Ծավալը և մակերեսը եռաչափ տարածության մեջ վերջավոր չափեր ունեցող ցանկացած մարմնի երկու կարևոր բնութագրիչն են: Այս հոդվածում մենք դիտարկում ենք պոլիեդրների հայտնի դասը՝ պրիզմաները: Մասնավորապես, կբացահայտվի այն հարցը, թե ինչպես գտնել ուղիղ պրիզմայի մակերեսը:
Ի՞նչ է պրիզմա?
Պրիզմա ցանկացած բազմանկյուն է, որը սահմանափակված է մի քանի զուգահեռականներով և երկու նույնական բազմանկյուններով, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում: Այս բազմանկյունները համարվում են պատկերի հիմքերը, իսկ նրա զուգահեռականները՝ կողմերը։ Հիմքի կողմերի (անկյունների) քանակը որոշում է գործչի անվանումը: Օրինակ՝ ստորև նկարը ցույց է տալիս հնգանկյուն պրիզմա։
Հիմքերի միջև հեռավորությունը կոչվում է պատկերի բարձրություն: Եթե բարձրությունը հավասար է ցանկացած կողային եզրի երկարությանը, ապա այդպիսի պրիզման ուղիղ կլինի։ Ուղիղ պրիզմայի երկրորդ բավարար հատկանիշն այն է, որ նրա բոլոր կողմերը ուղղանկյուն կամ քառակուսի են: Եթե, չնայածԵթե մի կողմը ընդհանուր զուգահեռագիծ է, ապա նկարը թեքված կլինի: Ստորև կարող եք տեսնել, թե ինչպես են ուղիղ և թեք պրիզմաները տեսողականորեն տարբերվում քառանկյուն պատկերների օրինակով:
Ուղիղ պրիզմայի մակերեսը
Եթե երկրաչափական պատկերն ունի n-անկյունային հիմք, ապա այն բաղկացած է n+2 դեմքերից, որոնցից n-ն ուղղանկյուններ են։ Հիմքի կողմերի երկարությունները նշանակենք ai, որտեղ i=1, 2, …, n, և նշենք պատկերի բարձրությունը, որը հավասար է երկարությանը: կողային եզրը, ինչպես հ. Բոլոր երեսների մակերեսի մակերեսը (S) որոշելու համար ավելացրեք յուրաքանչյուր հիմքի So մակերեսը և կողմերի (ուղղանկյունների) բոլոր մակերեսները: Այսպիսով, ընդհանուր ձևով S-ի բանաձևը կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝
S=2So+ Sb
Որտեղ Sb-ը կողային մակերեսի մակերեսն է։
Քանի որ ուղիղ պրիզմայի հիմքը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած հարթ բազմանկյուն, ապա So -ը հաշվարկելու համար չի կարող տրվել, և ընդհանուր առմամբ այս արժեքը որոշելու համար դեպքում, պետք է կատարվի երկրաչափական վերլուծություն. Օրինակ, եթե հիմքը կանոնավոր n-անկյուն է՝ a կողմով, ապա դրա մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով՝
So=n/4ctg(pi/n)a2
Ինչ վերաբերում է Sb-ի արժեքին, ապա կարելի է տալ դրա հաշվարկման արտահայտությունը: Ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսը հետևյալն է՝
Sb=h∑i=1(ai)
Այսինքն՝ արժեքըSb-ը հաշվարկվում է որպես գործչի բարձրության և դրա հիմքի պարագծի արտադրյալ:
Խնդիրների լուծման օրինակ
Ստած գիտելիքները կիրառենք հետևյալ երկրաչափական խնդիրը լուծելու համար. Տրվում է պրիզմա, որի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի կողմերը 5 սմ և 7 սմ ուղիղ անկյան տակ են: Նկարի բարձրությունը 10 սմ է: Անհրաժեշտ է գտնել ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի մակերեսը:
Նախ, եկեք հաշվարկենք եռանկյան հիպոթենուսը: Այն հավասար կլինի՝
c=√(52+ 72)=8,6 սմ
Այժմ կատարենք ևս մեկ նախապատրաստական մաթեմատիկական գործողություն՝ հաշվարկենք հիմքի պարագիծը։ Դա կլինի՝
P=5 + 7 + 8,6=20,6 սմ
Նկարի կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկվում է որպես P արժեքի և h=10 սմ բարձրության արտադրյալ, այսինքն՝ Sb=206 սմ 2.
Ողջ մակերեսի մակերեսը գտնելու համար գտնված արժեքին պետք է ավելացնել երկու հիմնական տարածք: Քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը որոշվում է ոտքերի արտադրյալի կեսով, մենք ստանում ենք՝
2So=257/2=35սմ2
Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ ուղիղ եռանկյուն պրիզմայի մակերեսը 35 + 206=241 սմ է2.
