Երկրաչափության մեջ մի կետից հետո ուղիղ գիծը թերևս ամենապարզ տարրն է: Այն օգտագործվում է հարթության վրա և եռաչափ տարածության վրա ցանկացած բարդ ֆիգուրների կառուցման համար: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը և օգտագործելով մի քանի խնդիր: Եկեք սկսենք:
Ուղիղ գիծ երկրաչափության մեջ
Բոլորը գիտեն, որ ուղղանկյուն, եռանկյուն, պրիզմա, խորանարդ և այլն ձևավորվում են ուղիղ գծերը հատելով: Ուղիղ գիծը երկրաչափության մեջ միաչափ օբյեկտ է, որը կարելի է ստանալ՝ որոշակի կետ փոխանցելով նույն կամ հակառակ ուղղություն ունեցող վեկտորին։ Այս սահմանումը ավելի լավ հասկանալու համար պատկերացրեք, որ տարածության մեջ կա P կետ: Վերցրեք կամայական u¯ վեկտոր այս տարածության մեջ: Այնուհետև ուղիղի ցանկացած Q կետ կարելի է ստանալ հետևյալ մաթեմատիկական գործողությունների արդյունքում՝
Q=P + λu¯.
Այստեղ λ-ն կամայական թիվ է, որը կարող է լինել դրական կամ բացասական: Եթե հավասարությունգրեք վերևում կոորդինատներով, այնուհետև մենք ստանում ենք ուղիղ գծի հետևյալ հավասարումը.
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Այս հավասարությունը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարում վեկտորի տեսքով: Իսկ u¯ վեկտորը կոչվում է ուղեցույց:
Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հարթության մեջ
Յուրաքանչյուր ուսանող կարող է գրել այն առանց որևէ դժվարության: Բայց ամենից հաճախ հավասարումը գրվում է այսպես՝
y=kx + b.
Որտեղ k և b կամայական թվեր են: b թիվը կոչվում է ազատ անդամ։ k պարամետրը հավասար է x-ի առանցքի հետ ուղիղ գծի հատումից առաջացած անկյան շոշափմանը։
Վերոնշյալ հավասարումն արտահայտված է y փոփոխականի նկատմամբ: Եթե այն ներկայացնում ենք ավելի ընդհանուր ձևով, ապա ստանում ենք հետևյալ նշումը՝
Ax + By + C=0.
Հեշտ է ցույց տալ, որ հարթության վրա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը գրելու այս ձևը հեշտությամբ փոխակերպվում է նախորդ ձևի: Դա անելու համար ձախ և աջ մասերը պետք է բաժանել B գործակցով և արտահայտել y։
Վերևի նկարը ցույց է տալիս երկու կետով անցնող ուղիղ գիծ:
Տող 3D տարածության մեջ
Շարունակենք մեր ուսումնասիրությունը։ Մենք դիտարկեցինք այն հարցը, թե ինչպես է ընդհանուր ձևով ուղիղ գծի հավասարումը տրված հարթության վրա: Եթե տարածական գործի համար կիրառենք հոդվածի նախորդ պարբերությունում տրված նշումը, ի՞նչ կստանանք։ Ամեն ինչ պարզ է՝ այլևս ոչ թե ուղիղ գիծ, այլ հարթություն։ Իրոք, հետևյալ արտահայտությունը նկարագրում է մի հարթություն, որը զուգահեռ է z-առանցքին՝
Ax + By + C=0.
Եթե C=0, ապա այդպիսի հարթություն է անցնումz առանցքի միջով: Սա կարևոր հատկանիշ է։
Ինչպե՞ս լինել այդ դեպքում տարածության ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման հետ: Հասկանալու համար, թե ինչպես դա հարցնել, պետք է ինչ-որ բան հիշել. Երկու հարթություններ հատվում են որոշակի ուղիղ գծով։ Ինչ է սա նշանակում? Միայն թե ընդհանուր հավասարումը հարթությունների համար երկու հավասարումների համակարգի լուծման արդյունք է։ Եկեք գրենք այս համակարգը՝
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Այս համակարգը տարածության ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է: Նկատի ունեցեք, որ հարթությունները չպետք է լինեն միմյանց զուգահեռ, այսինքն՝ դրանց նորմալ վեկտորները պետք է թեքվեն միմյանց նկատմամբ ինչ-որ անկյան տակ։ Հակառակ դեպքում համակարգը լուծումներ չի ունենա։
Վերևում մենք տվել ենք ուղիղ գծի հավասարման վեկտորի ձևը: Այն հարմար է օգտագործել այս համակարգը լուծելիս: Դա անելու համար նախ պետք է գտնել այս հարթությունների նորմերի վեկտորային արտադրյալը: Այս գործողության արդյունքը կլինի ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը: Այնուհետև պետք է հաշվարկել գծին պատկանող ցանկացած կետ։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է փոփոխականներից որևէ մեկը հավասարեցնել որոշակի արժեքի, մնացած երկու փոփոխականները կարելի է գտնել՝ լուծելով կրճատված համակարգը։
Ինչպե՞ս թարգմանել վեկտորային հավասարումը ընդհանուրի: Նրբություններ
Սա իրական խնդիր է, որը կարող է առաջանալ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը՝ օգտագործելով երկու կետերի հայտնի կոորդինատները:Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է այս խնդիրը լուծվում օրինակով. Թող հայտնի լինեն երկու կետերի կոորդինատները.
