Մեթոդներ հարթության և եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների հավասարումները դնելու համար

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Ուղիղ գիծը հիմնական երկրաչափական օբյեկտն է հարթության վրա և եռաչափ տարածության մեջ։ Հենց ուղիղ գծերից են կառուցվում բազմաթիվ պատկերներ, օրինակ՝ զուգահեռագիծ, եռանկյուն, պրիզմա, բուրգ և այլն։ Դիտարկենք հոդվածում տողերի հավասարումները սահմանելու տարբեր եղանակներ։

Ուղիղ գծի սահմանում և այն նկարագրելու համար հավասարումների տեսակներ

Յուրաքանչյուր ուսանող լավ պատկերացնում է, թե ինչ երկրաչափական առարկայի մասին է խոսում: Ուղիղ գիծը կարող է ներկայացվել որպես կետերի հավաքածու, և եթե դրանցից յուրաքանչյուրը հերթով միացնենք մնացած բոլորի հետ, ապա կստանանք զուգահեռ վեկտորների մի շարք: Այլ կերպ ասած, կարելի է հասնել ուղիղի յուրաքանչյուր կետ իր ֆիքսված կետերից մեկից՝ այն փոխանցելով իրական թվով բազմապատկված ինչ-որ միավոր վեկտորի։ Ուղիղ գծի այս սահմանումն օգտագործվում է նրա մաթեմատիկական նկարագրության վեկտորային հավասարությունը սահմանելու համար և՛ հարթության, և՛ եռաչափ տարածության մեջ:

Ուղիղ գիծը կարելի է մաթեմատիկորեն ներկայացնել հետևյալ տեսակի հավասարումներով.

• ընդհանուր;
• վեկտոր;
• պարամետրիկ;
• հատվածներում;
• սիմետրիկ (կանոնական).

Հաջորդում մենք կքննարկենք բոլոր անվանված տեսակները և ցույց կտանք, թե ինչպես աշխատել դրանց հետ՝ օգտագործելով խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ուղիղ գծի վեկտոր և պարամետրային նկարագրություն

Եկեք սկսենք ուղիղ գիծ սահմանելով հայտնի վեկտորի միջով: Ենթադրենք, որ M տարածության մեջ կա հաստատուն կետ (x₀; y₀; z_{0): Հայտնի է, որ ուղիղ գիծն անցնում է դրա միջով և ուղղվում է վեկտորային հատվածով v¯(a; b; c): Ինչպե՞ս գտնել գծի կամայական կետ այս տվյալներից: Այս հարցի պատասխանը կտա հետևյալ հավասարությունը.}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Որտեղ λ-ն կամայական թիվ է։

Նման արտահայտություն կարելի է գրել երկչափ գործի համար, որտեղ վեկտորների և կետերի կոորդինատները ներկայացված են երկու թվերի բազմությամբ.

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; բ)}

Գրված հավասարումները կոչվում են վեկտորային հավասարումներ, իսկ ուղղորդված հատվածը ինքնին ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է:

Գրավոր արտահայտություններից ստացվում են համապատասխան պարամետրային հավասարումներ, բավական է դրանք բացահայտորեն վերաշարադրել։ Օրինակ, տարածության դեպքում մենք ստանում ենք հետևյալ հավասարումը.

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Հարմար է աշխատել պարամետրային հավասարումների հետ, եթե անհրաժեշտ է վերլուծել վարքագիծըյուրաքանչյուր կոորդինատ: Նկատի ունեցեք, որ չնայած λ պարամետրը կարող է ընդունել կամայական արժեքներ, այն պետք է նույնը լինի բոլոր երեք հավասարումներում։

Ընդհանուր հավասարում

Ուղիղ գիծ սահմանելու մեկ այլ եղանակ, որը հաճախ օգտագործվում է դիտարկվող երկրաչափական օբյեկտի հետ աշխատելու համար, ընդհանուր հավասարման օգտագործումն է: Երկչափ գործի համար այն ունի հետևյալ տեսքը՝

Ax + By + C=0

Այստեղ մեծատառ լատինատառերը ներկայացնում են որոշակի թվային արժեքներ: Խնդիրները լուծելու այս հավասարության հարմարությունը կայանում է նրանում, որ այն բացահայտորեն պարունակում է ուղիղ գծին ուղղահայաց վեկտոր: Եթե այն նշանակենք n¯-ով, ապա կարող ենք գրել՝

n¯=[A; B]

Բացի այդ, արտահայտությունը հարմար է օգտագործել ուղիղ գծից մինչև ինչ-որ կետ P (x₁; y_{11; y1): d հեռավորության բանաձևն է՝}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե y փոփոխականը բացահայտորեն արտահայտենք ընդհանուր հավասարումից, ապա կստանանք ուղիղ գիծ գրելու հետևյալ հայտնի ձևը՝

y=kx + b

Որտեղ k և b-ն եզակիորեն որոշվում են A, B, C թվերով:

Հավասարումը հատվածներում և կանոնական

Հատվածների հավասարումը ամենահեշտն է ստանալ ընդհանուր տեսքից: Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես դա անել։

Ենթադրենք ունենք հետևյալ տողը.

