Գործնականում հաճախ առաջանում են առաջադրանքներ, որոնք պահանջում են տարբեր ձևերի երկրաչափական ձևերի հատվածներ կառուցելու և հատվածների տարածքը գտնելու ունակություն: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես են կառուցված պրիզմայի, բուրգի, կոնի և գլանների կարևոր հատվածները և ինչպես հաշվարկել դրանց տարածքները:
3D պատկերներ
Ստերեոմետրիայից հայտնի է, որ բացարձակապես ցանկացած տեսակի եռաչափ պատկերը սահմանափակվում է մի շարք մակերեսներով։ Օրինակ՝ պրիզմայի և բուրգի նման պոլիեդրների համար այս մակերեսները բազմանկյուն կողմերն են։ Գլանի և կոնի համար մենք խոսում ենք գլանաձև և կոնաձև պատկերների պտտման մակերեսների մասին։
Եթե վերցնենք հարթություն և կամայականորեն հատենք եռաչափ պատկերի մակերեսը, կստանանք հատված։ Դրա մակերեսը հավասար է հարթության այն մասի մակերեսին, որը կլինի նկարի ծավալի ներսում: Այս տարածքի նվազագույն արժեքը զրոյական է, որն իրականացվում է, երբ ինքնաթիռը դիպչում է նկարին: Օրինակ, մի հատված, որը ձևավորվում է մեկ կետով, ստացվում է, եթե ինքնաթիռն անցնում է բուրգի կամ կոնի գագաթով: Խաչմերուկի տարածքի առավելագույն արժեքը կախված էպատկերի և հարթության հարաբերական դիրքը, ինչպես նաև նկարի ձևն ու չափը։
Ստորև կքննարկենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ձևավորված հատվածների մակերեսը երկու պտույտի (գլան և կոն) և երկու պոլիեդրների (բուրգ և պրիզմա) համար:
Գլան
Շրջանաձև գլան ուղղանկյան պտտվող պատկեր է նրա ցանկացած կողմի շուրջ: Մխոցը բնութագրվում է երկու գծային պարամետրերով՝ բազային շառավիղ r և բարձրություն h։ Ստորև բերված գծապատկերը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի շրջանաձև ուղիղ գլան:
Այս ցուցանիշի համար կան երեք կարևոր բաժիններ.
- ռաունդ;
- ուղղանկյուն;
- էլիպտիկ.
Էլիպսաձևը ձևավորվում է նկարի կողային մակերեսը հիմքի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ հատելու հարթության արդյունքում: Կլորը գլանի հիմքին զուգահեռ կողային մակերեսի կտրող հարթության հատման արդյունք է։ Վերջապես, ստացվում է ուղղանկյուն, եթե կտրող հարթությունը զուգահեռ է մխոցի առանցքին:
Շրջանաձև տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով.
S1=pir2
Առանցքային հատվածի տարածքը, այսինքն՝ ուղղանկյուն, որն անցնում է մխոցի առանցքով, սահմանվում է հետևյալ կերպ.
S2=2rh
Կոնի հատվածներ
Կոնը ուղղանկյուն եռանկյունու պտտման պատկեր է ոտքերից մեկի շուրջ: Կոնն ունի մեկ վերև և կլոր հիմք։ Նրա պարամետրերն են նաև շառավիղը r և բարձրությունը h: Ստորև ներկայացված է թղթե կոնի օրինակ:
Կան կոնաձև հատվածների մի քանի տեսակներ: Թվարկենք դրանք՝
- ռաունդ;
- էլիպսիկ;
- պարաբոլիկ;
- հիպերբոլիկ;
- եռանկյունաձև.
Նրանք փոխարինում են միմյանց, եթե դուք մեծացնում եք կտրվածքի հարթության թեքության անկյունը կլոր հիմքի նկատմամբ: Ամենահեշտ ձևը շրջանաձև և եռանկյունի խաչմերուկի տարածքի բանաձևերը գրելն է:
Հիմքին զուգահեռ հարթության հետ կոնաձև մակերեսի հատման արդյունքում ձևավորվում է շրջանաձև հատված։ Իր տարածքի համար գործում է հետևյալ բանաձևը՝
S1=pir2z2/h 2
Այստեղ z-ն պատկերի վերևից մինչև ձևավորված հատվածի հեռավորությունն է: Երևում է, որ եթե z=0, ապա հարթությունն անցնում է միայն գագաթով, ուստի S1 մակերեսը հավասար կլինի զրոյի։ z < h-ից սկսած՝ ուսումնասիրվող հատվածի մակերեսը միշտ ավելի փոքր կլինի, քան դրա արժեքը հիմքի համար:
Եռանկյունը ստացվում է, երբ հարթությունը հատում է պատկերը իր պտտման առանցքի երկայնքով: Ստացված հատվածի ձևը կլինի հավասարաչափ եռանկյունի, որի կողմերը հիմքի տրամագիծն են և կոնի երկու գեներատորները։ Ինչպե՞ս գտնել եռանկյունի խաչմերուկի տարածքը: Այս հարցի պատասխանը կլինի հետևյալ բանաձևը՝
S2=rh
Այս հավասարությունը ստացվում է կամայական եռանկյան մակերեսի բանաձևը կիրառելով նրա հիմքի և բարձրության երկարությամբ:
Պրիզմայի հատվածներ
Պրիզմա ֆիգուրների մեծ դաս է, որոնք բնութագրվում են միմյանց զուգահեռ երկու միանման բազմանկյուն հիմքերի առկայությամբ,միացված են զուգահեռականներով։ Պրիզմայի ցանկացած հատված բազմանկյուն է: Հաշվի առնելով դիտարկվող պատկերների բազմազանությունը (թեք, ուղիղ, n-անկյունային, կանոնավոր, գոգավոր պրիզմաներ) մեծ է նաև դրանց հատվածների բազմազանությունը։ Ստորև մենք դիտարկում ենք միայն որոշ հատուկ դեպքեր:
Եթե կտրող հարթությունը զուգահեռ է հիմքին, ապա պրիզմայի խաչմերուկի մակերեսը հավասար կլինի այս հիմքի մակերեսին։
Եթե հարթությունն անցնում է երկու հիմքերի երկրաչափական կենտրոններով, այսինքն՝ զուգահեռ է պատկերի կողային եզրերին, ապա հատվածում առաջանում է զուգահեռագիծ։ Ուղիղ և կանոնավոր պրիզմաների դեպքում դիտարկվող հատվածի տեսքը կլինի ուղղանկյուն:
Բուրգ
Բուրգը ևս մեկ բազմանկյուն է, որը բաղկացած է n-անկյունից և n եռանկյունից: Ստորև ներկայացված է եռանկյուն բուրգի օրինակ:
Եթե հատվածը գծված է n-անկյունային հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա դրա ձևը ճիշտ հավասար կլինի հիմքի ձևին: Նման հատվածի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով՝
S1=So(h-z)2/ժ 2
Որտեղ z-ը հիմքից մինչև հատվածի հարթությունն է, So-ը հիմքի մակերեսն է:
Եթե կտրող հարթությունը պարունակում է բուրգի գագաթը և հատում է դրա հիմքը, ապա մենք ստանում ենք եռանկյուն հատված: Նրա տարածքը հաշվարկելու համար դուք պետք է դիմեք եռանկյունու համապատասխան բանաձևի օգտագործմանը:
