Մատրիցը մաթեմատիկայի հատուկ օբյեկտ է: Այն պատկերված է ուղղանկյուն կամ քառակուսի աղյուսակի տեսքով՝ կազմված որոշակի թվով տողերից և սյուներից։ Մաթեմատիկայի մեջ կա մատրիցների տեսակների լայն տեսականի, որոնք տարբերվում են չափերով կամ բովանդակությամբ: Նրա տողերի և սյունակների համարները կոչվում են պատվերներ։ Այս առարկաները օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ՝ գծային հավասարումների համակարգերի շարադրումը կազմակերպելու և դրանց արդյունքների հարմար որոնման համար։ Մատրիցով հավասարումները լուծվում են Կառլ Գաուսի, Գաբրիել Կրամերի մեթոդի, փոքրերի և հանրահաշվական գումարումների և շատ այլ եղանակների միջոցով: Մատրիցների հետ աշխատելու հիմնական հմտությունը դրանք ստանդարտ ձևի բերելն է: Այնուամենայնիվ, նախ եկեք պարզենք, թե մաթեմատիկոսների կողմից տարբերվում են մատրիցների տեսակները:
Անթերի տեսակ
Այս տեսակի մատրիցայի բոլոր բաղադրիչները զրո են: Մինչդեռ նրա տողերի և սյունակների թիվը բոլորովին այլ է։
Քառակուսի տեսակ
Այս տեսակի մատրիցայի սյունակների և տողերի թիվը նույնն է: Այսինքն՝ «քառակուսի» ձևի սեղան է։ Նրա սյունակների (կամ տողերի) թիվը կոչվում է կարգ։ Հատուկ դեպքեր են երկրորդ կարգի մատրիցայի առկայությունը (մատրիցան 2x2), չորրորդ կարգի (4x4), տասներորդ (10x10), տասնյոթերորդ (17x17) և այլն:
Սյունակի վեկտոր
Սա մատրիցների ամենապարզ տեսակներից մեկն է, որը պարունակում է միայն մեկ սյունակ, որը ներառում է երեք թվային արժեք: Այն ներկայացնում է մի շարք ազատ անդամներ (փոփոխականներից անկախ թվեր) գծային հավասարումների համակարգերում:
Տողի վեկտոր
Դիտել նախորդի նման: Բաղկացած է երեք թվային տարրերից, որոնք իրենց հերթին կազմակերպված են մեկ տողում։
անկյունագծային տեսակ
Միայն հիմնական անկյունագծի բաղադրիչները (ընդգծված կանաչով) թվային արժեքներ են ընդունում մատրիցայի անկյունագծային տեսքով: Հիմնական անկյունագիծը սկսվում է վերին ձախ անկյունում գտնվող տարրից և համապատասխանաբար ավարտվում է ներքևի աջ մասի տարրով: Մնացած բաղադրիչները զրո են: Շեղանկյուն տիպը միայն ինչ-որ կարգի քառակուսի մատրիցա է: Շեղանկյուն ձևի մատրիցներից կարելի է առանձնացնել սկալյարը։ Նրա բոլոր բաղադրիչներն ունեն նույն արժեքները։
Ինքնության մատրիցա
Ա անկյունագծային մատրիցայի ենթատեսակ: Նրա բոլոր թվային արժեքները միավորներ են: Օգտագործելով մեկ տեսակի մատրիցային աղյուսակներ, կատարեք դրա հիմնական փոխակերպումները կամ գտեք սկզբնականի հակադարձ մատրիցը:
Կանոնական տեսակ
Մատրիցայի կանոնական ձևը համարվում է հիմնականներից մեկը. դրա վրա ձուլումը հաճախ անհրաժեշտ է աշխատելու համար: Կանոնական մատրիցայում տողերի և սյունակների թիվը տարբեր է, այն պարտադիր չէ, որ պատկանի քառակուսի տիպին: Այն ինչ-որ չափով նման է նույնականացման մատրիցին, սակայն, դրա դեպքում, հիմնական անկյունագծային ոչ բոլոր բաղադրիչներն են ստանում մեկին հավասար արժեք: Կարող են լինել երկու կամ չորս հիմնական անկյունագծային միավորներ (ամեն ինչ կախված է մատրիցայի երկարությունից և լայնությունից): Կամ կարող է ընդհանրապես միավորներ չլինեն (այդ դեպքում այն համարվում է զրո): Կանոնական տիպի մնացած բաղադրիչները, ինչպես նաև շեղանկյունի և նույնականության տարրերը հավասար են զրոյի։
Եռանկյունի տեսակ
Մատրիցայի ամենակարևոր տեսակներից մեկը, որն օգտագործվում է դրա որոշիչ փնտրելիս և պարզ գործողություններ կատարելիս: Եռանկյուն տիպը գալիս է անկյունագծային տիպից, ուստի մատրիցը նույնպես քառակուսի է: Մատրիցայի եռանկյուն տեսքը բաժանված է վերին եռանկյունի և ստորին եռանկյունի:
Վերին եռանկյունի մատրիցում (նկ. 1) միայն այն տարրերը, որոնք գտնվում են հիմնական անկյունագծից բարձր, ստանում են զրոյի հավասար արժեք: Անկյունագծի բաղադրիչները և դրա տակ գտնվող մատրիցայի մասը պարունակում են թվային արժեքներ։
Ստորին եռանկյուն մատրիցում (նկ. 2), ընդհակառակը, մատրիցայի ստորին մասում տեղակայված տարրերը հավասար են զրոյի։
Քայլի մատրիցա
Տեսքն անհրաժեշտ է մատրիցայի աստիճանը գտնելու, ինչպես նաև դրանց վրա տարրական գործողությունների համար (եռանկյուն տիպի հետ միասին): Քայլերի մատրիցն այդպես է կոչվում, քանի որ այն պարունակում է զրոների բնորոշ «քայլեր» (ինչպես ցույց է տրված նկարում): Աստիճանային տիպում ձևավորվում է զրոների անկյունագիծ (պարտադիր չէ, որ հիմնականը), և այս անկյունագծի տակ գտնվող բոլոր տարրերը նույնպես ունեն զրոյի հավասար արժեքներ: Նախապայման է հետևյալը. եթե քայլի մատրիցայում կա զրոյական տող, ապա դրա տակ մնացած տողերը նույնպես թվային արժեքներ չեն պարունակում։
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք դրանց հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ մատրիցների ամենակարևոր տեսակները: Հիմա եկեք զբաղվենք մատրիցը պահանջվող ձևի վերածելու առաջադրանքով:
Նվազեցնել եռանկյունաձևի
Ինչպե՞ս մատրիցան բերել եռանկյունաձև ձևի: Ամենից հաճախ հանձնարարություններում անհրաժեշտ է մատրիցը վերածել եռանկյունաձև ձևի, որպեսզի գտնես դրա որոշիչը, որը այլ կերպ կոչվում է որոշիչ: Այս ընթացակարգը կատարելիս չափազանց կարևոր է «պահպանել» մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը, քանի որ եռանկյուն մատրիցայի որոշիչը հենց դրա հիմնական անկյունագծի բաղադրիչների արտադրանքն է: Հիշեցնեմ նաև որոշիչը գտնելու այլընտրանքային մեթոդները։ Քառակուսի տիպի որոշիչը հայտնաբերվում է հատուկ բանաձևերի միջոցով: Օրինակ, կարող եք օգտագործել եռանկյունու մեթոդը: Այլ մատրիցների համար օգտագործվում է տողով, սյունակով կամ դրանց տարրերով տարրալուծման մեթոդը։ Կարող եք նաև կիրառել մատրիցի փոքրերի և հանրահաշվական լրացումների մեթոդը։
ՄանրամասներԵկեք վերլուծենք մատրիցը եռանկյունաձև ձևի բերելու գործընթացը՝ օգտագործելով որոշ առաջադրանքների օրինակներ:
Առաջադրանք 1
