Հաշվե՛ք հարթության և տարածության մեջ ուղիղների անկյունը՝ բանաձև

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Տիպիկ երկրաչափական խնդիր է գծերի միջև անկյունը գտնելը: Հարթության վրա, եթե գծերի հավասարումները հայտնի են, կարելի է դրանք գծել և անկյունը չափել անկյունաչափով։ Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը աշխատատար է և միշտ չէ, որ հնարավոր է: Նշված անկյունը պարզելու համար հարկավոր չէ ուղիղ գծեր գծել, այն կարելի է հաշվարկել։ Այս հոդվածը կպատասխանի, թե ինչպես է դա արվում:

Ուղիղ գիծ և դրա վեկտորային հավասարումը

Ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել որպես վեկտոր, որը սկսվում է -∞-ից և ավարտվում +∞-ով: Այս դեպքում վեկտորն անցնում է տարածության ինչ-որ կետով։ Այսպիսով, բոլոր վեկտորները, որոնք կարելի է գծել ուղիղ գծի ցանկացած երկու կետերի միջև, կլինեն միմյանց զուգահեռ: Այս սահմանումը թույլ է տալիս սահմանել ուղիղ գծի հավասարումը վեկտորի տեսքով՝

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Այստեղ կոորդինատներով վեկտորը (a; b; c) կետով անցնող այս ուղղի ուղեցույցն է (x₀; y_{0; z}0_{):α պարամետրը թույլ է տալիս փոխանցել նշված կետը այս տողի համար ցանկացած այլ կետ: Այս հավասարումը ինտուիտիվ է և հեշտ է աշխատել ինչպես 3D տարածության, այնպես էլ հարթության վրա: Հարթության համար այն չի պարունակի z կոորդինատները և երրորդ ուղղության վեկտորի բաղադրիչը:}

Վեկտորային հավասարման կիրառման շնորհիվ հաշվարկներ կատարելու և ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքն ուսումնասիրելու հարմարավետությունը պայմանավորված է նրանով, որ դրա ուղղորդող վեկտորը հայտնի է։ Դրա կոորդինատներն օգտագործվում են գծերի միջև անկյունը և նրանց միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար:

Ընդհանուր հավասարում հարթության վրա ուղիղ գծի համար

Եկեք հստակորեն գրենք ուղիղ գծի վեկտորային հավասարումը երկչափ գործի համար: Կարծես՝

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

Այժմ հաշվարկում ենք α պարամետրը յուրաքանչյուր հավասարության համար և հավասարում ենք ստացված հավասարումների ճիշտ մասերը՝

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

Բացելով փակագծերը և բոլոր տերմինները փոխանցելով հավասարության մի կողմ՝ ստանում ենք՝

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0, որտեղ A=1/a, B=-1/b, C=y₀/b- x 0_/a

Ստացված արտահայտությունը կոչվում է երկչափ տարածության մեջ տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում (եռաչափում այս հավասարումը համապատասխանում է z-առանցքին զուգահեռ հարթությանը, ոչ թե ուղիղ գծին):

Եթե այս արտահայտության մեջ հստակ գրենք y-ը x-ի միջով, ապա կստանանք հետևյալ ձևը՝ հայտնի.յուրաքանչյուր ուսանող՝

y=kx + p, որտեղ k=-A/B, p=-C/B

Այս գծային հավասարումը եզակիորեն սահմանում է ուղիղ գիծ հարթության վրա: Շատ հեշտ է այն գծել ըստ հայտնի հավասարման, դրա համար հերթով պետք է դնել x=0 և y=0, կոորդինատային համակարգում նշել համապատասխան կետերը և ստացված կետերը միացնող ուղիղ գիծ գծել։

Տողերի միջև անկյան բանաձև

հարթության վրա երկու ուղիղները կարող են կամ հատվել կամ զուգահեռ լինել միմյանց: Տիեզերքում այս տարբերակներին ավելացվում է թեք գծերի առկայության հնարավորությունը։ Այս միաչափ երկրաչափական օբյեկտների հարաբերական դիրքի ինչպիսի տարբերակ էլ որ իրականացվի, նրանց միջև անկյունը միշտ կարող է որոշվել հետևյալ բանաձևով.

