Պյութագորասի թեորեմ. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսու գումարին

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Յուրաքանչյուր ուսանող գիտի, որ հիպոթենուսի քառակուսին միշտ հավասար է ոտքերի գումարին, որոնցից յուրաքանչյուրը քառակուսի է: Այս պնդումը կոչվում է Պյութագորասի թեորեմ։ Այն եռանկյունաչափության և ընդհանրապես մաթեմատիկայի ամենահայտնի թեորեմներից է։ Դիտարկեք այն ավելի մանրամասն:

Ուղղանկյուն եռանկյունու հայեցակարգ

Նախքան Պյութագորասի թեորեմի քննարկմանը անցնելը, որում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է քառակուսի ոտքերի գումարին, մենք պետք է դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյան հասկացությունը և հատկությունները, որի թեորեմը. վավեր է։

Եռանկյունը հարթ պատկեր է՝ երեք անկյուններով և երեք կողմերով: Ուղղանկյուն եռանկյունը, ինչպես ենթադրում է նրա անունը, ունի մեկ ուղիղ անկյուն, այսինքն՝ այս անկյունը 90o է։

Բոլոր եռանկյունների ընդհանուր հատկություններից հայտնի է, որ այս թվի բոլոր երեք անկյունների գումարը կազմում է 180^o, ինչը նշանակում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան գումարը. երկու անկյուն, որոնք ուղիղ չեն, 180 է ^o -90^o=90^o: Վերջին փաստը նշանակում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ցանկացած անկյուն, որը ուղղանկյուն չէ, միշտ փոքր կլինի 90^o:

Այն կողմը, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց, կոչվում է հիպոթենուզ: Մյուս երկու կողմերը եռանկյան ոտքերն են, դրանք կարող են հավասար լինել միմյանց, կամ կարող են տարբերվել։ Եռանկյունաչափությունից հայտնի է, որ որքան մեծ է կողմի անկյունը եռանկյան մեջ, այնքան մեծ է այս կողմի երկարությունը։ Սա նշանակում է, որ ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսը (պառկած է 90^o անկյան դիմաց) միշտ ավելի մեծ կլինի, քան որևէ ոտք (պառկած է < 90^{o անկյան հակառակ կողմում:).}

Պյութագորասի թեորեմի մաթեմատիկական նշում

Այս թեորեմն ասում է, որ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի գումարին, որոնցից յուրաքանչյուրը նախկինում քառակուսի է: Այս ձևակերպումը մաթեմատիկորեն գրելու համար դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն, որում a, b և c կողմերը համապատասխանաբար երկու ոտքերն են և հիպոթենուսը: Այս դեպքում թեորեմը, որը նշվում է որպես հիպոթենուսի քառակուսի, որը հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին, կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. c²=a 2 ^{+ b} 2^{: Այստեղից կարելի է ձեռք բերել պրակտիկայի համար կարևոր այլ բանաձևեր՝ a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) և c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Նշենք, որ ուղղանկյուն հավասարակողմ եռանկյան դեպքում, այսինքն՝ a=b, ձևակերպումը. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի գումարին, որոնցից յուրաքանչյուրըքառակուսի, մաթեմատիկորեն գրված՝ c²=a² + b²=2a ^{2, որը ենթադրում է հավասարություն՝ c=a√2.}

Պատմական նախապատմություն

Պյութագորասի թեորեմը, որն ասում է, որ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի գումարին, որոնցից յուրաքանչյուրը քառակուսի է, հայտնի է եղել շատ ավելի վաղ, քան հայտնի հույն փիլիսոփայի ուշադրությունը դրան: Հին Եգիպտոսի բազմաթիվ պապիրուսներ, ինչպես նաև բաբելոնացիների կավե սալիկներ հաստատում են, որ այս ժողովուրդներն օգտագործել են ուղղանկյուն եռանկյունի կողմերի ընդգծված հատկությունը։ Օրինակ՝ եգիպտական առաջին բուրգերից մեկը՝ Խաֆրեի բուրգը, որի կառուցումը թվագրվում է մ.թ.ա. 26-րդ դարով (Պյութագորասի կյանքից 2000 տարի առաջ), կառուցվել է 3x4x5 ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի հարաբերակցության իմացության հիման վրա։

Ինչու՞ այդ դեպքում թեորեմն այժմ կոչվում է հունականի անունով: Պատասխանը պարզ է՝ Պյութագորասն առաջինն է, ով մաթեմատիկորեն ապացուցել է այս թեորեմը։ Պահպանված բաբելոնյան և եգիպտական գրությունները միայն նշում են դրա օգտագործումը, բայց չեն տալիս որևէ մաթեմատիկական ապացույց:

Ենթադրվում է, որ Պյութագորասը ապացուցել է դիտարկվող թեորեմը՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունների հատկությունները, որոնք նա ստացել է՝ 90o-ի անկյանց ուղղանկյուն եռանկյան մեջ բարձրություն գծելով։ հիպոթենուզա.

Պյութագորասի թեորեմի օգտագործման օրինակ

Դիտարկենք մի պարզ խնդիր. անհրաժեշտ է որոշել թեք սանդուղքի երկարությունը L, եթե հայտնի է, որ այն ունի H=3 բարձրություն:մետր, իսկ հեռավորությունը պատից, որի վրա հենվում է սանդուղքը մինչև իր ոտքը, P=2,5 մետր է:

Այս դեպքում H և P-ը ոտքերն են, իսկ L-ն հիպոթենուսն է: Քանի որ հիպոթենուզի երկարությունը հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին, մենք ստանում ենք՝ L²=H² + P 2^{, որտեղից L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 մետր կամ 3 մետր և 90,5 սմ:}