Անհրաժեշտ է գտնել ներկայացված մատրիցայի որոշիչը՝ օգտագործելով այն եռանկյունաձև ձևի բերելու մեթոդը։
Մեզ տրված մատրիցը երրորդ կարգի քառակուսի մատրից է: Հետևաբար, այն եռանկյունաձև ձևի վերածելու համար մենք պետք է չեղյալ համարենք առաջին սյունակի երկու բաղադրիչը և երկրորդի մեկ բաղադրիչը։
Եռանկյունի տեսքի բերելու համար փոխակերպումը սկսեք մատրիցայի ներքևի ձախ անկյունից՝ 6 թվից։ Այն զրոյի դարձնելու համար առաջին շարքը բազմապատկեք երեքով և հանեք այն վերջին շարքից։
Կարևոր! Վերին գիծը չի փոխվում, բայց մնում է նույնը, ինչ սկզբնական մատրիցում: Պետք չէ տողը գրել բնօրինակից չորս անգամ։ Բայց այն տողերի արժեքները, որոնց բաղադրիչները պետք է չեղյալ համարվեն, անընդհատ փոխվում են։
Հաջորդը անդրադառնանք հաջորդ արժեքին` առաջին սյունակի երկրորդ շարքի տարրը, թիվ 8: Առաջին տողը բազմապատկեք չորսով և հանեք այն երկրորդ շարքից: Մենք ստանում ենք զրո։
Մնում է միայն վերջին արժեքը՝ երկրորդ սյունակի երրորդ տողի տարրը։ Սա (-1) թիվն է։ Այն զրոյի վերածելու համար առաջին տողից հանեք երկրորդը։
Ստուգենք՝
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Այսպիսով առաջադրանքի պատասխանը -22 է:
Առաջադրանք 2
Մենք պետք է գտնենք մատրիցի որոշիչը՝ այն բերելով եռանկյունաձև ձևի:
Ներկայացված մատրիցապատկանում է քառակուսի տիպին և չորրորդ կարգի մատրիցա է։ Սա նշանակում է, որ առաջին սյունակի երեք բաղադրիչը, երկրորդ սյունակի երկու բաղադրիչը և երրորդ սյունակի մեկ բաղադրիչը պետք է զրոյացվեն։
Եկեք սկսենք դրա կրճատումը ներքևի ձախ անկյունում գտնվող տարրից՝ 4 թվից։ Այս թիվը պետք է վերածենք զրոյի։ Դա անելու ամենահեշտ ձևը վերին շարքը չորսով բազմապատկելն է, այնուհետև այն չորրորդ շարքից հանելն է: Գրենք փոխակերպման առաջին փուլի արդյունքը։
Այսպիսով, չորրորդ տողի բաղադրիչը դրված է զրոյի: Անցնենք երրորդ տողի առաջին տարրին՝ 3 թվին։ Նմանատիպ գործողություն ենք կատարում։ Առաջին տողը երեքով բազմապատկեք, երրորդ տողից հանեք և ստացեք արդյունքը։
Հաջորդը երկրորդ տողում տեսնում ենք 2 թիվը։ Մենք կրկնում ենք գործողությունը՝ վերևի շարքը բազմապատկում ենք երկուով և հանում այն երկրորդից։
Մեզ հաջողվեց զրոյացնել այս քառակուսի մատրիցայի առաջին սյունակի բոլոր բաղադրիչները, բացառությամբ թիվ 1-ի՝ փոխակերպում չպահանջող հիմնական անկյունագծի տարրի: Այժմ կարևոր է պահպանել ստացված զրոները, ուստի փոխակերպումներ կկատարենք ոչ թե սյունակներով, այլ տողերով: Անցնենք ներկայացված մատրիցայի երկրորդ սյունակին։
Սկսենք նորից ներքևից՝ վերջին տողի երկրորդ սյունակի տարրից։ Սա (-7) թիվն է։ Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ավելի հարմար է սկսել թվով (-1) - երրորդ շարքի երկրորդ սյունակի տարրը: Զրո դարձնելու համար երկրորդ շարքը հանեք երրորդ շարքից։ Հետո երկրորդ շարքը բազմապատկում ենք յոթով և հանում չորրորդից։ Երկրորդ սյունակի չորրորդ շարքում գտնվող տարրի փոխարեն ստացանք զրո։ Հիմա անցնենք երրորդինսյունակ.