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(|v₁ ¯||v_2¯|))

Որտեղ v₁¯ և v_{2¯ ուղեցույց վեկտորներն են համապատասխանաբար 1-ին և 2-րդ տողերի համար: Համարիչը կետային արտադրյալի մոդուլն է՝ բացառելու բութ անկյունները և հաշվի առնելու միայն սուր անկյունները։}

V₁¯ և v_{2¯ վեկտորները կարող են տրվել երկու կամ երեք կոորդինատներով, մինչդեռ φ անկյան բանաձևը. մնում է անփոփոխ։}

Ուղիղների զուգահեռություն և ուղղահայացություն

Եթե վերը նշված բանաձևով հաշվարկված 2 տողերի միջև անկյունը 0o է, ապա դրանք համարվում են զուգահեռ: Որոշելու համար, թե արդյոք գծերը զուգահեռ են, թե ոչ, դուք չեք կարող հաշվարկել անկյունըφ, բավական է ցույց տալ, որ մի ուղղության վեկտորը կարող է ներկայացվել մեկ այլ տողի նմանատիպ վեկտորի միջոցով, այսինքն՝

v₁¯=qv_2¯

Ահա q-ն իրական թիվ է:

Եթե տողերի հավասարումները տրված են հետևյալ կերպ՝

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_{2, 2}

ապա դրանք զուգահեռ կլինեն միայն այն դեպքում, երբ x-ի գործակիցները հավասար են, այսինքն՝

k₁=k₂

Այս փաստը կարելի է ապացուցել, եթե նկատի ունենանք, թե ինչպես է k գործակիցը արտահայտվում ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատներով։

Եթե ուղիղների միջև հատման անկյունը 90^o է, ապա դրանք կոչվում են ուղղահայաց: Գծերի ուղղահայացությունը որոշելու համար անհրաժեշտ չէ նաև հաշվարկել φ անկյունը, դրա համար բավական է հաշվել միայն v₁¯ և v վեկտորների սկալյար արտադրյալը: 2_{¯. Այն պետք է լինի զրո:}

Տիեզերքում ուղիղ գծերի հատման դեպքում կարող է օգտագործվել նաև φ անկյան բանաձևը։ Այս դեպքում արդյունքը պետք է ճիշտ մեկնաբանվի։ Հաշվարկված φ-ը ցույց է տալիս այն ուղիղների ուղղության վեկտորների միջև անկյունը, որոնք չեն հատվում և զուգահեռ չեն:

Առաջադրանք 1. Ուղղահայաց գծեր

Հայտնի է, որ ուղիղների հավասարումները ունեն ձև՝.

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

Անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք այս տողերըուղղահայաց։

Ինչպես նշվեց վերևում, հարցին պատասխանելու համար բավական է հաշվարկել ուղեցույցների վեկտորների սկալյար արտադրյալը, որոնք համապատասխանում են (1; 2) և (-4; 2) կոորդինատներին: Մենք ունենք՝

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

Քանի որ ստացանք 0, սա նշանակում է, որ դիտարկվող ուղիղները հատվում են ուղիղ անկյան տակ, այսինքն՝ ուղղահայաց են։

Առաջադրանք 2. Գծի հատման անկյուն

Հայտնի է, որ ուղիղ գծերի երկու հավասարումներ ունեն հետևյալ ձևը՝

y=2x - 1;

y=-x + 3

Անհրաժեշտ է գտնել տողերի միջև եղած անկյունը։

Քանի որ x-ի գործակիցները տարբեր արժեքներ ունեն, այս ուղիղները զուգահեռ չեն: Նրանց հատման ժամանակ ձևավորվող անկյունը գտնելու համար մենք հավասարումներից յուրաքանչյուրը թարգմանում ենք վեկտորի ձևի։

Առաջին տողի համար մենք ստանում ենք՝

(x; y)=(x; 2x - 1)

Հավասարման աջ կողմում մենք ստացանք վեկտոր, որի կոորդինատները կախված են x-ից: Ներկայացնենք այն որպես երկու վեկտորի գումար, և առաջինի կոորդինատները կպարունակեն x փոփոխականը, իսկ երկրորդի կոորդինատները կազմված կլինեն բացառապես թվերից՝

(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)

Քանի որ x-ն ընդունում է կամայական արժեքներ, այն կարող է փոխարինվել α պարամետրով: Առաջին տողի վեկտորային հավասարումը դառնում է՝

(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)

Գծի երկրորդ հավասարման հետ կատարում ենք նույն գործողությունները, ստանում ենք՝

(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>

(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)

Մենք վերաշարադրեցինք սկզբնական հավասարումները վեկտորային տեսքով: Այժմ կարող եք օգտագործել հատման անկյան բանաձևը՝ դրանում փոխարինելով ուղիղների ուղղորդող վեկտորների կոորդինատները՝

(1; 2)(1; -1)=-1;

|(1; 2)|=√5;

|(1; -1)|=√2;

φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o

Այսպիսով, քննարկվող գծերը հատվում են 71,565o կամ 1,249 ռադիանի անկյան տակ:

Այս խնդիրը կարող էր այլ կերպ լուծվել։ Դա անելու համար անհրաժեշտ էր յուրաքանչյուր ուղիղ գծից վերցնել երկու կամայական կետ, կազմել դրանցից ուղիղ վեկտորներ, այնուհետև օգտագործել φ: բանաձևը: