆունկցիայի և ածանցյալի գրաֆիկները, ինչպես նաև մոռանում են ալգորիթմները։ Այս հոդվածը կներկայացնի առաջադրանքների հիմնական տեսակները և դրանց լուծման ուղիները:

Ի՞նչ է ֆունկցիայի արժեքը:

Մաթեմատիկական ֆունկցիան հատուկ հավասարում է: Այն կապ է հաստատում թվերի միջև: Ֆունկցիան կախված է արգումենտի արժեքից։

Ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկվում է ըստ տրված բանաձեւի. Դա անելու համար x-ի փոխարեն փոխարինեք ցանկացած փաստարկ, որը համապատասխանում է այս բանաձևի վավեր արժեքների միջակայքին և կատարեք անհրաժեշտ մաթեմատիկական գործողություններ: Ի՞նչ:

Ինչպես կարող եք գտնել ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը,Օգտագործո՞ւմ եք գրաֆիկական ֆունկցիա:

Արտումենից ֆունկցիայի կախվածության գրաֆիկական ներկայացումը կոչվում է ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Այն կառուցված է որոշակի միավորի հատված ունեցող հարթության վրա, որտեղ փոփոխականի կամ արգումենտի արժեքը գծագրվում է հորիզոնական աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ համապատասխան ֆունկցիայի արժեքը՝ ուղղահայաց օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Որքան մեծ է արգումենտի արժեքը, այնքան ավելի աջ է այն գտնվում գրաֆիկի վրա: Եվ որքան մեծ է բուն ֆունկցիայի արժեքը, այնքան բարձր է կետը:

Ի՞նչ է սա ասում: Ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը կլինի այն կետը, որն ամենացածրն է գրաֆիկի վրա: Գծապատկերի հատվածում այն գտնելու համար ձեզ անհրաժեշտ է՝

1) Գտեք և նշեք այս հատվածի ծայրերը:

2) Տեսողականորեն որոշեք, թե այս հատվածի որ կետն է ամենացածրը:

3) Ի պատասխան գրեք դրա թվային արժեքը, որը կարող է որոշվել y-առանցքի վրա կետ նախագծելով:

Ծայրահեղ միավորներ ածանցյալ գծապատկերում: Որտե՞ղ նայել:

Սակայն խնդիրներ լուծելիս երբեմն գրաֆիկ է տրվում ոչ թե ֆունկցիայի, այլ դրա ածանցյալի։ Պատահական հիմար սխալ թույլ չտալու համար ավելի լավ է ուշադիր կարդալ պայմանները, քանի որ դա կախված է նրանից, թե որտեղ պետք է փնտրեք ծայրահեղ միավորներ։

Այսպիսով, ածանցյալը ֆունկցիայի ակնթարթային աճի արագությունն է: Ըստ երկրաչափական սահմանման՝ ածանցյալը համապատասխանում է շոշափողի թեքությանը, որն ուղղակիորեն գծված է տվյալ կետին։

Հայտնի է, որ ծայրամասային կետերում շոշափողը զուգահեռ է Օքսի առանցքին։Սա նշանակում է, որ դրա թեքությունը 0 է.

Սրանից կարող ենք եզրակացնել, որ ծայրամասային կետերում ածանցյալը գտնվում է x առանցքի վրա կամ անհետանում է: Բայց բացի այդ, այս կետերում ֆունկցիան փոխում է իր ուղղությունը։ Այսինքն՝ աճի ժամանակաշրջանից հետո այն սկսում է նվազել, և ածանցյալը, համապատասխանաբար, դրականից փոխվում է բացասականի։ Կամ հակառակը։

Եթե ածանցյալը դրականից դառնում է բացասական, սա առավելագույն կետն է: Եթե բացասականից այն դառնում է դրական, ապա նվազագույն միավորը:

Կարևոր է. եթե առաջադրանքում պետք է նշեք նվազագույն կամ առավելագույն կետ, ապա ի պատասխան դուք պետք է գրեք համապատասխան արժեքը աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Բայց եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, ապա նախ անհրաժեշտ է արգումենտի համապատասխան արժեքը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ և հաշվարկել այն։

Ինչպե՞ս գտնել ծայրահեղ կետերը ածանցյալի միջոցով:

Դիտարկված օրինակները հիմնականում վերաբերում են քննության 7-րդ առաջադրանքին, որը ներառում է ածանցյալի կամ հակաածանցյալի գրաֆիկի հետ աշխատանք։ Բայց USE-ի 12-րդ առաջադրանքը՝ գտնել մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը (երբեմն ամենամեծը), կատարվում է առանց որևէ գծագրի և պահանջում է մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հմտություններ:

Այն իրականացնելու համար դուք պետք է կարողանաք գտնել ծայրահեղ կետերը՝ օգտագործելով ածանցյալը: Դրանք գտնելու ալգորիթմը հետևյալն է.

• Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը։
• Սահմանել զրո:
• Գտեք հավասարման արմատները։
• Ստուգեք, արդյոք ստացված կետերը ծայրահեղ կամ թեքության կետեր են:

Դա անելու համար գծեք դիագրամ և շարունակեքՍտացված միջակայքերը որոշում են ածանցյալի նշանները՝ հատվածներին պատկանող թվերը փոխարինելով ածանցյալով: Եթե հավասարումը լուծելիս ստացել եք կրկնակի բազմապատկության արմատներ, ապա դրանք շեղման կետեր են։

Կիրառելով թեորեմները՝ որոշեք, թե որ կետերն են նվազագույն և որոնք՝ առավելագույն։

Հաշվե՛ք ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը՝ օգտագործելով ածանցյալ

Սակայն, կատարելով այս բոլոր գործողությունները, մենք կգտնենք x առանցքի երկայնքով նվազագույն և առավելագույն կետերի արժեքները: Բայց ինչպե՞ս գտնել մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը:

Ի՞նչ է անհրաժեշտ անել որոշակի կետում ֆունկցիային համապատասխանող թիվը գտնելու համար: Դուք պետք է փոխարինեք փաստարկի արժեքը այս բանաձևով:

Նվազագույն և առավելագույն միավորները համապատասխանում են հատվածի ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքին: Այսպիսով, ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիան՝ օգտագործելով ստացված x արժեքները։

Կարևոր! Եթե առաջադրանքը պահանջում է նշել նվազագույն կամ առավելագույն կետ, ապա ի պատասխան դուք պետք է գրեք համապատասխան արժեքը x առանցքի երկայնքով: Բայց եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, ապա նախ պետք է արգումենտի համապատասխան արժեքը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ և կատարել անհրաժեշտ մաթեմատիկական գործողություններ։

Ի՞նչ պետք է անեմ, եթե այս հատվածում ցածր մակարդակ չկա:

Բայց ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը ծայրահեղ կետեր չունեցող հատվածում:

Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան դրա վրա միապաղաղ նվազում կամ մեծանում է։ Այնուհետև դուք պետք է փոխարինեք այս հատվածի ծայրահեղ կետերի արժեքը ֆունկցիայի մեջ: Երկու ճանապարհ կա։

1) Հաշվարկելովածանցյալը և այն միջակայքերը, որոնց վրա այն դրական է կամ բացասական՝ եզրակացնելու, թե ֆունկցիան նվազում է, թե մեծանում տվյալ հատվածում։

Նրանց համապատասխան՝ ֆունկցիայի մեջ փոխարինեք արգումենտի մեծ կամ փոքր արժեքը։

2) Պարզապես փոխարինեք երկու կետերը ֆունկցիայի մեջ և համեմատեք ստացված ֆունկցիայի արժեքները:

Որ առաջադրանքներում ածանցյալը գտնելն ընտրովի է

Որպես կանոն, USE հանձնարարականներում դեռ պետք է գտնել ածանցյալը: Կան միայն մի քանի բացառություններ:

1) պարաբոլա.

Պարաբոլայի գագաթը գտնում ենք բանաձևով։

Եթե < 0 է, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև: Իսկ դրա գագաթնակետը առավելագույն կետն է։

Եթե > 0 է, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, գագաթը նվազագույն կետն է։

Հաշվելով պարաբոլայի գագաթնակետը՝ դուք պետք է դրա արժեքը փոխարինեք ֆունկցիայի մեջ և հաշվեք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը։

2) y ֆունկցիա=tg x: Կամ y=ctg x.

Այս ֆունկցիաները միապաղաղ աճում են։ Հետևաբար, որքան մեծ է փաստարկի արժեքը, այնքան մեծ է բուն ֆունկցիայի արժեքը: Այնուհետև մենք կդիտարկենք, թե ինչպես կարելի է գտնել մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը օրինակներով:

Առաջադրանքների հիմնական տեսակները

Առաջադրանք՝ ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքը: Օրինակ գծապատկերում։

Նկարում տեսնում եք f (x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը [-6; 6]։ Հատվածի որ կետում [-3; 3] f(x)-ը վերցնում է ամենափոքր արժեքը:

Այսպիսով, սկզբի համար դուք պետք է ընտրեք նշված հատվածը: Դրա վրա ֆունկցիան մեկ անգամ վերցնում է զրոյական արժեք և փոխում է իր նշանը՝ սա ծայրահեղ կետն է: Քանի որ բացասականից ածանցյալը դառնում է դրական, դա նշանակում է, որ սա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է։ Այս կետը համապատասխանում է արգումենտի արժեքին 2.

Պատասխան՝ 2.

Շարունակեք դիտել օրինակները: Առաջադրանք՝ գտնել հատվածի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։

Գտեք y=(x - 8) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը ex-7 ինտերվալի վրա [6; 8].

1. Վերցրեք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը։

y' (x)=(x - 8) e^x-7 =(x - 8)' (e^x-7) + (x - 8) (e^x-7)'=1(e^x-7) + (x - 8) (e) x-7^{)=(1 + x - 8) (e}x-7^{)=(x - 7) (e}x-7 ⁾

2. Ստացված ածանցյալը հավասարեցրե՛ք զրոյի և լուծե՛ք հավասարումը։

y' (x)=0

(x - 7) (ex-7)=0

x - 7=0, կամ ex-7=0

x=7; ex-7 ≠ 0, առանց արմատների

3. Ծայրահեղ կետերի արժեքը փոխարինիր ֆունկցիայի մեջ, ինչպես նաև հավասարման ստացված արմատները։

y (6)=(6 - 8) e^6-7=-2e^-1

y (7)=(7 - 8) e^7-7=-1e^{0=-11=- 1}

y (8)=(8 - 8) e^8-7=0e¹⁼⁰

Պատասխան՝ -1.

Այսպիսով, այս հոդվածում դիտարկվեց հիմնական տեսությունը, թե ինչպես կարելի է գտնել մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը, որն անհրաժեշտ է մասնագիտացված մաթեմատիկայի USE առաջադրանքները հաջողությամբ լուծելու համար: Նաև մաթեմատիկական տարրերվերլուծություններն օգտագործվում են քննության C մասից առաջադրանքները լուծելիս, բայց ակնհայտորեն դրանք ներկայացնում են բարդության այլ մակարդակ, և դրանց լուծումների ալգորիթմները դժվար է տեղավորվել մեկ նյութի շրջանակում: