Տարածական պատկերների ծավալը որոշելու ունակությունը կարևոր է երկրաչափական և գործնական խնդիրների լուծման համար: Այս թվերից մեկը պրիզմա է։ Մենք հոդվածում կքննարկենք, թե ինչ է դա և ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել թեք պրիզմայի ծավալը։
Ի՞նչ է նշանակում պրիզմա ասելով երկրաչափության մեջ:
Սա կանոնավոր բազմանիստ է (բազմանկյուն), որը ձևավորվում է զուգահեռ հարթություններում տեղակայված երկու նույնական հիմքերով և նշված հիմքերը միացնող մի քանի զուգահեռագծերով։
Պրիզմայի հիմքերը կարող են լինել կամայական բազմանկյուններ, ինչպիսիք են եռանկյունը, քառանկյունը, յոթանկյունը և այլն: Ավելին, բազմանկյան անկյունների (կողերի) թիվը որոշում է նկարի անվանումը։
N-անկյուն հիմքով ցանկացած պրիզմա (n-ը կողմերի թիվն է) բաղկացած է n+2 դեմքերից, 2 × n գագաթներից և 3 × n եզրերից։ Տրված թվերից երևում է, որ պրիզմայի տարրերի թիվը համապատասխանում է Էյլերի թեորեմին՝
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Ստորև նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունեն ապակուց պատրաստված եռանկյունաձև և քառանկյուն պրիզմաները:
Գծապատկերների տեսակները. Թեքված պրիզմա
Վերևում արդեն ասվեց, որ պրիզմայի անվանումը որոշվում է հիմքում գտնվող բազմանկյունի կողմերի քանակով։ Այնուամենայնիվ, նրա կառուցվածքում կան այլ առանձնահատկություններ, որոնք որոշում են գործչի հատկությունները: Այսպիսով, եթե բոլոր զուգահեռագծերը, որոնք կազմում են պրիզմայի կողային մակերեսը, ներկայացված են ուղղանկյուններով կամ քառակուսիներով, ապա այդպիսի պատկերը կոչվում է ուղիղ գիծ։ Ուղիղ պրիզմայի համար հիմքերի միջև հեռավորությունը հավասար է ցանկացած ուղղանկյան կողային եզրի երկարությանը:
Եթե որոշ կողմեր կամ բոլոր կողմերը զուգահեռական են, ապա խոսքը թեք պրիզմայի մասին է: Նրա բարձրությունն արդեն պակաս կլինի կողային կողի երկարությունից։
Մեկ այլ չափանիշ, որով դասակարգվում են դիտարկվող պատկերները, կողմերի երկարությունն է և հիմքում գտնվող բազմանկյունի անկյունները: Եթե դրանք հավասար են միմյանց, ապա բազմանկյունը ճիշտ կլինի։ Հիմքերում կանոնավոր բազմանկյուն ունեցող ուղիղ պատկերը կոչվում է կանոնավոր: Հարմար է աշխատել դրա հետ՝ մակերեսը և ծավալը որոշելիս։ Այս առումով թեքված պրիզման որոշ դժվարություններ է ներկայացնում:
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս քառակուսի հիմքով երկու պրիզմա: 90° անկյունը ցույց է տալիս ուղիղ և թեք պրիզմայի հիմնարար տարբերությունը։
Նկարի ծավալը որոշելու բանաձև
Պրիզմայի երեսներով սահմանափակված տարածության մի մասը կոչվում է դրա ծավալ: Ցանկացած տեսակի դիտարկված թվերի համար այս արժեքը կարող է որոշվել հետևյալ բանաձևով՝
V=h × So
Այստեղ h նշանը նշանակում է պրիզմայի բարձրությունը,որը երկու հիմքերի միջև եղած հեռավորության չափն է։ Խորհրդանիշ So- մեկ հիմք քառակուսի։
Հիմնական տարածքը հեշտ է գտնել: Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ բազմանկյունը կանոնավոր է, թե ոչ, և իմանալով նրա կողմերի թիվը, պետք է կիրառել համապատասխան բանաձև և ստանալ So: Օրինակ՝ a կողմի երկարությամբ սովորական n-անկյունի համար տարածքը կլինի՝
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Այժմ անցնենք h բարձրությանը: Ուղիղ պրիզմայի համար բարձրությունը որոշելը դժվար չէ, իսկ թեք պրիզմայի համար դա հեշտ գործ չէ։ Այն կարելի է լուծել տարբեր երկրաչափական մեթոդներով՝ սկսած կոնկրետ սկզբնական պայմաններից։ Այնուամենայնիվ, կա գործչի բարձրությունը որոշելու ունիվերսալ միջոց: Եկեք համառոտ նկարագրենք այն։
Գաղափարը տարածության կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը գտնելն է: Ենթադրենք, որ հարթությունը տրված է հավասարմամբ՝
A × x+ B × y + C × z + D=0
Այնուհետև ինքնաթիռը կլինի հեռավորության վրա:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Եթե կոորդինատային առանցքները դասավորված են այնպես, որ կետը (0; 0; 0) ընկած է պրիզմայի ստորին հիմքի հարթությունում, ապա բազային հարթության հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
z=0
Սա նշանակում է, որ կգրվի բարձրության բանաձևըայսպես:
h=z1
Նկարի բարձրությունը որոշելու համար բավական է գտնել վերին հիմքի ցանկացած կետի z-կոորդինատը:
Խնդիրների լուծման օրինակ
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս քառանկյուն պրիզմա: Թեք պրիզմայի հիմքը 10 սմ կողմ ունեցող քառակուսի է, որի ծավալը պետք է հաշվարկել, եթե հայտնի է, որ կողային եզրի երկարությունը 15 սմ է, իսկ ճակատային զուգահեռագծի սուր անկյունը՝ 70 °։
Քանի որ պատկերի h բարձրությունը նաև զուգահեռագծի բարձրությունն է, մենք օգտագործում ենք բանաձևեր՝ որոշելու համար նրա մակերեսը՝ h գտնելու համար: Զուգահեռագծի կողմերը նշանակենք հետևյալ կերպ՝
a=10սմ;
b=15սմ
Այնուհետև կարող եք դրա համար գրել հետևյալ բանաձևերը S տարածքը որոշելու համարp:
Sp=a × b × մեղք (α);
Sp=a × h
Որտեղից մենք ստանում ենք՝
h=b × մեղք (α)
Այստեղ α-ն զուգահեռագծի սուր անկյունն է: Քանի որ հիմքը քառակուսի է, ապա թեք պրիզմայի ծավալի բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը՝
V=a2 × b × մեղք (ա)
Պայմանից ստացված տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով և ստանում պատասխանը՝ V ≈ 1410 սմ3.
