Խոսելով մաթեմատիկայից՝ կոտորակները չհիշելն անհնար է: Նրանց ուսումնասիրությանը մեծ ուշադրություն և ժամանակ է հատկացվում: Հիշեք, թե քանի օրինակ պետք է լուծեիք, որպեսզի սովորեիք կոտորակների հետ աշխատելու որոշակի կանոններ, ինչպես եք մտապահել և կիրառել կոտորակի հիմնական հատկությունը: Քանի՞ նյարդ է ծախսվել ընդհանուր հայտարար գտնելու համար, հատկապես, եթե օրինակներում կային երկուից ավելի տերմիններ:
Եկեք հիշենք, թե ինչ է դա և մի փոքր թարմացնենք մեր հիշողությունը կոտորակների հետ աշխատելու հիմնական տեղեկատվության և կանոնների մասին։
Կոտորակների սահմանում
Սկսենք ամենակարևորից՝ սահմանումներից։ Կոտորակը այն թիվն է, որը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միավոր մասերից: Կոտորակային թիվը գրվում է որպես երկու թվեր, որոնք իրարից բաժանված են հորիզոնական կամ շեղ: Այս դեպքում վերինը (կամ առաջինը) կոչվում է համարիչ, իսկ ստորինը (երկրորդը)՝ հայտարար։
Հարկ է նշել, որ հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանված միավորը, իսկ համարիչը ցույց է տալիս բաժնետոմսերի կամ վերցված մասերի քանակը։ Հաճախ կոտորակները, եթե ճիշտ են, մեկից փոքր են:
Այժմ եկեք տեսնենք այս թվերի հատկությունները և հիմնական կանոնները, որոնք օգտագործվում են դրանց հետ աշխատելիս: Բայց նախքան «ռացիոնալ կոտորակի հիմնական հատկությունը» հասկացությունը վերլուծելը, եկեք խոսենք կոտորակների տեսակների և դրանց հատկանիշների մասին։
Ինչ են կոտորակները
Այսպիսի թվերի մի քանի տեսակներ կան։ Առաջին հերթին դրանք սովորական և տասնորդական են: Առաջինները ներկայացնում են ռացիոնալ թվի գրանցման տեսակը, որն արդեն նշված է մեր կողմից՝ օգտագործելով հորիզոնական կամ շեղ: Կոտորակների երկրորդ տեսակը նշվում է այսպես կոչված դիրքային նշումով, երբ սկզբում նշվում է թվի ամբողջական մասը, իսկ հետո տասնորդական կետից հետո նշվում է կոտորակային մասը։
Այստեղ հարկ է նշել, որ մաթեմատիկայի մեջ հավասարապես օգտագործվում են և՛ տասնորդական, և՛ սովորական կոտորակները։ Կոտորակի հիմնական հատկությունը վավեր է միայն երկրորդ տարբերակի համար։ Բացի այդ, սովորական կոտորակներում տարբերվում են ճիշտ և սխալ թվերը։ Առաջինի համար համարիչը միշտ փոքր է հայտարարից: Նկատի ունեցեք նաև, որ նման կոտորակը փոքր է միությունից: Անպատշաճ կոտորակի մեջ, ընդհակառակը, համարիչը մեծ է հայտարարից, իսկ ինքն էլ մեծ է մեկից։ Այս դեպքում նրանից կարելի է ամբողջ թիվ հանել։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն սովորական կոտորակները:
Կոտորակների հատկությունները
Ցանկացած երևույթ՝ քիմիական, ֆիզիկական կամ մաթեմատիկական, ունի իր առանձնահատկություններն ու հատկությունները։ Կոտորակային թվերը բացառություն չեն: Նրանք ունեն մեկ կարեւոր հատկություն, որի օգնությամբ հնարավոր է նրանց վրա որոշակի գործողություններ իրականացնել։ Ո՞րն է կոտորակի հիմնական հատկությունը:Կանոնն ասում է, որ եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն նույն ռացիոնալ թվով, մենք կստանանք նոր կոտորակ, որի արժեքը հավասար կլինի սկզբնական արժեքին։ Այսինքն, 3/6 կոտորակային թվի երկու մասերը բազմապատկելով 2-ով, ստանում ենք նոր կոտորակ 6/12, մինչդեռ դրանք հավասար կլինեն։
Այս հատկության հիման վրա կարող եք կրճատել կոտորակները, ինչպես նաև ընտրել ընդհանուր հայտարարներ որոշակի զույգ թվերի համար:
Գործողություններ
