Եռանկյունը հարթության վրա փակված ամենապարզ պատկերն է, որը բաղկացած է ընդամենը երեք փոխկապակցված հատվածից: Երկրաչափության խնդիրներում հաճախ անհրաժեշտ է որոշել այս գործչի տարածքը: Ի՞նչ է պետք իմանալ դրա համար: Հոդվածում մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը երեք կողմերից:
Ընդհանուր բանաձև
Յուրաքանչյուր աշակերտ գիտի, որ եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է որպես նրա ցանկացած կողմի երկարության արտադրյալը՝ a բարձրության կեսը - h, իջեցված դեպի ընտրված կողմը: Ստորև ներկայացված է համապատասխան բանաձևը՝ S=ah/2.
Այս արտահայտությունը կարող է օգտագործվել, եթե հայտնի են առնվազն երկու կողմերը և նրանց միջև անկյան արժեքը: Այս դեպքում h բարձրությունը հեշտ է հաշվարկել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, օրինակ՝ սինուսը։ Բայց ոչ բոլորը գիտեն, թե ինչպես գտնել եռանկյան երեք կողմերի տարածքը:
Հերոնի բանաձև
Այս բանաձևը այն հարցի պատասխանն է, թե ինչպեսերեք կողմերը գտնում են եռանկյան մակերեսը: Նախքան այն գրելը, կամայական պատկերի հատվածների երկարությունները նշանակենք a, b և c: Հերոնի բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ. S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Որտեղ p-ն նկարի կես պարագիծն է, այսինքն՝ p=(a+b+c)/2.
Չնայած թվացյալ ծանրությանը, S տարածքի վերը նշված արտահայտությունը հեշտ է հիշել: Դա անելու համար նախ պետք է հաշվարկել եռանկյան կիսաշրջագիծը, ապա դրանից հանել նկարի կողմի մեկ երկարությամբ, բազմապատկել ստացված բոլոր տարբերությունները և բուն կիսաշրջագիծը։ Վերջապես վերցրեք արտադրանքի քառակուսի արմատը:
Այս բանաձևը կոչվում է Հերոն Ալեքսանդրացու անունով, ով ապրել է մեր դարաշրջանի սկզբում: Ժամանակակից պատմությունը կարծում է, որ հենց այս փիլիսոփան է առաջինը կիրառել այս արտահայտությունը՝ համապատասխան հաշվարկներ կատարելու համար։ Այս բանաձևը հրապարակված է նրա Metrica-ում, որը թվագրվում է մ.թ. 60-ով: Նկատի ունեցեք, որ Արքիմեդի որոշ աշխատություններ, ով ապրել է Հերոնից երկու դար առաջ, նշաններ են պարունակում, որ հույն փիլիսոփան արդեն գիտեր բանաձևը։ Բացի այդ, հին չինացիները նաև գիտեին, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը՝ իմանալով երեք կողմերը:
Կարևոր է նշել, որ խնդիրը կարող է լուծվել առանց Հերոնի բանաձևի գոյության մասին իմանալու: Դա անելու համար եռանկյան մեջ գծեք մի քանի բարձրություն և օգտագործեք նախորդ պարբերության ընդհանուր բանաձևը՝ կազմելով հավասարումների համապատասխան համակարգը։
Հերոնի արտահայտությունը կարող է օգտագործվել կամայական բազմանկյունների մակերեսները հաշվարկելու համար՝ դրանք բաժանելուց հետո։եռանկյունների և ստացված անկյունագծերի երկարությունների հաշվում։
Խնդիրների լուծման օրինակ
Իմանալով, թե ինչպես գտնել երեք կողմերի եռանկյան մակերեսը, եկեք համախմբենք մեր գիտելիքները՝ լուծելով հետևյալ խնդիրը. Նկարի կողմերը թող լինեն 5 սմ, 4 սմ և 3 սմ։Գտե՛ք մակերեսը։
Եռանկյան երեք կողմերը հայտնի են, այնպես որ կարող եք օգտագործել Հերոնի բանաձևը: Հաշվում ենք կիսաշրջագիծը և անհրաժեշտ տարբերությունները, ունենում ենք՝
- p=(a+b+c)/2=6 սմ;
- p-a=1սմ;
- p-b=2սմ;
- p-c=3 սմ.
Այնուհետև մենք ստանում ենք տարածքը՝ S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 սմ2.
Խնդիրի պայմանում տրված եռանկյունը ուղղանկյուն է, որը հեշտ է ստուգել, արդյո՞ք օգտագործում եք Պյութագորասի թեորեմը։ Քանի որ նման եռանկյունու մակերեսը ոտքերի արտադրյալի կեսն է, մենք ստանում ենք՝ S=43/2=6 սմ2.
Ստացված արժեքը նույնն է, ինչ Հերոնի բանաձևին, որը հաստատում է վերջինիս վավերականությունը։