Այս սյունակում մենք պետք է զրոյի դարձնենք միայն մեկ թիվ՝ 4: Դա հեշտ է անել. պարզապես երրորդը ավելացրե՛ք վերջին տողին և տեսե՛ք մեզ անհրաժեշտ զրոն:
Բոլոր փոխակերպումներից հետո մենք առաջարկված մատրիցը բերեցինք եռանկյունաձև ձևի: Այժմ դրա որոշիչը գտնելու համար անհրաժեշտ է միայն բազմապատկել հիմնական անկյունագծի ստացված տարրերը: Մենք ստանում ենք. detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160: Այսպիսով, լուծումը 160 թիվն է:
Այսպիսով, այժմ մատրիցը եռանկյունաձև ձևի բերելու հարցը ձեզ չի դժվարացնի:
Նվազեցում դեպի աստիճանական ձև
Մատրիցների վրա տարրական գործողություններում աստիճանավոր ձևն ավելի քիչ «պահանջված» է, քան եռանկյունաձևը: Այն առավել հաճախ օգտագործվում է մատրիցայի աստիճանը գտնելու համար (այսինքն՝ նրա ոչ զրոյական տողերի թիվը) կամ գծային կախված և անկախ տողերը որոշելու համար։ Այնուամենայնիվ, աստիճանավոր մատրիցային տեսքը ավելի բազմակողմանի է, քանի որ այն հարմար է ոչ միայն քառակուսի տիպի, այլև բոլոր մյուսների համար:
Մատրիցը աստիճանական ձևի վերածելու համար նախ պետք է գտնել դրա որոշիչը: Դրա համար վերը նշված մեթոդները հարմար են: Որոշիչը գտնելու նպատակն է պարզել, թե արդյոք այն կարող է փոխարկվել քայլային մատրիցի: Եթե որոշիչը զրոյից մեծ կամ փոքր է, ապա կարող եք ապահով կերպով անցնել առաջադրանքին: Եթե այն հավասար է զրոյի, ապա չի աշխատի մատրիցը աստիճանական ձևի հասցնել: Այս դեպքում դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք կան սխալներ գրառումներում կամ մատրիցային փոխակերպումների մեջ: Եթե նման անճշտություններ չկան, խնդիրը հնարավոր չէ լուծել։
Տեսնենք՝ ինչպեսբերեք մատրիցը աստիճանական ձևի` օգտագործելով մի քանի առաջադրանքների օրինակներ:
Առաջադրանք 1. Գտե՛ք տրված մատրիցային աղյուսակի դասակարգումը։
Մեզնից առաջ երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա է (3x3): Մենք գիտենք, որ կոչումը գտնելու համար անհրաժեշտ է այն իջեցնել աստիճանական ձևի։ Հետևաբար, մենք նախ պետք է գտնենք մատրիցայի որոշիչը: Օգտագործելով եռանկյունի մեթոդը՝ detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12: Այն մեծ է զրոյից, ինչը նշանակում է, որ մատրիցը կարող է կրճատվել աստիճանավոր ձևի: Սկսենք նրա փոխակերպումները։
Սկսենք երրորդ շարքի ձախ սյունակի տարրից՝ թվով 2։ Վերևի տողը բազմապատկեք երկուով և հանեք այն երրորդից։ Այս գործողության շնորհիվ և՛ մեզ անհրաժեշտ տարրը, և՛ թիվ 4-ը՝ երրորդ շարքի երկրորդ սյունակի տարրը, վերածվեցին զրոյի։
Հաջորդը զրոյի դարձրեք առաջին սյունակի երկրորդ շարքի տարրը՝ 3 թիվը: Դա անելու համար վերևի տողը բազմապատկեք երեքով և հանեք այն երկրորդից:
Մենք տեսնում ենք, որ կրճատումը հանգեցրեց եռանկյունաձև մատրիցայի: Մեր դեպքում փոխակերպումը չի կարող շարունակվել, քանի որ մնացած բաղադրիչները չեն կարող զրոյի վերածվել։
Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ այս մատրիցում թվային արժեքներ պարունակող տողերի թիվը (կամ դրա վարկանիշը) 3 է: Առաջադրանքի պատասխանը՝ 3.
Առաջադրանք 2. Որոշեք այս մատրիցայի գծային անկախ տողերի քանակը։
Մենք պետք է գտնենք տողեր, որոնք չեն կարող շրջվել որևէ փոխակերպմամբզրոյի: Փաստորեն, մենք պետք է գտնենք ոչ զրոյական տողերի թիվը կամ ներկայացված մատրիցայի աստիճանը: Դա անելու համար եկեք պարզեցնենք այն։
Մենք տեսնում ենք մատրիցա, որը չի պատկանում քառակուսի տիպին: Ունի 3x4 չափսեր։ Դերասանությունը սկսենք նաև ներքևի ձախ անկյունի տարրից՝ (-1):
Ավելացրե՛ք առաջին տողը երրորդին: Այնուհետև դրանից հանեք երկրորդը, որպեսզի 5 թիվը վերածվի զրո:
Հետագա փոխակերպումները անհնարին են։ Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ դրանում գծային անկախ տողերի թիվը և առաջադրանքի պատասխանը 3 է։
Այժմ մատրիցը աստիճանական ձևի բերելը ձեզ համար անհնարին խնդիր չէ:
Այս առաջադրանքների օրինակների վրա մենք վերլուծեցինք մատրիցայի վերածումը եռանկյունի և աստիճանական ձևի: Մատրիցային աղյուսակների ցանկալի արժեքները չեղարկելու համար որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է ցույց տալ երևակայությունը և ճիշտ վերափոխել դրանց սյունակները կամ տողերը: Հաջողություն մաթեմատիկայի և մատրիցների հետ աշխատելու մեջ:
