Վեկտորը կարևոր երկրաչափական օբյեկտ է, որն իր հատկությունների օգնությամբ հարմար է հարթության վրա և տարածության մեջ լուծել բազմաթիվ խնդիրներ։ Այս հոդվածում մենք կսահմանենք այն, կքննարկենք դրա հիմնական բնութագրերը և նաև ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է տարածության մեջ վեկտորը օգտագործել հարթությունները սահմանելու համար:
Ինչ է վեկտորը. երկչափ դեպք
Առաջին հերթին պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ օբյեկտի մասին է խոսքը։ Երկրաչափության մեջ ուղղորդված հատվածը կոչվում է վեկտոր: Ինչպես ցանկացած հատված, այն բնութագրվում է երկու հիմնական տարրով՝ սկզբի և վերջի կետերով: Այս կետերի կոորդինատները եզակիորեն որոշում են վեկտորի բոլոր բնութագրերը:
Դիտարկենք հարթության վրա վեկտորի օրինակ: Դա անելու համար մենք գծում ենք երկու միմյանց ուղղահայաց առանցք x և y: Նշենք P(x, y) կամայական կետ: Եթե այս կետը միացնենք սկզբնակետին (կետ O), այնուհետև նշենք դեպի P ուղղությունը, ապա կստանանք OP¯ վեկտորը (հետագայում հոդվածում նշանի վրայի բարը ցույց է տալիս, որ մենք դիտարկում ենք վեկտոր): Ինքնաթիռի վրա վեկտորային գծագիրը ներկայացված է ստորև։
Այստեղ ցուցադրված է նաև մեկ այլ AB¯ վեկտոր, և դուք կարող եք տեսնել, որ նրա բնութագրերը ճիշտ նույնն են, ինչ OP¯-ն, բայց այն գտնվում է կոորդինատային համակարգի այլ մասում: Զուգահեռ թարգմանությամբ OP¯ կարող եք ստանալ նույն հատկություններով անսահման թվով վեկտորներ:
Վեկտոր տիեզերքում
Բոլոր իրական առարկաները, որոնք շրջապատում են մեզ, գտնվում են եռաչափ տարածության մեջ: Եռաչափ պատկերների երկրաչափական հատկությունների ուսումնասիրությունը վերաբերում է ստերեոմետրիային, որը գործում է եռաչափ վեկտորների հայեցակարգով։ Նրանք տարբերվում են երկչափից միայն նրանով, որ դրանց նկարագրությունը պահանջում է լրացուցիչ կոորդինատ, որը չափվում է երրորդ ուղղահայաց x և y առանցքի երկայնքով:
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս վեկտորը տարածության մեջ: Յուրաքանչյուր առանցքի երկայնքով նրա վերջի կոորդինատները նշվում են գունավոր հատվածներով: Վեկտորի սկիզբը գտնվում է բոլոր երեք կոորդինատային առանցքների հատման կետում, այսինքն՝ ունի կոորդինատներ (0; 0; 0):
Քանի որ հարթության վրա վեկտորը տարածականորեն ուղղված հատվածի հատուկ դեպք է, հոդվածում մենք կդիտարկենք միայն եռաչափ վեկտորը:
Վեկտորային կոորդինատներ՝ հիմնված դրա սկզբի և վերջի հայտնի կոորդինատների վրա
Ենթադրենք, որ կա երկու միավոր P (x1; y1; z1) և Q(x2; y2; z2): Ինչպես որոշել PQ վեկտորի կոորդինատները: Նախ պետք է պայմանավորվել, թե կետերից որն է լինելու վեկտորի սկիզբը, որը՝ վերջը։ Մաթեմատիկայում ընդունված է խնդրո առարկա առարկան գրել իր ուղղությամբ, այսինքն՝ P-ն սկիզբն է, Q.- վերջ. Երկրորդ, վեկտորի PQ¯ կոորդինատները հաշվարկվում են որպես վերջի և սկզբի համապատասխան կոորդինատների տարբերություն, այսինքն՝
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Նշեք, որ փոխելով վեկտորի ուղղությունը, նրա կոորդինատները կփոխեն նշանը հետևյալ կերպ.
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Սա նշանակում է PQ¯=-QP¯.