Չնայած այն փաստին, որ կոտորակները մեզ ավելի բարդ են թվում, քան պարզ թվերը, նրանք կարող են նաև կատարել հիմնական մաթեմատիկական գործողություններ, ինչպիսիք են գումարումը և հանումը, բազմապատկումը և բաժանումը: Բացի այդ, կա այնպիսի կոնկրետ գործողություն, ինչպիսին է ֆրակցիաների կրճատումը: Բնականաբար, այս գործողություններից յուրաքանչյուրը կատարվում է որոշակի կանոնների համաձայն. Այս օրենքների իմացությունը հեշտացնում է կոտորակների հետ աշխատանքը՝ դարձնելով ավելի հեշտ և հետաքրքիր: Այդ իսկ պատճառով նման թվերի հետ աշխատելիս մենք կքննարկենք հիմնական կանոնները և գործողությունների ալգորիթմը։
Բայց նախքան մաթեմատիկական գործողությունների մասին խոսելը, ինչպիսիք են գումարումն ու հանումը, եկեք վերլուծենք այնպիսի գործողություն, ինչպիսին է կրճատումը ընդհանուր հայտարարի: Այստեղ օգտակար կլինի իմանալ, թե ինչ հիմնական հատկություն կա կոտորակի մասին:
Ընդհանուր հայտարար
Թիվը ընդհանուր հայտարարի կրճատելու համար նախ պետք է գտնել երկու հայտարարի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Այսինքն՝ ամենափոքր թիվը, որը միաժամանակ բաժանվում է երկու հայտարարների վրա՝ առանց մնացորդի։ ԱՕԿ-ը վերցնելու ամենահեշտ ձևը(նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ) - տողում գրեք այն թվերը, որոնք բազմապատիկ են մեկ հայտարարի համար, այնուհետև երկրորդի համար և դրանցից գտեք համապատասխան թիվ: Այն դեպքում, երբ LCM-ն չի գտնվել, այսինքն՝ այս թվերը չունեն ընդհանուր բազմապատիկ, դրանք պետք է բազմապատկվեն, և ստացված արժեքը պետք է համարել որպես LCM։
Այսպիսով, մենք գտել ենք LCM-ն, այժմ մենք պետք է գտնենք լրացուցիչ բազմապատկիչ: Դա անելու համար հարկավոր է հերթափոխով LCM-ը բաժանել կոտորակների հայտարարիչների և դրանցից յուրաքանչյուրի վրա գրել ստացված թիվը: Այնուհետև համարիչը և հայտարարը բազմապատկեք ստացված լրացուցիչ գործակցով և ստացված արդյունքները գրեք որպես նոր կոտորակ: Եթե կասկածում եք, որ ստացված թիվը հավասար է նախորդին, հիշեք կոտորակի հիմնական հատկությունը։
Ավելացում
Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք կոտորակային թվերի մաթեմատիկական գործողություններին: Սկսենք ամենապարզից. Կոտորակներ ավելացնելու մի քանի տարբերակ կա։ Առաջին դեպքում երկու թվերն էլ նույն հայտարարն ունեն։ Այս դեպքում մնում է միայն համարիչները միասին գումարել։ Բայց հայտարարը չի փոխվում։ Օրինակ՝ 1/5 + 3/5=4/5։
Եթե կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա պետք է դրանք հասցնել ընդհանուրի և հետո միայն կատարել գումարում: Ինչպես դա անել, մենք ձեզ հետ քննարկել ենք մի փոքր ավելի բարձր: Այս իրավիճակում ֆրակցիայի հիմնական հատկությունը օգտակար կլինի: Կանոնը թույլ կտա թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի։ Սա ոչ մի կերպ չի փոխի արժեքը:
Այլընտրանքով, կարող է պատահել, որ կոտորակը խառնվի: Այնուհետև նախ պետք է գումարել ամբողջ մասերը, իսկ հետո՝ կոտորակայինները։
Բազմապատկում
Կոտորակների բազմապատկումը հնարքներ չի պահանջում, և այս գործողությունը կատարելու համար անհրաժեշտ չէ իմանալ կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Բավական է նախ բազմապատկել համարիչները և հայտարարները։ Այս դեպքում համարիչների արտադրյալը կդառնա նոր համարիչ, իսկ հայտարարների արտադրյալը՝ նոր հայտարար։ Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա:
