Մաթեմատիկական վիճակագրությունը մեթոդաբանություն է, որը թույլ է տալիս տեղեկացված որոշումներ կայացնել անորոշ պայմանների պայմաններում: Մաթեմատիկայի այս ճյուղն անում է տվյալների հավաքագրման և համակարգման մեթոդների ուսումնասիրությունը, զանգվածային պատահականությամբ փորձերի և փորձերի վերջնական արդյունքները մշակելը և ցանկացած օրինաչափություն հայտնաբերելը: Դիտարկենք մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացությունները:
Հավանականությունների տեսության տարբերություն
Մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդները սերտորեն հատվում են հավանականությունների տեսության հետ: Մաթեմատիկայի երկու ճյուղերն էլ զբաղվում են բազմաթիվ պատահական երևույթների ուսումնասիրությամբ։ Երկու առարկաները կապված են սահմանային թեորեմներով։ Այնուամենայնիվ, այս գիտությունների միջև մեծ տարբերություն կա. Եթե հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկական մոդելի հիման վրա որոշում է գործընթացի բնութագրերը իրական աշխարհում, ապա մաթեմատիկական վիճակագրությունն անում է հակառակը. այն սահմանում է մոդելի հատկությունները.դիտարկված տեղեկատվության հիման վրա։
Քայլեր
Մաթեմատիկական վիճակագրության կիրառումը կարող է իրականացվել միայն պատահական իրադարձությունների կամ գործընթացների, ավելի ճիշտ՝ դրանց դիտարկման արդյունքում ստացված տվյալների հետ կապված։ Եվ դա տեղի է ունենում մի քանի փուլով. Նախ, փորձերի և փորձերի տվյալները ենթարկվում են որոշակի մշակման։ Դրանք պատվիրված են պարզության և վերլուծության հեշտության համար: Այնուհետև կատարվում է դիտարկվող պատահական գործընթացի պահանջվող պարամետրերի ճշգրիտ կամ մոտավոր գնահատում։ Դրանք կարող են լինել՝
- իրադարձության հավանականության գնահատում (նրա հավանականությունն ի սկզբանե անհայտ է);
- ուսումնասիրում է անորոշ բաշխման ֆունկցիայի վարքագիծը;
- ակնկալիքների գնահատում;
- վարիանսի գնահատում
- և այլն:
Երրորդ փուլը վերլուծությունից առաջ դրված ցանկացած վարկածի ստուգումն է, այսինքն՝ ստանալով այն հարցի պատասխանը, թե ինչպես են փորձերի արդյունքները համապատասխանում տեսական հաշվարկներին: Փաստորեն, սա մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական փուլն է։ Օրինակ կարող է լինել դիտարկել, թե արդյոք դիտարկվող պատահական գործընթացի վարքագիծը նորմալ բաշխման սահմաններում է:
Բնակչություն
Մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացությունները ներառում են ընդհանուր և ընտրանքային պոպուլյացիաներ: Այս կարգապահությունը վերաբերում է որոշակի օբյեկտների մի շարք ուսումնասիրությանը որոշ գույքի նկատմամբ: Օրինակ՝ տաքսու վարորդի աշխատանքը։Դիտարկենք այս պատահական փոփոխականները՝
- բեռը կամ հաճախորդների թիվը՝ օրական, ճաշից առաջ, ճաշից հետո, …;
- ճամփորդության միջին ժամանակը;
- մուտքային դիմումների թիվը կամ դրանց կցումը քաղաքային թաղամասերին և շատ ավելին:
Հարկ է նաև նշել, որ հնարավոր է ուսումնասիրել նմանատիպ պատահական գործընթացների մի շարք, որոնք նույնպես կլինեն պատահական փոփոխական, որը կարելի է դիտարկել:
Այսպիսով, մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդներում ուսումնասիրվող օբյեկտների ամբողջությունը կամ տարբեր դիտարկումների արդյունքները, որոնք կատարվում են նույն պայմաններում տվյալ օբյեկտի վրա, կոչվում է ընդհանուր պոպուլյացիա։ Այլ կերպ ասած, մաթեմատիկորեն ավելի խիստ, դա պատահական փոփոխական է, որը սահմանվում է տարրական իրադարձությունների տարածության մեջ՝ դրանում նշանակված ենթաբազմությունների դաս, որոնց տարրերն ունեն հայտնի հավանականություն։։
Ընտրանքի բնակչություն
Լինում են դեպքեր, երբ ինչ-ինչ պատճառներով (ծախս, ժամանակ) անհնար է կամ անիրագործելի է յուրաքանչյուր օբյեկտ ուսումնասիրելու շարունակական ուսումնասիրություն կատարելը։ Օրինակ՝ փակ մուրաբայի յուրաքանչյուր տարա բացելը դրա որակը ստուգելու համար կասկածելի որոշում է, իսկ օդի յուրաքանչյուր մոլեկուլի հետագիծը խորանարդ մետրում գնահատելն անհնար է: Նման դեպքերում կիրառվում է ընտրովի դիտարկման մեթոդը՝ ընդհանուր բնակչության միջից ընտրվում են որոշակի քանակությամբ օբյեկտներ (սովորաբար պատահականորեն), և դրանք ենթարկվում են դրանց վերլուծության։
Այս հասկացությունները սկզբում կարող են բարդ թվալ: Հետևաբար, թեման ամբողջությամբ հասկանալու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել Վ. Է. Գմուրմանի «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» դասագիրքը: Այսպիսով, նմուշառման հավաքածուն կամ նմուշը ընդհանուր հավաքածուից պատահականորեն ընտրված օբյեկտների շարք է: Խիստ մաթեմատիկական առումով սա անկախ, հավասարաչափ բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրի համար բաշխումը համընկնում է ընդհանուր պատահական փոփոխականի համար նշվածի հետ։
Հիմնական հասկացություններ
Եկեք համառոտ դիտարկենք մաթեմատիկական վիճակագրության մի շարք այլ հիմնական հասկացություններ: Ընդհանուր բնակչության կամ նմուշի առարկաների թիվը կոչվում է ծավալ: Փորձարկման ընթացքում ստացված նմուշի արժեքները կոչվում են նմուշի իրականացում: Որպեսզի ընտրանքի վրա հիմնված ընդհանուր բնակչության գնահատումը հուսալի լինի, կարևոր է ունենալ այսպես կոչված ներկայացուցչական կամ ներկայացուցչական ընտրանք: Սա նշանակում է, որ ընտրանքը պետք է ամբողջությամբ ներկայացնի բնակչությանը: Դրան կարելի է հասնել միայն այն դեպքում, եթե պոպուլյացիայի բոլոր տարրերն ունեն ընտրանքում լինելու հավասար հավանականություն:
Նմուշները տարբերակում են վերադարձի և չվերադարձի միջև: Առաջին դեպքում նմուշի բովանդակության մեջ կրկնվող տարրը վերադարձվում է ընդհանուր հավաքածու, երկրորդ դեպքում՝ ոչ։ Սովորաբար գործնականում օգտագործվում է առանց փոխարինման նմուշառում։ Հարկ է նաև նշել, որ ընդհանուր բնակչության թիվը միշտ զգալիորեն գերազանցում է ընտրանքի չափը: Գոյություն ունենալՆմուշառման գործընթացի բազմաթիվ տարբերակներ՝
- պարզ - տարրերը պատահականորեն ընտրվում են մեկ-մեկ;
- typed - ընդհանուր բնակչությունը բաժանված է տեսակների, և յուրաքանչյուրից ընտրություն է կատարվում. Օրինակ՝ բնակիչների հարցումը՝ տղամարդիկ և կանայք առանձին-առանձին;
- մեխանիկական - օրինակ՝ ընտրեք յուրաքանչյուր 10-րդ տարրը;
- սերիալ - ընտրությունը կատարվում է տարրերի շարքով:
Վիճակագրական բաշխում
Ըստ Գմուրմանի՝ հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը չափազանց կարևոր առարկաներ են գիտական աշխարհում, հատկապես դրա գործնական մասում։ Դիտարկենք ընտրանքի վիճակագրական բաշխումը։
Ենթադրենք՝ ունենք մի խումբ սովորողներ, ովքեր ստուգվել են մաթեմատիկայից: Արդյունքում, մենք ունենք գնահատումների մի շարք՝ 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5. սա մեր առաջնային վիճակագրական նյութն է։
Առաջին հերթին մենք պետք է տեսակավորենք այն կամ կատարենք դասակարգման գործողություն՝ 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, և այդպիսով ստանալ փոփոխական շարք: Գնահատումներից յուրաքանչյուրի կրկնությունների թիվը կոչվում է գնահատման հաճախականություն, իսկ դրանց հարաբերակցությունը ընտրանքի չափին` հարաբերական հաճախականություն: Կազմենք նմուշի վիճակագրական բաշխվածության աղյուսակ կամ պարզապես վիճակագրական շարք՝
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
կամ
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Եկեք ունենանք պատահական փոփոխական, որի վրա մենք մի շարք փորձեր կանցկացնենք և կտեսնենք, թե ինչ արժեք է վերցնում այս փոփոխականը: Ենթադրենք, նա վերցրել է a1 - m1 արժեքը; a2 - m2 անգամ և այլն: Այս նմուշի չափը կլինի m1 + … + mk=m: ai բազմությունը, որտեղ i տատանվում է 1-ից k, վիճակագրական շարք է:
միջակայքի բաշխում
Վ. Ե. Գմուրմանի «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» գրքում ներկայացված է նաև ինտերվալային վիճակագրական շարք։ Դրա կազմումը հնարավոր է, երբ ուսումնասիրվող հատկանիշի արժեքը որոշակի ընդմիջումով շարունակական է, իսկ արժեքների քանակը՝ մեծ։ Դիտարկենք ուսանողների մի խումբ, ավելի ճիշտ՝ նրանց հասակը. 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - ընդհանուր 30 աշակերտ: Ակնհայտ է, որ մարդու հասակը շարունակական արժեք է։ Մենք պետք է սահմանենք միջակայքի քայլը: Դրա համար օգտագործվում է Սթարջեսի բանաձևը։
| h= | առավելագույնը - նվազագույն | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2մ | 1+log230 | 5, 9 |
Այսպիսով, 6-ի արժեքը կարող է ընդունվել որպես միջակայքի չափ: Պետք է նաև ասել, որ 1+log2m արժեքը բանաձև է.ինտերվալների քանակի որոշում (իհարկե, կլորացումով): Այսպիսով, ըստ բանաձևերի, ստացվում է 6 միջակայք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 6 չափս: Իսկ սկզբնական միջակայքի առաջին արժեքը կլինի բանաձևով որոշված թիվը՝ min - h / 2=156 - 6/2=153. Կազմենք աղյուսակ, որը կպարունակի միջակայքերը և այն ուսանողների թիվը, որոնց աճը ընկել է որոշակի միջակայքում։
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Իհարկե, սա դեռ ամենը չէ, քանի որ մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ շատ ավելի շատ բանաձևեր կան: Մենք դիտարկել ենք միայն մի քանի հիմնական հասկացություններ:
Բաշխման ժամանակացույց
Մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացությունները ներառում են նաև բաշխման գրաֆիկական ներկայացում, որն առանձնանում է հստակությամբ: Գոյություն ունեն երկու տեսակի գրաֆիկներ՝ բազմանկյուն և հիստոգրամ։ Առաջինն օգտագործվում է դիսկրետ վիճակագրական շարքի համար: Իսկ շարունակական բաշխման համար, համապատասխանաբար, երկրորդը։