Կարևոր է ևս մեկ բան հասկանալ. Վերևում ասվեց, որ հարթության մեջ կան անսահման թվով վեկտորներ, որոնք հավասար են տրվածին։ Այս փաստը գործում է նաև տարածական գործի համար։ Իրականում, երբ մենք հաշվարկեցինք PQ¯-ի կոորդինատները վերը նշված օրինակում, մենք իրականացրեցինք այս վեկտորի զուգահեռ թարգմանության գործողությունը այնպես, որ դրա ծագումը համընկավ սկզբնաղբյուրի հետ: Վեկտորը PQ¯ կարող է գծվել որպես ուղղորդված հատված սկզբից մինչև M կետ ((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Վեկտորի հատկություններ
Ինչպես ցանկացած երկրաչափական օբյեկտ, վեկտորն ունի որոշ բնորոշ հատկանիշներ, որոնք կարող են օգտագործվել խնդիրներ լուծելու համար: Համառոտ թվարկենք դրանք։
Վեկտորային մոդուլը ուղղորդված հատվածի երկարությունն է: Իմանալով կոորդինատները՝ հեշտ է հաշվարկել այն։ Վերոհիշյալ օրինակում PQ¯ վեկտորի համար մոդուլը հետևյալն է՝
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Վեկտորային մոդուլը միացված էհարթությունը հաշվարկվում է նմանատիպ բանաձևով՝ միայն առանց երրորդ կոորդինատի մասնակցության։
Վեկտորների գումարը և տարբերությունը կատարվում է ըստ եռանկյունու կանոնի։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է գումարել և հանել այս օբյեկտները:
Գումարի վեկտորը ստանալու համար ավելացրեք երկրորդի սկիզբը առաջին վեկտորի վերջին: Ցանկալի վեկտորը կսկսվի առաջինի սկզբից և կավարտվի երկրորդ վեկտորի վերջում:
Տարբերությունը կատարվում է հաշվի առնելով այն փաստը, որ հանված վեկտորը փոխարինվում է հակառակով, այնուհետև կատարվում է վերը նկարագրված գումարման գործողությունը։
Բացի գումարում և հանում, կարևոր է նաև կարողանալ վեկտորը բազմապատկել թվով: Եթե թիվը հավասար է k-ի, ապա ստացվում է վեկտոր, որի մոդուլը k անգամ տարբերվում է սկզբնականից, և ուղղությունը կամ նույնն է (k>0) կամ հակառակ սկզբնականին (k<0):
Սահմանված է նաև վեկտորների միմյանց միջև բազմապատկման գործողությունը։ Հոդվածում դրա համար առանձին պարբերություն կառանձնացնենք։
Սկալարային և վեկտորային բազմապատկում
Ենթադրենք կա երկու վեկտոր u¯(x1; y1; z1) և v¯(x2; y2; z2): Վեկտոր առ վեկտոր կարելի է բազմապատկել երկու տարբեր եղանակներով.
- Սկալար. Այս դեպքում արդյունքը մի թիվ է։
- Վեկտոր. Արդյունքը որոշ նոր վեկտոր է:
U¯ և v¯ վեկտորների սկալյար արտադրյալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Որտեղ α-ն անկյունն է տրված վեկտորների միջև։
Կարելի է ցույց տալ, որ իմանալով u¯ և v¯ կոորդինատները, դրանց կետային արտադրյալը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Սկալյար արտադրյալը հարմար է օգտագործել վեկտորը երկու ուղղահայաց ուղղված հատվածների բաժանելիս: Այն նաև օգտագործվում է վեկտորների զուգահեռությունը կամ ուղղանկյունությունը և նրանց միջև անկյունը հաշվարկելու համար։
U¯ և v¯ խաչաձև արտադրյալը տալիս է նոր վեկտոր, որն ուղղահայաց է սկզբնականներին և ունի մոդուլ.
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Նոր վեկտորի ներքև կամ վեր ուղղությունը որոշվում է աջ ձեռքի կանոնով (աջ ձեռքի չորս մատները ուղղված են առաջին վեկտորի վերջից մինչև երկրորդի վերջը, իսկ բթամատը կպչում է վերև ցույց է տալիս նոր վեկտորի ուղղությունը): Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս կամայական a¯ և b¯ խաչաձև արտադրյալի արդյունքը:
Խաչ արտադրյալն օգտագործվում է թվերի մակերեսները հաշվարկելու, ինչպես նաև տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատները որոշելու համար։
Վեկտորները և դրանց հատկությունները հարմար են օգտագործել հարթության հավասարումը սահմանելիս:
հարթության նորմալ և ընդհանուր հավասարում
Ինքնաթիռը սահմանելու մի քանի եղանակ կա: Դրանցից մեկը հարթության ընդհանուր հավասարման ածանցումն է, որն ուղղակիորեն բխում է նրան ուղղահայաց վեկտորի և հարթությանը պատկանող որոշ հայտնի կետի իմացությունից։
Ենթադրենք, որ կա n¯ (A; B; C) վեկտոր և P կետ (x0; y0; z 0): Ո՞ր պայմանը կբավարարի հարթության բոլոր Q(x; y; z) կետերը: Այս պայմանը բաղկացած է ցանկացած PQ վեկտորի ուղղահայացությունից դեպի նորմալ n¯: Երկու ուղղահայաց վեկտորների համար կետային արտադրյալը դառնում է զրո (cos(90o)=0), գրեք սա՝
(n¯PQ¯)=0 կամ
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք՝
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 կամ
Ax + By + Cz +D=0 որտեղ D=-Ax0-By0-Cz0.
Այս հավասարումը կոչվում է ընդհանուր հարթության համար: Մենք տեսնում ենք, որ x-ի, y-ի և z-ի դիմաց գործակիցները n¯ ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատներն են: Այն կոչվում է ինքնաթիռի ուղեցույց:
հարթության վեկտորային պարամետրային հավասարում
Ինքնաթիռը սահմանելու երկրորդ եղանակը դրա մեջ ընկած երկու վեկտորների օգտագործումն է:
Ենթադրենք, որ կան u¯ վեկտորներ (x1; y1; z1) և v¯(x2; y2; z2): Ինչպես ասվեց, նրանցից յուրաքանչյուրը տարածության մեջ կարող է ներկայացվել անսահման թվով միանման ուղղորդված հատվածներով, հետևաբար ևս մեկ կետ է անհրաժեշտ հարթությունը եզակիորեն որոշելու համար։ Թող այս կետը լինի P(x0;y0; z0): Ցանկացած Q(x; y; z) կետ կլինի ցանկալի հարթությունում, եթե PQ¯ վեկտորը կարող է ներկայացվել որպես u¯ և v¯ համակցություն: Այսինքն՝ մենք ունենք՝
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Որտեղ α և β որոշ իրական թվեր են: Այս հավասարությունից հետևում էարտահայտությունը.
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Այն կոչվում է հարթության պարամետրային վեկտորային հավասարում 2 վեկտորների նկատմամբ u¯ և v¯: Փոխարինելով α և β կամայական պարամետրերը՝ կարելի է գտնել այս հարթությանը պատկանող բոլոր կետերը (x; y; z):
Այս հավասարումից հեշտ է ստանալ հարթության ընդհանուր արտահայտությունը: Դա անելու համար բավական է գտնել n¯ ուղղության վեկտորը, որը ուղղահայաց կլինի երկու վեկտորներին u¯ և v¯, այսինքն՝ պետք է կիրառվի դրանց վեկտորային արտադրյալը:
հարթության ընդհանուր հավասարման որոշման խնդիրը
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես օգտագործել վերը նշված բանաձևերը երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար: Ենթադրենք, հարթության ուղղության վեկտորը n¯ (5; -3; 1): Դուք պետք է գտնեք հարթության հավասարումը, իմանալով, որ P(2; 0; 0) կետը պատկանում է դրան:
Ընդհանուր հավասարումը գրված է այսպես.
Ax + By + Cz +D=0.
Քանի որ ինքնաթիռին ուղղահայաց վեկտորը հայտնի է, հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝
5x - 3y + z +D=0.
Մնում է գտնել D ազատ տերմինը: Մենք այն հաշվում ենք P: կոորդինատների իմացությունից:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Այսպիսով, հարթության ցանկալի հավասարումն ունի ձև՝
5x - 3y + z -10=0.
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի ստացված հարթությունը:
Կետերի նշված կոորդինատները համապատասխանում են հարթության խաչմերուկներին x, y և z առանցքներով:
հարթությունը երկու վեկտորի և կետի միջոցով որոշելու խնդիրը
Հիմա ենթադրենք, որ նախորդ հարթությունը այլ կերպ է սահմանվում: Հայտնի են երկու վեկտորներ u¯(-2; 0; 10) և v¯(-2; -10/3; 0), ինչպես նաև P(2; 0; 0) կետը: Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարումը վեկտորային պարամետրային ձևով: Օգտագործելով դիտարկված համապատասխան բանաձևը, մենք ստանում ենք՝
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Նշեք, որ հարթության այս հավասարման սահմանումները, u¯ և v¯ վեկտորները կարելի է ընդունել բացարձակապես ցանկացած, բայց մեկ պայմանով. դրանք չպետք է զուգահեռ լինեն: Հակառակ դեպքում, հարթությունը չի կարող եզակիորեն որոշվել, այնուամենայնիվ, կարելի է գտնել ճառագայթի կամ հարթությունների մի շարք հավասարումներ:
