Պտտման շարժման մաթեմատիկական նկարագրության մեջ կարևոր է իմանալ առանցքի նկատմամբ համակարգի իներցիայի պահը։ Ընդհանուր դեպքում այս քանակի հայտնաբերման կարգը ներառում է ինտեգրացիոն գործընթացի իրականացում։ Այսպես կոչված Շտայների թեորեմը հեշտացնում է հաշվարկը։ Ավելի մանրամասն քննարկենք հոդվածում։
Ի՞նչ է իներցիայի պահը:
Շտայների թեորեմի ձևակերպումը տալուց առաջ անհրաժեշտ է զբաղվել հենց իներցիայի պահի հայեցակարգով։ Ենթադրենք, կա որոշակի զանգվածի և կամայական ձևի ինչ-որ մարմին: Այս մարմինը կարող է լինել կամ նյութական կետ, կամ ցանկացած երկչափ կամ եռաչափ առարկա (ձող, գլան, գնդիկ և այլն): Եթե տվյալ առարկան ինչ-որ առանցքի շուրջ շրջանաձև շարժում է կատարում α հաստատուն անկյունային արագացումով, ապա կարելի է գրել հետևյալ հավասարումը.
M=Iα
Այստեղ M արժեքը ներկայացնում է ուժերի ընդհանուր մոմենտը, որը α արագացում է տալիս ամբողջ համակարգին: Նրանց միջև համաչափության գործակիցը՝ I, կոչվում էիներցիայի պահ. Այս ֆիզիկական մեծությունը հաշվարկվում է հետևյալ ընդհանուր բանաձևով.
I=∫մ (r2դմ)
Այստեղ r-ն dm զանգված ունեցող տարրի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունն է: Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտ է գտնել r2 քառակուսի հեռավորությունների և dm տարրական զանգվածի արտադրյալների գումարը։ Այսինքն՝ իներցիայի պահը մարմնի մաքուր բնութագիր չէ, որը տարբերում է գծային իներցիայից։ Դա կախված է զանգվածի բաշխվածությունից ամբողջ պտտվող օբյեկտի վրա, ինչպես նաև առանցքի հեռավորությունից և դրա նկատմամբ մարմնի կողմնորոշումից: Օրինակ, ձողը այլ I կունենա, եթե այն պտտվի զանգվածի կենտրոնի և ծայրի շուրջ:
Իներցիայի պահը և Շտայների թեորեմը
Հանրահայտ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Շտայներն ապացուցեց զուգահեռ առանցքների և իներցիայի պահի թեորեմը, որն այժմ կրում է իր անունը։ Այս թեորեմը ենթադրում է, որ կամայական երկրաչափության բացարձակապես ցանկացած կոշտ մարմնի իներցիայի պահը պտտման որևէ առանցքի նկատմամբ հավասար է մարմնի զանգվածի կենտրոնը հատող և առաջինին զուգահեռ իներցիայի պահի գումարին։, և մարմնի զանգվածի արտադրյալը բազմապատկվում է այս առանցքների միջև հեռավորության քառակուսու վրա: Մաթեմատիկորեն այս ձևակերպումը գրված է հետևյալ կերպ՝
IZ=IO + ml2
IZ և IO - իներցիայի պահեր Z առանցքի և դրան զուգահեռ O առանցքի շուրջ, որն անցնում է մարմնի զանգվածի կենտրոնով, l - հեռավորություն Z և O տողերի միջև։
Թեորեմը թույլ է տալիս, իմանալով IO-ի արժեքը, հաշվարկելցանկացած այլ պահ IZ առանցքի շուրջ, որը զուգահեռ է O-ին։
Թեորեմի ապացույց
Շտայների թեորեմի բանաձևը հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել ինքներդ: Դա անելու համար դիտարկեք կամայական մարմին xy հարթության վրա: Թող կոորդինատների ծագումն անցնի այս մարմնի զանգվածի կենտրոնով: Հաշվենք IO իներցիայի պահը, որն անցնում է xy հարթությանը ուղղահայաց սկզբնակետով։ Քանի որ հեռավորությունը մինչև մարմնի ցանկացած կետ արտահայտվում է r=√ (x2 + y2), ապա մենք ստանում ենք ինտեգրալը.
IO=∫մ (r2դմ)=∫ մ ((x2+y2) դմ)
Այժմ առանցքը x-ի առանցքի երկայնքով զուգահեռ l-ով տեղափոխենք, օրինակ, դրական ուղղությամբ, ապա իներցիայի պահի նոր առանցքի հաշվարկը կունենա հետևյալ տեսքը՝
IZ=∫մ((x+l)2+y 2)դմ)
Բարձրացրեք փակագծերի ամբողջ քառակուսին և բաժանեք ինտեգրանդները, ստացվում է.
IZ=∫մ ((x2+l 2+2xl+y2)դմ)=∫մ ((x2 +y2)dm) + 2l∫մ (xdm) + l 2∫մdm
Այս տերմիններից առաջինը IO արժեքն է, երրորդ անդամը, ինտեգրումից հետո, տալիս է l2m տերմինը, իսկ այստեղ երկրորդ անդամը զրո է։ Նշված ինտեգրալի զրոյացումը պայմանավորված է նրանով, որ այն վերցված է x և զանգվածային dm տարրերի արտադրյալից, որըմիջինը տալիս է զրո, քանի որ զանգվածի կենտրոնը սկզբնաղբյուրում է: Արդյունքում ստացվում է Շտայների թեորեմի բանաձևը։
Հարցված դեպքը հարթության վրա կարող է ընդհանրացվել եռաչափ մարմնի վրա:
Ստուգեք Շտայների բանաձևը ձողի օրինակով
Բերենք մի պարզ օրինակ՝ ցույց տալու համար, թե ինչպես օգտագործել վերը նշված թեորեմը:
Հայտնի է, որ L երկարությամբ և m զանգվածով ձողի համար IO (առանցքն անցնում է զանգվածի կենտրոնով) իներցիայի պահը հավասար է m L2 /12, իսկ IZ պահը (առանցքն անցնում է ձողի ծայրով) հավասար է mL 2/3. Ստուգենք այս տվյալները՝ օգտագործելով Շտայների թեորեմը։ Քանի որ երկու առանցքների միջև հեռավորությունը L/2 է, ապա մենք ստանում ենք IZ: պահը
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Այսինքն՝ մենք ստուգեցինք Steiner բանաձևը և ստացանք նույն արժեքը IZ-ի համար, ինչ աղբյուրում։
Նմանատիպ հաշվարկներ կարող են իրականացվել այլ մարմինների համար (գլան, գնդիկ, սկավառակ)՝ ստանալով անհրաժեշտ իներցիայի մոմենտները և առանց ինտեգրման:
Իներցիայի և ուղղահայաց առանցքների պահը
Դիտարկված թեորեմը վերաբերում է զուգահեռ առանցքներին։ Տեղեկատվության ամբողջականության համար օգտակար է նաև թեորեմ տալ ուղղահայաց առանցքների համար: Այն ձևակերպված է հետևյալ կերպ. կամայական ձև ունեցող հարթ օբյեկտի համար իներցիայի մոմենտը նրան ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ հավասար կլինի իներցիայի երկու մոմենտների գումարին երկու փոխադարձ ուղղահայաց և պառկածների շուրջ։առանցքների օբյեկտի հարթությունում, բոլոր երեք առանցքներով անցնում են նույն կետով: Մաթեմատիկորեն սա գրված է հետևյալ կերպ՝
Iz=Ix + Iy
Այստեղ z, x, y պտտման երեք փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներ են:
Այս թեորեմի և Շտայների թեորեմի միջև էական տարբերությունն այն է, որ այն կիրառելի է միայն հարթ (երկչափ) պինդ առարկաների համար: Այնուամենայնիվ, գործնականում այն լայնորեն կիրառվում է՝ մարմինը մտովի կտրելով առանձին շերտերի, ապա ավելացնելով ստացված իներցիայի պահերը։
