Ինչպես գտնել ֆունկցիայի նվազագույն և առավելագույն միավորները՝ առանձնահատկություններ, մեթոդներ և օրինակներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Ֆունկցիան և դրա առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը ժամանակակից մաթեմատիկայի առանցքային գլուխներից է: Ցանկացած ֆունկցիայի հիմնական բաղադրիչը գրաֆիկներն են, որոնք պատկերում են ոչ միայն դրա հատկությունները, այլև այս ֆունկցիայի ածանցյալի պարամետրերը: Եկեք նայենք այս բարդ թեմային: Այսպիսով, ո՞րն է ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն միավորները գտնելու լավագույն միջոցը:

Ֆունկցիա. Սահմանում

Ցանկացած փոփոխական, որն ինչ-որ կերպ կախված է մեկ այլ արժեքի արժեքներից, կարելի է անվանել ֆունկցիա: Օրինակ, f(x²) ֆունկցիան քառակուսի է և որոշում է x ամբողջ բազմության արժեքները: Ենթադրենք, որ x=9, ապա մեր ֆունկցիայի արժեքը հավասար կլինի 9^2=81.

Ֆունկցիաները լինում են տարբեր տեսակների` տրամաբանական, վեկտորային, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, թվային և այլն: Նրանց ուսումնասիրությամբ զբաղվում էին այնպիսի նշանավոր մտքեր, ինչպիսիք են Լակրուան, Լագրանժը, Լայբնիցը և Բեռնուլին: Նրանց գրվածքները պատվար են ծառայում ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակակից եղանակներին։ Նախքան նվազագույն միավորները գտնելը, շատ կարևոր է հասկանալ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի բուն իմաստը։

Ածանցյալը և նրա դերը

Բոլոր գործառույթները միացված ենկախված դրանց փոփոխական արժեքներից, ինչը նշանակում է, որ նրանք ցանկացած պահի կարող են փոխել իրենց արժեքը: Գրաֆիկի վրա սա կպատկերվի որպես կոր, որը կա՛մ իջնում է, կա՛մ բարձրանում y առանցքի երկայնքով (սա «y» թվերի ամբողջությունն է գրաֆիկի ուղղահայաց երկայնքով): Եվ այսպես, առավելագույնի և մինիմալ ֆունկցիայի կետի սահմանումը կապված է հենց այս «տատանումների» հետ։ Եկեք բացատրենք, թե ինչ է այս հարաբերությունը:

Ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը գծվում է գրաֆիկի վրա, որպեսզի ուսումնասիրվի դրա հիմնական բնութագրերը և հաշվարկվի, թե որքան արագ է փոխվում ֆունկցիան (այսինքն՝ փոխում է իր արժեքը՝ կախված «x» փոփոխականից): Այն պահին, երբ ֆունկցիան մեծանում է, նրա ածանցյալի գրաֆիկը նույնպես կավելանա, բայց ցանկացած վայրկյան ֆունկցիան կարող է սկսել նվազել, իսկ հետո ածանցյալի գրաֆիկը կնվազի։ Այն կետերը, որտեղ ածանցյալը գնում է մինուսից դեպի գումարած, կոչվում են նվազագույն միավորներ: Որպեսզի իմանաք, թե ինչպես գտնել նվազագույն միավորները, դուք պետք է ավելի լավ հասկանաք ածանցյալ հասկացությունը:

Ինչպե՞ս հաշվարկել ածանցյալը:

Ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը և հաշվարկը ենթադրում է մի քանի հասկացություններ դիֆերենցիալ հաշվարկից: Ընդհանուր առմամբ, ածանցյալի սահմանումը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ. սա այն արժեքն է, որը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը։

Այն որոշելու մաթեմատիկական եղանակը շատ ուսանողների համար թվում է բարդ, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է: Պարզապես պետք է հետևելցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ստանդարտ պլան: Հետևյալը նկարագրում է, թե ինչպես կարող եք գտնել ֆունկցիայի նվազագույն կետը՝ առանց տարբերակման կանոնների կիրառման և առանց ածանցյալների աղյուսակը մտապահելու:

1. Դուք կարող եք հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը՝ օգտագործելով գրաֆիկ: Դա անելու համար դուք պետք է պատկերեք ինքնին ֆունկցիան, այնուհետև վերցրեք դրա վրա մեկ կետ (Նկար A կետում): Ուղղահայաց գծեք դեպի աբսցիսայի առանցքը (կետ x_{0), և A կետում գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկական շոշափող: Աբսցիսայի առանցքը և շոշափողը կազմում են անկյուն a. Ֆունկցիայի արագ աճի արժեքը հաշվելու համար պետք է հաշվարկել այս անկյան շոշափողը a.}
2. Պարզվում է, որ շոշափողի և x առանցքի ուղղության անկյան շոշափողը A կետով փոքր տարածքում ֆունկցիայի ածանցյալն է։ Այս մեթոդը համարվում է ածանցյալը որոշելու երկրաչափական եղանակ։.

