Երկրաչափության աքսիոմներից մեկն ասում է, որ ցանկացած երկու կետի միջոցով հնարավոր է մեկ ուղիղ գիծ գծել: Այս աքսիոմը վկայում է, որ գոյություն ունի եզակի թվային արտահայտություն, որը եզակի կերպով նկարագրում է նշված միաչափ երկրաչափական օբյեկտը։ Դիտարկենք հոդվածում այն հարցը, թե ինչպես գրել երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։
Ի՞նչ է կետը և ուղիղը:
Տիեզերքում և հարթության վրա մի զույգ տարբեր կետերով անցնող հավասարման ուղիղ գիծ կառուցելու հարցը քննարկելուց առաջ պետք է սահմանել նշված երկրաչափական առարկաները։
Կետը եզակիորեն որոշվում է կոորդինատների մի շարքով կոորդինատային առանցքների տվյալ համակարգում: Նրանցից բացի, կետի համար այլևս բնութագրիչներ չկան: Նա զրոյական չափի օբյեկտ է:
Ուղիղ գծի մասին խոսելիս յուրաքանչյուր մարդ պատկերացնում է մի գիծ, որը պատկերված է սպիտակ թղթի վրա: Միաժամանակ կարելի է ճշգրիտ երկրաչափական սահմանում տալայս օբյեկտը. Ուղիղ գիծը կետերի այնպիսի հավաքածու է, որի համար դրանցից յուրաքանչյուրի միացումը մյուսների հետ կտա զուգահեռ վեկտորների մի շարք։
Այս սահմանումն օգտագործվում է ուղիղ գծի վեկտորային հավասարումը սահմանելիս, որը կքննարկվի ստորև:
Քանի որ ցանկացած տող կարող է նշվել կամայական երկարության հատվածով, ասում են, որ այն միաչափ երկրաչափական օբյեկտ է:
Թիվ վեկտորի ֆունկցիա
Անցող ուղիղ գծի երկու կետերի միջով հավասարումը կարելի է գրել տարբեր ձևերով: Եռաչափ և երկչափ տարածություններում հիմնական և ինտուիտիվ հասկանալի թվային արտահայտությունը վեկտորն է։
Ենթադրենք, որ կա մի ուղղորդված հատված u¯(a; b; c): Եռաչափ տարածության մեջ u¯ վեկտորը կարող է սկսվել ցանկացած կետից, ուստի նրա կոորդինատները սահմանում են զուգահեռ վեկտորների անսահման բազմություն: Այնուամենայնիվ, եթե ընտրենք որոշակի կետ P(x0; y0; z0) և դնենք. այն որպես u¯ վեկտորի սկիզբ, ապա, բազմապատկելով այս վեկտորը λ կամայական իրական թվով, կարելի է ստանալ մեկ ուղիղ գծի բոլոր կետերը տարածության մեջ: Այսինքն՝ վեկտորային հավասարումը կգրվի այսպես՝
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ակնհայտ է, որ հարթության դեպքի համար թվային ֆունկցիան ընդունում է ձևը՝
(x; y)=(x0; y0) + λ(ա; բ)
Այս տեսակի հավասարումների առավելությունը մյուսների համեմատ (հատվածներով, կանոնական,ընդհանուր ձև) կայանում է նրանում, որ այն բացահայտորեն պարունակում է ուղղության վեկտորի կոորդինատները: Վերջինս հաճախ օգտագործվում է ուղիղների զուգահեռ կամ ուղղահայաց լինելը որոշելու համար:
Ընդհանուր հատվածներում և կանոնական ֆունկցիա երկչափ տարածության ուղիղ գծի համար
Խնդիրներ լուծելիս երբեմն պետք է գրել երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը որոշակի, կոնկրետ ձևով: Հետևաբար, պետք է տրվեն այս երկրաչափական օբյեկտը երկչափ տարածության մեջ նշելու այլ եղանակներ (պարզության համար մենք դիտարկում ենք դեպքը հարթության վրա):
Սկսենք ընդհանուր հավասարումից. Այն ունի ձև՝
Ax + By + C=0
Որպես կանոն, հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումը գրվում է այս ձևով, միայն y-ն է հստակ սահմանված x-ով։
Այժմ վերը նշված արտահայտությունը վերափոխեք հետևյալ կերպ.
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Այս արտահայտությունը կոչվում է հավասարում հատվածներում, քանի որ յուրաքանչյուր փոփոխականի հայտարարը ցույց է տալիս, թե որքան երկար է գծի հատվածը կտրվում համապատասխան կոորդինատային առանցքի վրա՝ ելակետի նկատմամբ (0; 0):
Մնում է կանոնական հավասարման օրինակ բերել։ Դա անելու համար մենք հստակ գրում ենք վեկտորի հավասարությունը՝
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Եկեք այստեղից արտահայտենք λ պարամետրը և հավասարեցնենք ստացված հավասարությունները.
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Վերջին հավասարությունը կոչվում է հավասարում կանոնական կամ սիմետրիկ ձևով:
Դրանցից յուրաքանչյուրը կարող է փոխարկվել վեկտորի և հակառակը:
Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. կոմպիլյացիայի տեխնիկա
Վերադառնալ հոդվածի հարցին։ Ենթադրենք, որ տարածության մեջ կա երկու կետ.
M(x1; y1; z1) և N (x 2; y2; z2)
Դրանց միջով անցնում է միակ ուղիղ գիծը, որի հավասարումը շատ հեշտ է կազմել վեկտորային տեսքով։ Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք MN¯ ուղղորդված հատվածի կոորդինատները, ունենք՝
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Դժվար չէ կռահել, որ այս վեկտորը կլինի ուղեցույցը ուղիղ գծի համար, որի հավասարումը պետք է ստացվի։ Իմանալով, որ այն անցնում է նաև M և N միջով, կարող եք օգտագործել դրանցից որևէ մեկի կոորդինատները վեկտորային արտահայտության համար։ Այնուհետև ցանկալի հավասարումը ստանում է ձև՝
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Երկչափ տարածության դեպքում մենք ստանում ենք նմանատիպ հավասարություն՝ առանց z փոփոխականի մասնակցության։
Հենց որ տողի վեկտորային հավասարությունը գրվի, այն կարող է թարգմանվել ցանկացած այլ ձևով, որը պահանջում է խնդրի հարցը:
Առաջադրանք.գրել ընդհանուր հավասարում
Հայտնի է, որ (-1; 4) և (3; 2) կոորդինատներով կետերով ուղիղ գիծ է անցնում: Անհրաժեշտ է դրանց միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կազմել ընդհանուր ձևով՝ արտահայտելով y-ը x-ով։
։
Խնդիրը լուծելու համար նախ հավասարումը գրում ենք վեկտորային տեսքով: Վեկտորի (ուղեցույցի) կոորդինատներն են՝
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Այդ դեպքում ուղիղ գծի հավասարման վեկտորային ձևը հետևյալն է.
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Մնում է այն ընդհանուր ձևով գրել y(x) ձևով։ Մենք բացահայտորեն վերագրում ենք այս հավասարությունը, արտահայտում λ պարամետրը և այն բացառում ենք
հավասարումից.
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Ստացված կանոնական հավասարումից մենք արտահայտում ենք y և գալիս ենք խնդրի հարցի պատասխանին.
y=-0.5x + 3.5
Այս հավասարության վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ փոխարինելով խնդրի դրույթում նշված կետերի կոորդինատները:
Խնդիր. հատվածի կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծ
Հիմա լուծենք մեկ հետաքրքիր խնդիր. Ենթադրենք, որ տրված է երկու միավոր M(2; 1) և N(5; 0): Հայտնի է, որ կետերը միացնող և դրան ուղղահայաց հատվածի միջնակետով ուղիղ գիծ է անցնում։ Գրի՛ր հատվածի միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը վեկտորի տեսքով։
Ցանկալի թվային արտահայտությունը կարելի է ձևավորել այս կենտրոնի կոորդինատը հաշվարկելով և ուղղության վեկտորը որոշելով, որըհատվածը կազմում է անկյուն 90o.
Հատվածի միջնակետն է՝
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Հիմա եկեք հաշվարկենք MN վեկտորի կոորդինատները:
MN¯=N - M=(3; -1)
Քանի որ ցանկալի գծի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց է MN¯-ին, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի: Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ղեկային վեկտորի անհայտ կոորդինատները (a; b)՝
a3 - b=0=>
b=3a
Հիմա գրեք վեկտորի հավասարումը.
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Այստեղ մենք փոխարինել ենք aλ արտադրանքը նոր β պարամետրով:
Այսպիսով, մենք կազմել ենք հատվածի կենտրոնով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։