Միակ բանը, որ ձեզանից պահանջվում է, բազմապատկման աղյուսակի իմացությունն է, ինչպես նաև ուշադիր լինելը։ Բացի այդ, արդյունքը ստանալուց հետո պետք է անպայման ստուգել՝ կարելի՞ է այս թիվը կրճատել, թե՞ ոչ։ Կոտորակները փոքրացնելու մասին կխոսենք մի փոքր ուշ։
հանում
Կոտորակներ հանելիս պետք է առաջնորդվել նույն կանոններով, ինչ գումարելիս։ Այսպիսով, նույն հայտարար ունեցող թվերում բավական է հանել ենթահամարիչը մինուենդի համարիչից։ Այն դեպքում, երբ կոտորակները ունեն տարբեր հայտարարներ, դուք պետք է դրանք բերեք ընդհանուրի, այնուհետև կատարեք այս գործողությունը: Ինչպես գումարման դեպքում, դուք պետք է օգտագործեք հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկությունը, ինչպես նաև LCM-ն և կոտորակների ընդհանուր գործակիցները գտնելու հմտությունները:
Բաժանում
Եվ վերջին, ամենահետաքրքիր գործողությունը նման թվերի հետ աշխատելիս բաժանումն է։ Այն բավականին պարզ է և առանձնահատուկ դժվարություններ չի առաջացնում նույնիսկ նրանց համար, ովքեր չեն հասկանում, թե ինչպես աշխատել կոտորակների հետ, հատկապես կատարել գումարման և հանման գործողություններ: Բաժանելիս նման կանոնը կիրառվում է որպես փոխադարձ կոտորակի բազմապատկում։ Կոտորակի հիմնական հատկությունը, ինչպես բազմապատկման դեպքում,չի օգտագործվի այս գործողության համար: Եկեք մանրամասն նայենք։
Թվերը բաժանելիս շահաբաժինը մնում է անփոփոխ: Բաժանարարը հակադարձված է, այսինքն՝ համարիչն ու հայտարարը հակադարձված են։ Դրանից հետո թվերը բազմապատկվում են միմյանց հետ։
Հապավում
Այսպիսով, մենք արդեն վերլուծել ենք կոտորակների սահմանումն ու կառուցվածքը, դրանց տեսակները, այս թվերի վրա գործողության կանոնները, պարզել ենք հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Այժմ խոսենք այնպիսի գործողության մասին, ինչպիսին է կրճատումը։ Կոտորակի կրճատումը նրա փոխակերպման գործընթացն է՝ համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բաժանելը: Այսպիսով, կոտորակը կրճատվում է առանց դրա հատկությունները փոխելու:
Սովորաբար մաթեմատիկական գործողություն կատարելիս պետք է ուշադիր նայել վերջում ստացված արդյունքին և պարզել՝ հնարավո՞ր է կրճատել ստացված կոտորակը, թե՞ ոչ։ Հիշեք, որ վերջնական արդյունքը միշտ գրվում է որպես կոտորակային թիվ, որը կրճատում չի պահանջում։
Այլ գործողություններ
Վերջապես նշում ենք, որ չենք թվարկել կոտորակային թվերի բոլոր գործողությունները՝ նշելով միայն ամենահայտնիներն ու անհրաժեշտները։ Կոտորակները կարելի է նաև համեմատել, վերածել տասնորդականների և հակառակը։ Բայց այս հոդվածում մենք չենք դիտարկել այս գործողությունները, քանի որ մաթեմատիկայի մեջ դրանք կատարվում են շատ ավելի քիչ հաճախ, քան նրանք, որոնք մենք վերը նշված ենք:
Եզրակացություններ
Խոսեցինք նրանց հետ կոտորակային թվերի և գործողությունների մասին: Մենք նաև ապամոնտաժեցինք կոտորակի հիմնական հատկությունը,կոտորակների կրճատում. Բայց մենք նշում ենք, որ այս բոլոր հարցերը մեր կողմից դիտարկվել են անցանկալի։ Մենք տվել ենք միայն ամենահայտնի և օգտագործված կանոնները, տվել ենք ամենակարևորը, մեր կարծիքով, խորհուրդը։
Այս հոդվածը կոչված է թարմացնելու կոտորակների մասին ձեր մոռացած տեղեկությունները, այլ ոչ թե նոր տեղեկություններ տալու և ձեր գլուխը «լցնելու» անվերջ կանոններով ու բանաձևերով, որոնք, ամենայն հավանականությամբ, ձեզ օգտակար չեն լինի։
Հուսով ենք, որ հոդվածում ներկայացված նյութը պարզապես և հակիրճ օգտակար է դարձել ձեզ համար։