Ֆունկցիայի հետազոտության մեթոդներ

Մաթեմատիկական դպրոցական ուսումնական ծրագրում ֆունկցիայի նվազագույն կետը հնարավոր է գտնել երկու եղանակով. Մենք արդեն վերլուծել ենք առաջին մեթոդը՝ օգտագործելով գրաֆիկը, բայց ինչպե՞ս որոշել ածանցյալի թվային արժեքը: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է մի քանի բանաձևեր սովորել, որոնք նկարագրում են ածանցյալի հատկությունները և օգնում են «x»-ի նման փոփոխականները վերածել թվերի: Հետևյալ մեթոդը ունիվերսալ է, ուստի այն կարող է կիրառվել գրեթե բոլոր տեսակի ֆունկցիաների համար (և՛ երկրաչափական, և՛ լոգարիթմական):

1. Անհրաժեշտ է ֆունկցիան հավասարեցնել ածանցյալ ֆունկցիային, այնուհետև կանոնների միջոցով պարզեցնել արտահայտությունըտարբերակում.
2. բաժանել զրոյի):
3. Դրանից հետո դուք պետք է ֆունկցիայի սկզբնական ձևը վերածեք պարզ հավասարման՝ ամբողջ արտահայտությունը հավասարեցնելով զրոյի: Օրինակ, եթե ֆունկցիան այսպիսի տեսք ուներ. ^{2 +1. Այնուհետև այս արտահայտությունը փոխակերպում ենք հետևյալ ձևի հավասարման՝ 3x}2^+1=0.
4. Հավասարումը լուծելուց և «x» կետերը գտնելուց հետո պետք է դրանք նկարել x առանցքի վրա և որոշել՝ նշված կետերի միջև եղած այս հատվածներում ածանցյալը դրական է, թե բացասական։ Նշանակումից հետո պարզ կդառնա, թե որ կետում է ֆունկցիան սկսում նվազել, այսինքն՝ նշանը մինուսից փոխում է հակառակը։ Հենց այս կերպ դուք կարող եք գտնել և՛ նվազագույն, և՛ առավելագույն միավորները։

Տարբերակման կանոններ

Ֆունկցիան և դրա ածանցյալը սովորելու ամենահիմնական մասը տարբերակման կանոնների իմացությունն է: Միայն նրանց օգնությամբ է հնարավոր վերափոխել ծանր արտահայտությունները և մեծ բարդ գործառույթները։ Եկեք ծանոթանանք դրանց, դրանք բավականին շատ են, բայց դրանք բոլորն էլ շատ պարզ են և՛ ուժային, և՛ լոգարիթմական ֆունկցիաների կանոնավոր հատկությունների շնորհիվ։

1. Ցանկացած հաստատունի ածանցյալը զրո է (f(x)=0): Այսինքն, f(x)=x⁵+ x - 160 ածանցյալը կունենա հետևյալ ձևը. f' (x)=5x^4+1.
2. Երկու անդամների գումարի ածանցյալը՝ (f+w)'=f'w + fw'։
3. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ. (log_{ad)'=d/ln ad: Այս բանաձևը կիրառվում է բոլոր տեսակի լոգարիթմների համար։}
4. Աստիճանի ածանցյալ՝ (x)'=nx^n-1: Օրինակ՝ (9x^2)'=92x=18x.
5. Սինուսոիդային ֆունկցիայի ածանցյալ՝ (sin a)'=cos a. Եթե a անկյան մեղքը 0,5 է, ապա դրա ածանցյալը √3/2 է։

Էքստրեմում միավոր

Մենք արդեն հասկացել ենք, թե ինչպես կարելի է գտնել նվազագույն միավորները, այնուամենայնիվ, գոյություն ունի ֆունկցիայի առավելագույն միավոր հասկացությունը: Եթե նվազագույնը նշանակում է այն կետերը, որոնցում ֆունկցիան անցնում է մինուսից դեպի գումարած, ապա առավելագույն կետերը այն կետերն են x առանցքի վրա, որոնց դեպքում ֆունկցիայի ածանցյալը պլյուսից փոխվում է հակառակը՝ մինուս:

Դուք կարող եք գտնել առավելագույն միավորները՝ օգտագործելով վերը նկարագրված մեթոդը, միայն պետք է հաշվի առնել, որ դրանք նշանակում են այն տարածքները, որտեղ ֆունկցիան սկսում է նվազել, այսինքն՝ ածանցյալը զրոյից փոքր կլինի։

Մաթեմատիկայում ընդունված է ընդհանրացնել երկու հասկացությունները՝ դրանք փոխարինելով «ծայրահեղ կետեր» արտահայտությամբ։ Երբ առաջադրանքը խնդրում է որոշել այս կետերը, դա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել այս ֆունկցիայի ածանցյալը և գտնել նվազագույն և առավելագույն միավորները։