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Վեկտորային ձևով հավասարումը բավականին հեշտ է կազմել: Ուղղության վեկտորի կոորդինատներն են՝
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Նշենք, որ տարբերություն չկա, եթե P կետի կոորդինատներից հանենք Q կոորդինատները, ապա վեկտորը միայն կփոխի իր ուղղությունը դեպի հակառակը: Այժմ դուք պետք է վերցնեք ցանկացած կետ և գրեք վեկտորի հավասարումը.
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը գրելու համար λ պարամետրը պետք է արտահայտվի երկու դեպքում էլ։ Եվ հետո համեմատեք արդյունքները: Մենք ունենք՝
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Մնում է բացել փակագծերը և հավասարման բոլոր տերմինները փոխանցել հավասարման մի կողմ՝ երկու հայտնի կետերով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր արտահայտություն ստանալու համար։
Եռաչափ խնդրի դեպքում լուծման ալգորիթմը պահպանվում է, միայն դրա արդյունքը կլինի հարթությունների երկու հավասարումների համակարգ։
Առաջադրանք
Անհրաժեշտ է կազմել ընդհանուր հավասարումուղիղ գիծ, որը հատում է x առանցքը (-3, 0) և զուգահեռ է y առանցքին։
Եկեք սկսենք լուծել խնդիրը՝ գրելով հավասարումը վեկտորային տեսքով։ Քանի որ ուղիղը զուգահեռ է y առանցքին, ապա դրա համար ուղղորդող վեկտորը կլինի հետևյալը՝
u¯=(0, 1).
Այնուհետև ցանկալի տողը կգրվի հետևյալ կերպ.
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Այժմ եկեք այս արտահայտությունը թարգմանենք ընդհանուր ձևի, դրա համար մենք արտահայտում ենք λ: պարամետրը:
- x=-3;
- y=λ.
Այսպիսով, y փոփոխականի ցանկացած արժեք պատկանում է տողին, սակայն դրան համապատասխանում է x փոփոխականի միայն մեկ արժեքը։ Հետևաբար, ընդհանուր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝
x + 3=0.
Խնդիր ուղիղ գծի հետ տարածության մեջ
Հայտնի է, որ երկու հատվող հարթություններ տրվում են հետևյալ հավասարումներով.
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Անհրաժեշտ է գտնել այն ուղիղ գծի վեկտորային հավասարումը, որով հատվում են այս հարթությունները: Եկեք սկսենք։
Ինչպես ասվեց, եռաչափ տարածության մեջ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն արդեն տրված է երեք անհայտներով երկուսի համակարգի տեսքով։ Առաջին հերթին մենք որոշում ենք ուղղության վեկտորը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են: Նորմալների վեկտորային կոորդինատները հարթություններին բազմապատկելով՝ ստանում ենք՝
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Քանի որ վեկտորը բացասական թվով բազմապատկելը փոխում է նրա ուղղությունը, մենք կարող ենք գրել.
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
ԴեպիՈւղիղ գծի վեկտորային արտահայտություն գտնելու համար, բացի ուղղության վեկտորից, պետք է իմանալ այս ուղիղ գծի որոշ կետ: Գտե՛ք, քանի որ դրա կոորդինատները խնդրի պայմաններում պետք է բավարարեն հավասարումների համակարգին, ապա մենք կգտնենք դրանք։ Օրինակ, դնենք x=0, ապա կստանանք՝
y=z;
y=3/2=1, 5.
Այսպիսով, ցանկալի ուղիղ գծին պատկանող կետն ունի կոորդինատները՝
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Այնուհետև մենք ստանում ենք այս խնդրի պատասխանը, ցանկալի տողի վեկտորային հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Լուծման ճիշտությունը կարելի է հեշտությամբ ստուգել։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է ընտրել λ պարամետրի կամայական արժեքը և ուղիղ գծի կետի ստացված կոորդինատները փոխարինել հարթությունների երկու հավասարումների մեջ, երկու դեպքում էլ նույնականություն կստանաք։
