Հավանաբար, ածանցյալ հասկացությունը մեզանից յուրաքանչյուրին ծանոթ է դեռ դպրոցական տարիներից: Սովորաբար ուսանողները դժվարությամբ են հասկանում սա, անկասկած, շատ կարևոր բանը։ Այն ակտիվորեն օգտագործվում է մարդկանց կյանքի տարբեր ոլորտներում, և շատ ինժեներական զարգացումներ հիմնված էին հենց մաթեմատիկական հաշվարկների վրա, որոնք ստացվել են ածանցյալի միջոցով: Բայց նախքան վերլուծությանը անցնելը, թե ինչ են թվերի ածանցյալները, ինչպես հաշվարկել դրանք և որտեղ են դրանք օգտակար մեզ համար, եկեք խորանանք պատմության մեջ:
Պատմություն
Ածանցյալ հասկացությունը, որը մաթեմատիկական վերլուծության հիմքն է, հայտնաբերել է (ավելի լավ է ասել՝ «հորինված է», քանի որ բնության մեջ որպես այդպիսին գոյություն չի ունեցել) բոլորիս ծանոթ Իսահակ Նյուտոնը. համընդհանուր ձգողության օրենքի բացահայտումից։ Հենց նա առաջինը կիրառեց այս հայեցակարգը ֆիզիկայում՝ կապելու մարմինների արագության և արագացման բնույթը: Եվ շատ գիտնականներ դեռ գովաբանում են Նյուտոնին այս հոյակապ գյուտի համար, քանի որ իրականում նա հորինել է դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի հիմքը, իրականում մաթեմատիկայի մի ամբողջ տարածքի հիմքը, որը կոչվում է «հաշվ»: Եթե այն ժամանակ Նոբելյան մրցանակը, Նյուտոնը մի քանի անգամ ստանար այն մեծ հավանականությամբ։
Ոչ առանց այլ մեծ մտքերի: Բացի ՆյուտոնիցՄաթեմատիկական այնպիսի ականավոր հանճարներ, ինչպիսիք են Լեոնհարդ Էյլերը, Լուի Լագրանժը և Գոթֆրիդ Լայբնիցը, աշխատել են ածանցյալի և ինտեգրալի զարգացման վրա: Նրանց շնորհիվ է, որ մենք ստացել ենք դիֆերենցիալ հաշվարկի տեսությունը այն տեսքով, որով այն գոյություն ունի մինչ օրս։ Ի դեպ, հենց Լայբնիցը հայտնաբերեց ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը, որը պարզվեց, որ ոչ այլ ինչ է, քան ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության շոշափում։։
Որո՞նք են թվերի ածանցյալները: Եկեք մի փոքր կրկնենք այն, ինչի միջով անցել ենք դպրոցում։
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Այս հայեցակարգը կարող է սահմանվել մի քանի տարբեր ձևերով: Ամենապարզ բացատրությունն այն է, որ ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։ Պատկերացրեք x-ի y ֆունկցիայի գրաֆիկը: Եթե այն ուղիղ չէ, ապա գրաֆիկում ունի որոշ կորեր, աճի և նվազման ժամանակաշրջաններ։ Եթե վերցնենք այս գրաֆիկի անսահման փոքր միջակայքը, ապա այն ուղիղ գծի հատված կլինի: Այսպիսով, y կոորդինատի երկայնքով այս անսահման փոքր հատվածի չափի հարաբերակցությունը x կոորդինատի երկայնքով մեծությանը կլինի այս ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում: Եթե ֆունկցիան դիտարկենք որպես ամբողջություն, այլ ոչ թե կոնկրետ կետում, ապա կստանանք ածանցյալ ֆունկցիա, այսինքն՝ y-ի որոշակի կախվածություն x-ից։
Բացի այդ, բացի ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունից՝ որպես ֆունկցիայի փոփոխության արագություն, կա նաև երկրաչափական նշանակություն։ Մենք հիմա կխոսենք նրա մասին։
Երկրաչափական իմաստ
Թվերի ածանցյալներն իրենք են ներկայացնում որոշակի թիվ, որը, առանց պատշաճ հասկանալու, չի կրումոչ մի կետ. Ստացվում է, որ ածանցյալը ոչ միայն ցույց է տալիս ֆունկցիայի աճի կամ նվազման արագությունը, այլ նաև տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության շոշափողը։ Ոչ այնքան հստակ սահմանում: Եկեք վերլուծենք այն ավելի մանրամասն: Ենթադրենք, ունենք ֆունկցիայի գրաֆիկ (հետաքրքրության համար վերցնենք կորը): Այն ունի անսահման թվով կետեր, բայց կան տարածքներ, որտեղ միայն մեկ կետն ունի առավելագույն կամ նվազագույն: Ցանկացած նման կետով կարելի է գծել մի գիծ, որն ուղղահայաց կլինի տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին։ Նման գիծը կկոչվի շոշափող: Ենթադրենք, մենք այն ծախսել ենք OX առանցքի հետ խաչմերուկում: Այսպիսով, շոշափողի և OX առանցքի միջև ստացված անկյունը կորոշվի ածանցյալով: Ավելի ճիշտ՝ այս անկյան շոշափողը հավասար կլինի դրան։
Եկեք մի փոքր խոսենք հատուկ դեպքերի մասին և վերլուծենք թվերի ածանցյալները:
Հատուկ դեպքեր
Ինչպես արդեն ասացինք, թվերի ածանցյալները որոշակի կետում ածանցյալի արժեքներն են: Օրինակ՝ վերցնենք y=x2 ֆունկցիան։ x-ի ածանցյալը թիվ է, իսկ ընդհանուր դեպքում՝ 2x-ի հավասար ֆունկցիա։ Եթե մեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել ածանցյալը, ասենք, x0=1 կետում, ապա մենք ստանում ենք y'(1)=21=2: Ամեն ինչ շատ պարզ է. Հետաքրքիր դեպք է բարդ թվի ածանցյալը: Մենք չենք խորանա մանրամասն բացատրության մեջ, թե ինչ է բարդ թիվը: Պարզապես ասենք, որ սա այն թիվն է, որը պարունակում է այսպես կոչված երևակայական միավոր՝ մի թիվ, որի քառակուսին -1 է: Նման ածանցյալի հաշվարկը հնարավոր է միայն հետևյալի դեպքումպայմաններ:
1) Պետք է լինեն իրական և երևակայական մասերի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ Y-ի և X-ի նկատմամբ:
2) Առաջին պարբերությունում նկարագրված մասնակի ածանցյալների հավասարության հետ կապված Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են:
Մեկ այլ հետաքրքիր դեպք, թեև ոչ այնքան բարդ, որքան նախորդը, բացասական թվի ածանցյալն է։ Իրականում ցանկացած բացասական թիվ կարելի է ներկայացնել որպես դրական թիվ՝ բազմապատկած -1-ով: Դե, հաստատունի և ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է հաստատունին, որը բազմապատկվում է ֆունկցիայի ածանցյալով։
Հետաքրքիր կլինի իմանալ ածանցյալի դերի մասին առօրյա կյանքում, և սա այն է, ինչ մենք կքննարկենք հիմա:
Դիմում
Հավանաբար, մեզանից յուրաքանչյուրն իր կյանքում գոնե մեկ անգամ բռնում է իրեն՝ մտածելով, որ մաթեմատիկան դժվար թե իրեն օգտակար լինի: Իսկ ածանցյալի նման բարդ բանը, հավանաբար, ընդհանրապես կիրառություն չունի։ Իրականում մաթեմատիկան հիմնարար գիտություն է, և դրա բոլոր պտուղները զարգացնում են հիմնականում ֆիզիկան, քիմիան, աստղագիտությունը և նույնիսկ տնտեսագիտությունը: Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբն էր, որը մեզ հնարավորություն տվեց ֆունկցիաների գրաֆիկներից եզրակացություններ անել, և մենք սովորեցինք մեկնաբանել բնության օրենքները և դրա շնորհիվ դրանք վերածել մեր օգտին։
Եզրակացություն
Իհարկե, ոչ բոլորին կարող է անհրաժեշտ լինել ածանցյալ իրական կյանքում: Բայց մաթեմատիկան զարգացնում է տրամաբանությունը, որն անշուշտ պետք կգա։ Իզուր չէ, որ մաթեմատիկան կոչվում է գիտությունների թագուհի. այն հիմք է հանդիսանում գիտելիքի այլ ոլորտները հասկանալու համար։