Ax + By + C=0

Տեղափոխեք ազատ անդամը հավասարության աջ կողմ, այնուհետև դրա վրա բաժանեք ամբողջ հավասարումը, կստանանք՝

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, որտեղ q=-C / A, p=-C / B

Մենք ստացել ենք այսպես կոչված հավասարումը հատվածներով: Այն ստացել է իր անվանումը այն պատճառով, որ հայտարարը, որով բաժանվում է յուրաքանչյուր փոփոխական, ցույց է տալիս գծի հատման կոորդինատի արժեքը համապատասխան առանցքի հետ։ Հարմար է օգտագործել այս փաստը կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծը պատկերելու, ինչպես նաև այլ երկրաչափական առարկաների (ուղիղ գծեր, կետեր) նկատմամբ դրա հարաբերական դիրքը վերլուծելու համար։

Այժմ անցնենք կանոնական հավասարման ստացմանը: Սա ավելի հեշտ է անել, եթե դիտարկենք պարամետրային տարբերակը: Ինքնաթիռում գործի համար մենք ունենք՝

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Յուրաքանչյուր հավասարության մեջ արտահայտում ենք λ պարամետրը, այնուհետև դրանք հավասարեցնում ենք, ստանում ենք՝

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / բ;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Սա սիմետրիկ ձևով գրված ցանկալի հավասարումն է: Ճիշտ այնպես, ինչպես վեկտորային արտահայտությունը, այն բացահայտորեն պարունակում է ուղղության վեկտորի կոորդինատները և ուղղին պատկանող կետերից մեկի կոորդինատները:

Կարելի է տեսնել, որ այս պարբերությունում մենք հավասարումներ ենք տվել երկչափ դեպքի համար: Նմանապես, դուք կարող եք գրել ուղիղ գծի հավասարումը տարածության մեջ: Այստեղ հարկ է նշել, որ եթե կանոնական ձևըգրառումները և հատվածներում արտահայտությունները կունենան նույն ձևը, այնուհետև ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տարածության մեջ ներկայացված է հատվող հարթությունների երկու հավասարումների համակարգով:

Ուղիղ գծի հավասարման կառուցման խնդիրը

Երկրաչափությունից յուրաքանչյուր աշակերտ գիտի, որ երկու կետի միջոցով կարելի է մեկ ուղիղ գծել: Ենթադրենք, որ կոորդինատային հարթությունում տրված են հետևյալ կետերը՝

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Անհրաժեշտ է գտնել այն ուղիղի հավասարումը, որին պատկանում են երկու կետերը՝ հատվածներով, վեկտորով, կանոնական և ընդհանուր ձևով։

Եկեք նախ ստանանք վեկտորի հավասարումը: Դա անելու համար սահմանեք ուղիղ ուղղության վեկտորը M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Այժմ դուք կարող եք ստեղծել վեկտորային հավասարում՝ վերցնելով խնդրի դրույթում նշված երկու կետերից մեկը, օրինակ՝ M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Կանոնական հավասարումը ստանալու համար բավական է գտնված հավասարությունը վերածել պարամետրային ձևի և բացառել λ պարամետրը։ Մենք ունենք՝

x=-1 - 2λ, հետևաբար λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, ապա մենք ստանում ենք λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Մնացած երկու հավասարումները (ընդհանուր և հատվածներով) կարելի է գտնել կանոնականից՝ վերափոխելով այն հետևյալ կերպ.

x + 1=-2y + 6;

ընդհանուր հավասարում. x + 2y - 5=0;

հատվածների հավասարում. x / 5 + y / 2, 5=1

Ստացված հավասարումները ցույց են տալիս, որ վեկտորը (1; 2) պետք է ուղղահայաց լինի: Իսկապես, եթե դուք գտնեք դրա սկալյար արտադրյալը ուղղության վեկտորով, ապա այն հավասար կլինի զրոյի: Գծի հատվածի հավասարումն ասում է, որ ուղիղը հատում է x առանցքը (5; 0) և y առանցքը (2, 5; 0):

Գծերի հատման կետի որոշման խնդիրը

հարթության վրա տրված են երկու ուղիղներ հետևյալ հավասարումներով.

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Անհրաժեշտ է որոշել այս ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։

Խնդիրը լուծելու երկու ճանապարհ կա.

1. Վեկտորային հավասարումը վերածեք ընդհանուր ձևի, այնուհետև լուծեք երկու գծային հավասարումների համակարգը:
2. Մի կատարեք փոխակերպումներ, այլ պարզապես փոխարինեք հատման կետի կոորդինատը, որն արտահայտված է λ պարամետրով, առաջին հավասարման մեջ: Այնուհետև գտեք պարամետրի արժեքը։

Եկեք անենք երկրորդ ճանապարհը. Մենք ունենք՝

x=-λ;

y=-1 + 3λ;

2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;

λ=2

Ստացված թիվը փոխարինեք վեկտորի հավասարման մեջ.

(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)

Այսպիսով, միակ կետը, որը պատկանում է երկու ուղիղներին, կոորդինատներով կետն է (-2; 5): Գծերը հատվում են դրանում։