Պոլիեդրան նույնիսկ հին ժամանակներում գրավել է մաթեմատիկոսների և գիտնականների ուշադրությունը: Եգիպտացիները կառուցել են բուրգերը: Իսկ հույներն ուսումնասիրել են «կանոնավոր պոլիեդրաները»։ Նրանք երբեմն կոչվում են պլատոնական պինդ մարմիններ: «Ավանդական պոլիեդրաները» բաղկացած են հարթ դեմքերից, ուղիղ եզրերից և գագաթներից։ Բայց հիմնական հարցը միշտ եղել է այն, թե ինչ կանոններ պետք է կատարեն այս առանձին մասերը, ինչպես նաև, թե ինչ լրացուցիչ գլոբալ պայմաններ պետք է պահպանվեն, որպեսզի օբյեկտը որակվի որպես բազմակենտրոն։ Այս հարցի պատասխանը կներկայացնենք հոդվածում։
Խնդիրներ սահմանման մեջ
Ինչի՞ց է բաղկացած այս ցուցանիշը: Բազմանդրոնը փակ պինդ ձև է, որն ունի հարթ դեմքեր և ուղիղ եզրեր: Հետևաբար, դրա սահմանման առաջին խնդիրը կարելի է անվանել հենց գործչի կողմերը: Ինքնաթիռների մեջ ընկած բոլոր դեմքերը միշտ չէ, որ պոլիէդրոնի նշան են: Որպես օրինակ վերցնենք «եռանկյունաձև գլան»: Ինչից է այն բաղկացած: Նրա մակերեսի մի մասը երեք զույգերովհատվող ուղղահայաց հարթությունները չեն կարող համարվել բազմանկյուններ: Պատճառն այն է, որ այն չունի գագաթներ։ Նման գործչի մակերեսը ձևավորվում է երեք ճառագայթների հիման վրա, որոնք միանում են մեկ կետում։
Եվս մեկ խնդիր՝ ինքնաթիռները. «Եռանկյուն գլան»-ի դեպքում այն ընկած է նրանց անսահմանափակ մասերում։ Ֆիգուրը համարվում է ուռուցիկ, եթե բազմության ցանկացած երկու կետ կապող գծային հատվածը նույնպես դրանում է: Ներկայացնենք դրանց կարևոր հատկություններից մեկը. Ուռուցիկ բազմությունների համար այն է, որ բազմության համար ընդհանուր կետերի բազմությունը նույնն է: Կա մեկ այլ տեսակի թվեր. Սրանք ոչ ուռուցիկ 2D բազմանիստ են, որոնք կամ ունեն խազեր կամ անցքեր:
Ձևեր, որոնք բազմանիստ չեն
Կետերի հարթ բազմությունը կարող է տարբեր լինել (օրինակ՝ ոչ ուռուցիկ) և չբավարարել բազմաիդրոնի սովորական սահմանումը։ Անգամ դրա միջոցով այն սահմանափակվում է գծերի հատվածներով։ Ուռուցիկ բազմանկյունի գծերը կազմված են ուռուցիկ պատկերներից։ Այնուամենայնիվ, սահմանման այս մոտեցումը բացառում է անսահմանություն գնացող գործիչը: Դրա օրինակ կարող են լինել երեք ճառագայթներ, որոնք չեն հանդիպում նույն կետում: Բայց միևնույն ժամանակ դրանք կապված են մեկ այլ գործչի գագաթների հետ։ Ավանդաբար, պոլիէդրոնի համար կարևոր էր, որ այն բաղկացած լինի հարթ մակերեսներից: Սակայն ժամանակի ընթացքում հայեցակարգն ընդլայնվեց, ինչը հանգեցրեց զգալի բարելավման՝ ի սկզբանե պոլիէդրայի «ավելի նեղ» դասի ըմբռնման, ինչպես նաև նոր, ավելի լայն սահմանման առաջացման:
Ճիշտ
Ներկայացնենք ևս մեկ սահմանում. Կանոնավոր բազմանկյունը այն մեկն է, որտեղ յուրաքանչյուր դեմք համահունչ կանոնավոր էուռուցիկ բազմանկյուններ, և բոլոր գագաթները «նույնն են»: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր գագաթ ունի նույն թվով կանոնավոր բազմանկյուններ: Օգտագործեք այս սահմանումը. Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել հինգ կանոնավոր պոլիեդրա:
Առաջին քայլերը դեպի Էյլերի թեորեմը պոլիեդրների համար
Հույները գիտեին բազմանկյունի մասին, որն այսօր կոչվում է հնգագիր: Այս բազմանկյունը կարելի է անվանել կանոնավոր, քանի որ նրա բոլոր կողմերն ունեն հավասար երկարություն։ Կա նաև մեկ այլ կարևոր նշում. Երկու հաջորդական կողմերի միջև անկյունը միշտ նույնն է: Այնուամենայնիվ, հարթության մեջ գծվելիս այն չի սահմանում ուռուցիկ բազմություն, և բազմանիստի կողմերը հատվում են միմյանց: Սակայն միշտ չէ, որ այդպես է եղել։ Մաթեմատիկոսները երկար ժամանակ դիտարկել են «ոչ ուռուցիկ» կանոնավոր պոլիեդրների գաղափարը: Պենտագրամը դրանցից մեկն էր։ Թույլատրվել են նաև «աստղային բազմանկյուններ»։ Հայտնաբերվել են «կանոնավոր պոլիեդրների» մի քանի նոր օրինակներ։ Այժմ դրանք կոչվում են Kepler-Poinsot polyedra: Ավելի ուշ G. S. M. Coxeter-ը և Branko Grünbaum-ը ընդլայնեցին կանոնները և հայտնաբերեցին այլ «կանոնավոր պոլիեդրաներ»:
Բազմաթև բանաձև
Այս թվերի համակարգված ուսումնասիրությունը սկսվել է համեմատաբար վաղ մաթեմատիկայի պատմության մեջ: Լեոնհարդ Էյլերն առաջինն էր, ով նկատեց, որ բանաձևը, որը կապում է դրանց գագաթների, երեսների և եզրերի թիվը, գործում է ուռուցիկ 3D բազմաեզրերի համար:
Նա այսպիսի տեսք ունի.
V + F - E=2, որտեղ V-ը բազմանիստ գագաթների թիվն է, F-ը բազմանիստ եզրերի թիվը, իսկ E-ն՝ երեսների թիվը:
Լեոնհարդ Էյլերը շվեյցարացի էմաթեմատիկոս, ով համարվում է բոլոր ժամանակների մեծագույն և ամենաարդյունավետ գիտնականներից մեկը։ Նա իր կյանքի մեծ մասը կույր է եղել, բայց տեսողության կորուստը նրան ավելի արդյունավետ դառնալու պատճառ է տվել։ Նրա անունով կան մի քանի բանաձևեր, և այն մեկը, որը մենք հենց նոր նայեցինք, երբեմն կոչվում է Էյլերի պոլիեդրայի բանաձև:
Կա մեկ պարզաբանում. Էյլերի բանաձևը, սակայն, գործում է միայն պոլիեդրների համար, որոնք հետևում են որոշակի կանոններին: Նրանք կայանում են նրանում, որ ձևը չպետք է ունենա անցք: Եվ անընդունելի է, որ ինքն իրեն խաչ քաշի։ Բազմանդրոնը նույնպես չի կարող կազմված լինել իրար միացված երկու մասից, օրինակ՝ նույն գագաթով երկու խորանարդներից։ Իր հետազոտության արդյունքը Էյլերը նշել է 1750 թվականին Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում։ Ավելի ուշ նա հրապարակեց երկու հոդված, որտեղ նա նկարագրեց, թե ինչպես է փորձել գտնել իր նոր հայտնագործության ապացույցը։ Իրականում կան ձևեր, որոնք այլ պատասխան են տալիս V + F - E-ին։ F + V - E=X գումարի պատասխանը կոչվում է Էյլերի հատկանիշ։ Նա ունի մեկ այլ կողմ. Որոշ ձևեր կարող են նույնիսկ ունենալ Էյլերի հատկանիշ, որը բացասական է
Գրաֆիկի տեսություն
Երբեմն պնդում են, որ Դեկարտը Էյլերի թեորեմն ավելի վաղ է բերել։ Թեև այս գիտնականը բացահայտեց փաստեր եռաչափ պոլիեդրների մասին, որոնք թույլ կտան նրան ստանալ ցանկալի բանաձևը, նա չգնաց այս լրացուցիչ քայլին: Այսօր Էյլերին վերագրվում է գրաֆիկների տեսության «հայրը»: Նա լուծել է Կոնիգսբերգի կամրջի խնդիրը՝ օգտագործելով իր գաղափարները։ Բայց գիտնականը պոլիէդրոնին համատեքստում չնայեցգրաֆիկի տեսություն. Էյլերը փորձեց ապացուցել մի բանաձևի մասին, որը հիմնված է պոլիէդրոնի ավելի պարզ մասերի տարրալուծման վրա։ Այս փորձը չի համապատասխանում ապացուցման ժամանակակից չափանիշներին: Չնայած Էյլերը չի տվել իր բանաձեւի առաջին ճիշտ հիմնավորումը, չի կարելի ապացուցել ենթադրություններ, որոնք չեն արվել: Սակայն արդյունքները, որոնք ավելի ուշ հիմնավորվեցին, հնարավորություն են տալիս օգտագործել Էյլերի թեորեմը նաև ներկայումս։ Առաջին ապացույցը ստացավ մաթեմատիկոս Ադրիան Մարի Լեժանդրը։
Էյլերի բանաձևի ապացույց
Էյլերը առաջին անգամ ձևակերպեց բազմանիստ բանաձևը որպես թեորեմ պոլիէդրների վերաբերյալ: Այսօր այն հաճախ վերաբերվում է կապակցված գրաֆիկների ավելի ընդհանուր համատեքստում: Օրինակ, որպես կառույցներ, որոնք բաղկացած են կետերից և դրանք միացնող գծային հատվածներից, որոնք գտնվում են նույն մասում։ Օգուստին Լուի Քոշին առաջին մարդն էր, ով գտավ այս կարևոր կապը։ Այն ծառայեց որպես Էյլերի թեորեմի ապացույց։ Նա, ըստ էության, նկատեց, որ ուռուցիկ բազմանկյունի (կամ այն, ինչ այսօր կոչվում է այդպիսին) գրաֆիկը տոպոլոգիապես հոմեոմորֆ է ոլորտի նկատմամբ, ունի հարթ միացված գրաֆիկ։ Ինչ է դա? Հարթական գրաֆիկը այն գրաֆիկն է, որը գծված է հարթության վրա այնպես, որ դրա եզրերը հանդիպեն կամ հատվեն միայն գագաթի վրա: Այստեղ է հայտնաբերվել Էյլերի թեորեմի և գրաֆիկների միջև կապը։
Արդյունքի կարևորության վկայությունն այն է, որ Դեյվիդ Էփշտեյնը կարողացավ հավաքել տասնյոթ տարբեր ապացույցներ: Էյլերի բազմանիստ բանաձեւը արդարացնելու բազմաթիվ եղանակներ կան։ Ինչ-որ իմաստով, առավել ակնհայտ ապացույցները մաթեմատիկական ինդուկցիա օգտագործող մեթոդներն են: Արդյունքը կարելի է ապացուցելգծելով այն գրաֆիկի եզրերի, դեմքերի կամ գագաթների թվի երկայնքով:
Rademacher-ի և Toeplitz-ի ապացույց
Հատկապես գրավիչ է Ռադեմախերի և Թոեպլիցի հետևյալ ապացույցը, որը հիմնված է ֆոն Ստաուդտի մոտեցման վրա։ Էյլերի թեորեմը հիմնավորելու համար ենթադրենք, որ G-ն հարթության մեջ ներկառուցված միացված գրաֆիկ է։ Եթե այն ունի սխեմաներ, ապա հնարավոր է դրանցից յուրաքանչյուրից մեկ եզր բացառել այնպես, որ պահպանվի այն հատկությունը, որ այն մնում է միացված։ Առանց փակման միացված գծապատկերին անցնելու համար հեռացված մասերի և անսահման եզրեր չհանդիսացող մասերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն: Այս հետազոտությունը հանգեցրեց «կողմնորոշվող մակերեսների» դասակարգմանը, այսպես կոչված, Էյլերի բնութագրիչի տեսանկյունից:
Հորդանանի կոր. Թեորեմ
Հիմնական թեզը, որն ուղղակիորեն կամ անուղղակիորեն օգտագործվում է Էյլերի թեորեմի պոլիեդրային բանաձևի ապացուցման մեջ գրաֆիկների համար, կախված է Հորդանանի կորից։ Այս գաղափարը կապված է ընդհանրացման հետ։ Այն ասում է, որ ցանկացած պարզ փակ կորը հարթությունը բաժանում է երեք խմբի՝ կետերի վրա, ներսում և դրսում: Քանի որ Էյլերի բազմանիստ բանաձեւի նկատմամբ հետաքրքրությունը զարգացավ XIX դարում, բազմաթիվ փորձեր արվեցին այն ընդհանրացնելու համար։ Այս հետազոտությունը հիմք դրեց հանրահաշվական տոպոլոգիայի զարգացմանը և այն կապեց հանրահաշվի և թվերի տեսության հետ։
Մեբիուս խումբ
Շուտով պարզվեց, որ որոշ մակերեսներ կարող են «կողմնորոշվել» միայն տեղական, այլ ոչ թե գլոբալ: Հայտնի Möbius խումբը ծառայում է որպես այդպիսինմակերեսներ. Այն որոշ ավելի վաղ հայտնաբերել էր Յոհան Լիստինգը: Այս հայեցակարգը ներառում է գրաֆիկի սեռ հասկացությունը՝ նկարագրիչների նվազագույն թիվը g. Այն պետք է ավելացվի գնդիկի մակերեսին, և այն կարելի է դնել երկարացված մակերեսի վրա այնպես, որ եզրերը հանդիպեն միայն գագաթներին։ Պարզվում է, որ ցանկացած կողմնորոշվող մակերես էվկլիդեսյան տարածության մեջ կարելի է համարել որոշակի թվով բռնակներ ունեցող գնդիկ։
Էյլերի դիագրամ
Գիտնականը ևս մեկ հայտնագործություն է արել, որն օգտագործվում է մինչ օրս։ Այս, այսպես կոչված, Էյլերի դիագրամը շրջանակների գրաֆիկական ներկայացում է, որը սովորաբար օգտագործվում է բազմությունների կամ խմբերի միջև հարաբերությունները պատկերելու համար: Գծապատկերները սովորաբար ներառում են գույներ, որոնք միախառնվում են այն տարածքներում, որտեղ շրջանակները համընկնում են: Կոմպլեկտները ներկայացված են հենց շրջանակներով կամ օվալներով, թեև դրանց համար կարող են օգտագործվել նաև այլ գործիչներ: Ներառումը ներկայացված է էլիպսների համընկնմամբ, որը կոչվում է Էյլերի շրջաններ:
Նրանք ներկայացնում են բազմություններ և ենթաբազմություններ: Բացառություն են կազմում չհամընկնող շրջանակները: Էյլերի դիագրամները սերտորեն կապված են այլ գրաֆիկական ներկայացումների հետ: Նրանք հաճախ շփոթված են: Այս գրաֆիկական ներկայացումը կոչվում է Վենի դիագրամներ: Կախված խնդրո առարկա հավաքածուներից, երկու տարբերակները կարող են նույն տեսք ունենալ: Այնուամենայնիվ, Վենի գծապատկերներում համընկնող շրջանակները պարտադիր չէ, որ ցույց տան բազմությունների միջև ընդհանրություն, այլ միայն հնարավոր տրամաբանական հարաբերություններ, եթե դրանց պիտակները նշված չեն.հատվող շրջան. Երկու տարբերակներն էլ ընդունվել են բազմությունների տեսությունը դասավանդելու համար՝ որպես 1960-ականների նոր մաթեմատիկական շարժման մաս:
Ֆերմատի և Էյլերի թեորեմներ
Էյլերը նկատելի հետք է թողել մաթեմատիկական գիտության մեջ։ Հանրահաշվական թվերի տեսությունը հարստացավ նրա անունով թեորեմով։ Դա եւս մեկ կարեւոր բացահայտման հետեւանք է. Սա այսպես կոչված ընդհանուր հանրահաշվական Լագրանժի թեորեմն է։ Էյլերի անունը նույնպես կապված է Ֆերմատի փոքրիկ թեորեմի հետ։ Այն ասում է, որ եթե p-ն պարզ թիվ է, իսկ a-ն ամբողջ թիվ է, որը չի բաժանվում p-ի վրա, ապա՝
ap-1 - 1-ը բաժանվում է p.-ի
Երբեմն նույն հայտնագործությունն այլ անուն ունի, որն առավել հաճախ հանդիպում է արտասահմանյան գրականության մեջ: Այն հնչում է Ֆերմայի Սուրբ Ծննդյան թեորեմի նման: Բանն այն է, որ հայտնագործության մասին հայտնի է դարձել 1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ի նախօրեին ուղարկված գիտնականի նամակի շնորհիվ։ Բայց ինքնին հայտարարությունը նախկինում էլ է հանդիպել։ Այն օգտագործել է մեկ այլ գիտնական՝ Ալբերտ Ժիրար անունով։ Ֆերմատը միայն փորձեց ապացուցել իր տեսությունը: Հեղինակը մեկ այլ նամակում ակնարկում է, որ իրեն ոգեշնչել է անսահման վայրէջքի մեթոդը. Բայց նա ոչ մի ապացույց չներկայացրեց։ Հետագայում Էյդերը նույնպես դիմեց նույն մեթոդին։ Իսկ նրանից հետո շատ այլ հայտնի գիտնականներ, այդ թվում՝ Լագրանժը, Գաուսը և Մինկոսկին։
Ինքնության առանձնահատկությունները
Ֆերմատի փոքրիկ թեորեմը կոչվում է նաև Էյլերի շնորհիվ թվերի տեսությունից թեորեմի հատուկ դեպք: Այս տեսության մեջ Էյլերի ինքնության ֆունկցիան հաշվում է դրական ամբողջ թվերը մինչև տրված n ամբողջ թիվը։ Նրանք coprime ենn. Թվերի տեսության մեջ Էյլերի թեորեմը գրված է հունարեն φ տառով և նման է φ(n): Այն կարող է ավելի պաշտոնական սահմանվել որպես k ամբողջ թվեր 1 ≦ k ≦ n միջակայքում, որոնց համար gcd(n, k) ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1 է: φ(n) նշումը կարելի է անվանել նաև Էյլերի ֆի ֆունկցիա: Այս ձևի k ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են տոտատիվ: Թվերի տեսության հիմքում Էյլերի ինքնության ֆունկցիան բազմապատկիչ է, ինչը նշանակում է, որ եթե m և n երկու թվերը համապարփակ են, ապա φ(mn)=φ(m)φ(n): Այն նաև առանցքային դեր է խաղում RSA կոդավորման համակարգի սահմանման գործում:
Էյլերի ֆունկցիան ներդրվել է 1763 թվականին: Այնուամենայնիվ, այն ժամանակ մաթեմատիկոսը դրա համար որևէ հատուկ նշան չէր ընտրել: 1784 թվականի հրապարակման մեջ Էյլերը ավելի մանրամասն ուսումնասիրեց այս ֆունկցիան և ընտրեց հունարեն π տառը՝ այն ներկայացնելու համար։ Ջեյմս Սիլվեստրը այս հատկանիշի համար ստեղծեց «ընդհանուր» տերմինը: Հետևաբար, այն նաև կոչվում է Էյլերի ընդհանուր գումար: 1-ից մեծ n-ի դրական ամբողջ թվի φ(n)-ը n-ից փոքր դրական ամբողջ թվերի թիվն է, որոնք համեմատաբար պարզ են մինչև n:φ(1) սահմանվում է որպես 1: Էյլերի ֆունկցիան կամ phi(φ) ֆունկցիան է. շատ կարևոր թվերի տեսական ֆունկցիա, որը խորապես կապված է պարզ թվերի և, այսպես կոչված, ամբողջ թվերի կարգի հետ։
