Բուրգը տարածական բազմանկյուն է կամ բազմանկյուն, որը հանդիպում է երկրաչափական խնդիրներում: Այս գործչի հիմնական հատկությունները նրա ծավալն ու մակերեսն են, որոնք հաշվարկվում են նրա ցանկացած երկու գծային բնութագրերի իմացությունից: Այդ բնութագրիչներից մեկը բուրգի ապոտեմն է։ Այն կքննարկվի հոդվածում։
Բուրգի ձև
Բուրգի ապոտեմի սահմանումը տալուց առաջ եկեք ծանոթանանք բուն պատկերին։ Բուրգը բազմանիստ է, որը ձևավորվում է մեկ n-անկյունային հիմքով և n եռանկյունով, որոնք կազմում են նկարի կողային մակերեսը։
Յուրաքանչյուր բուրգ ունի գագաթ՝ բոլոր եռանկյունների միացման կետը: Այս գագաթից դեպի հիմքը գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրություն։ Եթե բարձրությունը հատում է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում, ապա պատկերը կոչվում է ուղիղ: Հավասարակողմ հիմքով ուղիղ բուրգը կոչվում է կանոնավոր բուրգ: Նկարում պատկերված է վեցանկյուն հիմքով բուրգ, որը դիտվում է երեսի կողքից և եզրից:
Աստեմ աջ բուրգի
Նրան նաև անվանում են ապոտեմա։ Այն հասկացվում է որպես ուղղահայաց, որը գծված է բուրգի գագաթից դեպի նկարի հիմքի կողմը: Ըստ սահմանման՝ այս ուղղահայացը համապատասխանում է բուրգի կողային երեսը կազմող եռանկյան բարձրությանը։
Քանի որ մենք դիտարկում ենք n-անկյունային հիմքով կանոնավոր բուրգ, ապա դրա համար բոլոր n ապոտեմները նույնն են լինելու, քանի որ այդպիսին են նկարի կողային մակերեսի հավասարաչափ եռանկյունները: Նկատի ունեցեք, որ միանման ապոտեմները կանոնավոր բուրգի հատկություն են: Ընդհանուր տիպի (թեք անկանոն n-անկյունով) գործչի համար բոլոր n ապոտեմները տարբեր կլինեն։
Կանոնավոր բուրգի ապոտեմի մեկ այլ հատկություն այն է, որ այն միաժամանակ համապատասխան եռանկյան բարձրությունն է, միջնագիծը և կիսադիրը: Սա նշանակում է, որ նա այն բաժանում է երկու նույնական ուղղանկյուն եռանկյունների։
Եռանկյուն բուրգ և դրա ապոտեմը որոշելու բանաձևեր
Ցանկացած կանոնավոր բուրգում կարևոր գծային բնութագրերն են նրա հիմքի կողմի երկարությունը, կողային եզրը b, բարձրությունը h և hb ապոտեմը: Այս մեծությունները միմյանց հետ կապված են համապատասխան բանաձեւերով, որոնք կարելի է ստանալ՝ բուրգ նկարելով և անհրաժեշտ ուղղանկյուն եռանկյունները դիտարկելով։
Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը բաղկացած է 4 եռանկյուն երեսից, և դրանցից մեկը (հիմքը) պետք է լինի հավասարակողմ։ Մնացածները ընդհանուր դեպքում հավասարաչափ են։ ապոտեմեռանկյուն բուրգը կարելի է որոշել այլ քանակներով՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևերը՝
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
Այս արտահայտություններից առաջինը վավեր է ցանկացած ճիշտ հիմք ունեցող բուրգի համար: Երկրորդ արտահայտությունը բնորոշ է միայն եռանկյուն բուրգին։ Այն ցույց է տալիս, որ ապոտեմը միշտ մեծ է նկարի բարձրությունից:
Մի շփոթեք բուրգի ապոտեմը բազմանիստի հետ: Վերջին դեպքում ապոտեմը ուղղահայաց հատված է, որը գծված է պոլիէդրոնի կողքին նրա կենտրոնից։ Օրինակ, հավասարակողմ եռանկյան ապոտեմը √3/6a է։
Ապոթեմի առաջադրանք
Թող տրվի կանոնավոր բուրգ, որի հիմքում եռանկյուն է: Անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա ապոտեմը, եթե հայտնի է, որ այս եռանկյան մակերեսը 34 սմ է2, իսկ բուրգը ինքնին բաղկացած է 4 միանման դեմքերից։
Խնդիրի պայմանին համապատասխան՝ գործ ունենք հավասարակողմ եռանկյուններից կազմված քառանիստի հետ։ Մեկ դեմքի տարածքի բանաձևն է՝
S=√3/4a2
Որտեղ մենք ստանում ենք a կողմի երկարությունը:
a=2√(S/√3)
hbապոտեմը որոշելու համար օգտագործում ենք b կողային եզր պարունակող բանաձևը: Քննարկվող դեպքում դրա երկարությունը հավասար է հիմքի երկարությանը, ունենք՝
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Փոխարինելով a-ի արժեքը S-ով,մենք ստանում ենք վերջնական բանաձևը՝
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Մենք ստացանք մի պարզ բանաձև, որում բուրգի ապոտեմը կախված է միայն դրա հիմքի մակերեսից: Եթե խնդրի պայմանից փոխարինենք S արժեքը, ապա կստանանք պատասխան՝ hb≈ 7, 674 սմ.
