Ինչպես գտնել մատրիցների արտադրյալը: Մատրիցային բազմապատկում. Մատրիցների սկալյար արտադրյալ: Երեք մատրիցների արտադրանք

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Մատրիցները (թվային տարրերով աղյուսակներ) կարող են օգտագործվել տարբեր հաշվարկների համար: Դրանցից մի քանիսը բազմապատկվում են թվով, վեկտորով, մեկ այլ մատրիցով, մի քանի մատրիցով: Ապրանքը երբեմն սխալ է: Սխալ արդյունքը հաշվողական գործողություններ կատարելու կանոնների անտեղյակության արդյունք է։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես անել բազմապատկում:

Մատրիցա և համար

Սկսենք ամենապարզ բանից՝ թվերով աղյուսակը որոշակի արժեքով բազմապատկելուց: Օրինակ՝ մենք ունենք A մատրիցա a_ij տարրերով (i-ն տողերի համարներն են, իսկ j-ն՝ սյունակի համարները) և e թիվը: Մատրիցի արտադրյալը e թվով կլինի B մատրիցը՝ b_ij տարրերով, որոնք գտնված են բանաձևով՝

:

b_ij=e × a_ij.

T. e. b₁₁ տարրը ստանալու համար անհրաժեշտ է վերցնել a₁₁ տարրը և այն բազմապատկել ցանկալի թվով, որպեսզի ստացվի b_12: պահանջվում է գտնել a₁₂ տարրի արտադրյալը և e թիվը և այլն:

Լուծենք նկարում ներկայացված թիվ 1 խնդիրը։ B մատրիցը ստանալու համար պարզապես A-ի տարրերը բազմապատկեք 3-ով:

1. a₁₁ × 3=18: Այս արժեքը գրում ենք B մատրիցում այն տեղում, որտեղ հատվում են թիվ 1 սյունակը և թիվ 1 տողը:
2. a₂₁ × 3=15. Մենք ստացանք b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6: Մենք ստացանք b₁₂ տարրը: Մենք այն գրում ենք B մատրիցով այն տեղում, որտեղ հատվում են 2 սյունակը և 1 տողը:
4. a₂₂ × 3=9: Այս արդյունքը b₂₂.

տարրն է

5. a₁₃ × 3=12: Մուտքագրեք այս թիվը մատրիցայում b₁₃ տարրի փոխարեն:
6. a₂₃ × 3=-3: Ստացված վերջին թիվը b₂₃ տարրն է:

Այսպիսով, մենք ստացանք ուղղանկյուն զանգված՝ թվային տարրերով։

18	–6	12
15	9	–3

Վեկտորները և մատրիցների արտադրյալի գոյության պայմանը

Մաթեմատիկական առարկաներում կա «վեկտոր» հասկացություն։ Այս տերմինը վերաբերում է կարգավորված արժեքների շարքին՝ a₁-ից մինչև : Դրանք կոչվում են վեկտորային տարածության կոորդինատներ և գրվում են որպես սյունակ։ Գոյություն ունի նաև «փոխադրված վեկտոր» տերմինը։ Դրա բաղադրիչները դասավորված են որպես տող։

Վեկտորները կարելի է անվանել մատրիցներ.

• սյունակի վեկտորը մատրից է, որը կառուցված է մեկ սյունակից;
• տող վեկտորը մատրից է, որը ներառում է միայն մեկ տող:

Երբ պատրաստ էԲազմապատկման գործողությունների մատրիցների վրա կարևոր է հիշել, որ ապրանքի գոյության պայման կա: A × B հաշվողական գործողությունը կարող է իրականացվել միայն այն դեպքում, երբ A աղյուսակի սյունակների թիվը հավասար է B աղյուսակի տողերի թվին: Հաշվարկից ստացված մատրիցը միշտ ունի A աղյուսակի տողերի և սյունակների քանակը աղյուսակում B.

Բազմապատկելիս խորհուրդ չի տրվում վերադասավորել մատրիցները (բազմապատկիչներ): Նրանց արտադրյալը սովորաբար չի համապատասխանում բազմապատկման կոմուտատիվ (տեղաշարժման) օրենքին, այսինքն՝ A × B գործողության արդյունքը հավասար չէ B × A գործողության արդյունքին: Այս հատկանիշը կոչվում է արտադրյալի ոչ փոխադարձություն: մատրիցներ. Որոշ դեպքերում A × B բազմապատկման արդյունքը հավասար է B × A բազմապատկման արդյունքին, այսինքն՝ արտադրյալը կոմուտատիվ է։ Մատրիցները, որոնց համար գործում է A × B=B × A հավասարությունը, կոչվում են փոխակերպման մատրիցներ: Նման աղյուսակների օրինակները տե՛ս ստորև։

Բազմապատկում սյունակի վեկտորով

Մատրիցը սյունակով վեկտորով բազմապատկելիս պետք է հաշվի առնել արտադրյալի գոյության պայմանը։ Աղյուսակում (n) սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի վեկտորը կազմող կոորդինատների թվին: Հաշվարկի արդյունքը փոխակերպված վեկտորն է։ Նրա կոորդինատների թիվը հավասար է աղյուսակի տողերի թվին (մ):

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում y վեկտորի կոորդինատները, եթե կա մատրից A և x վեկտոր: Ստեղծված բանաձևերի հաշվարկների համար՝

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

……………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a} րոպե_x ,

որտեղ x₁, …, x կոորդինատներ են x-վեկտորից, m-ը մատրիցում տողերի թիվն է և թիվը կոորդինատների նոր y- վեկտորում, n-ը մատրիցում սյունակների և x-վեկտորի կոորդինատների թիվն է, a₁₁, a_{12, …, a}mn– Ա մատրիցի տարրեր.

Այսպիսով, նոր վեկտորի i-րդ բաղադրիչը ստանալու համար կատարվում է սկալյար արտադրյալը։ i-րդ շարքի վեկտորը վերցված է A մատրիցից և այն բազմապատկվում է հասանելի x վեկտորով:

Եկեք լուծենք 2 խնդիրը: Դուք կարող եք գտնել մատրիցայի և վեկտորի արտադրյալը, քանի որ A-ն ունի 3 սյունակ, իսկ x-ը բաղկացած է 3 կոորդինատներից: Արդյունքում մենք պետք է ստանանք 4 կոորդինատներով սյունակային վեկտոր։ Եկեք օգտագործենք վերը նշված բանաձևերը.

1. Հաշվե՛ք y₁: 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Վերջնական արժեքը 2 է.
2. Հաշվե՛ք y₂: 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Հաշվարկելիս ստանում ենք 0.
3. Հաշվե՛ք y₃: 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Նշված գործակիցների արտադրյալների գումարը 6 է։
4. Հաշվե՛ք y₄: (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Կոորդինատը -8 է։

Տող վեկտոր-մատրիցի բազմապատկում

Դուք չեք կարող բազմապատկել մի քանի սյունակներով մատրիցը տող վեկտորով: Նման դեպքերում ստեղծագործության գոյության պայմանը չի բավարարվում։ Բայց շարքի վեկտորի բազմապատկումը մատրիցով հնարավոր է: Սահաշվողական գործողությունը կատարվում է, երբ վեկտորի կոորդինատների թիվը և աղյուսակի տողերի թիվը համընկնում են: Վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի արդյունքը նոր տող վեկտոր է: Դրա կոորդինատների թիվը պետք է հավասար լինի մատրիցայի սյունակների թվին:

Նոր վեկտորի առաջին կոորդինատը հաշվելը ներառում է աղյուսակից տողի վեկտորի և առաջին սյունակի վեկտորի բազմապատկումը: Երկրորդ կոորդինատը հաշվարկվում է նույն ձևով, սակայն առաջին սյունակի վեկտորի փոխարեն վերցվում է երկրորդ սյունակի վեկտորը։ Ահա կոորդինատների հաշվարկման ընդհանուր բանաձևը՝

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _մ, որտեղ y_k կոորդինատ է y-վեկտորից, (k-ը 1-ի և n-ի միջև է), m-ը մատրիցում տողերի և կոորդինատների քանակը է: x-վեկտորում n-ը մատրիցում սյունակների թիվն է և y-վեկտորի կոորդինատների թիվը, a այբբենական թվային ինդեքսներով A մատրիցի տարրերն են:

Ուղղանկյուն մատրիցների արտադրություն

Այս հաշվարկը կարող է բարդ թվալ: Այնուամենայնիվ, բազմապատկումը հեշտությամբ կատարվում է: Սկսենք սահմանումից. M տողերով և n սյունակներով A մատրիցի և n տողերով և p սյունակներով B մատրիցի արտադրյալը m տողերով և p սյունակներով C մատրիցն է, որում c_ij տարրը A աղյուսակից i-րդ շարքի տարրերի և B աղյուսակի j-րդ սյունակի արտադրյալների գումարը: Ավելի պարզ ասած՝ c_ij տարրը i-րդ շարքի սկալյար արտադրյալն է: վեկտորը A աղյուսակից և j-րդ սյունակի վեկտորը B աղյուսակից:

Այժմ եկեք գործնականում պարզենք, թե ինչպես գտնել ուղղանկյուն մատրիցների արտադրյալը: Սրա համար լուծենք թիվ 3 խնդիրը, ապրանքի առկայության պայմանը բավարարված է։ Սկսենք հաշվարկել c_ij:

տարրերը

1. Մատրից C-ն կունենա 2 տող և 3 սյունակ:
2. Հաշվարկեք c₁₁: Դա անելու համար մենք կատարում ենք թիվ 1 տողի սկալյար արտադրյալը A մատրիցից և թիվ 1 սյունակը՝ B մատրիցից: c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Այնուհետև մենք շարունակում ենք նույն կերպ՝ փոխելով միայն տողերը, սյունակները (կախված տարրի ինդեքսից):
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Էլեմենտները հաշվարկված են։ Այժմ մնում է միայն ստացված թվերի ուղղանկյուն բլոկ կազմելը։

16	12	9
31	18	36

Երեք մատրիցների բազմապատկում. տեսական մաս

Կարո՞ղ եք գտնել երեք մատրիցների արտադրյալը: Այս հաշվողական գործողությունը իրագործելի է: Արդյունքը կարելի է ձեռք բերել մի քանի ձևով. Օրինակ, կան 3 քառակուսի աղյուսակներ (նույն կարգի)՝ A, B և C: Արտադրյալը հաշվարկելու համար կարող եք՝

1. Սկզբում բազմապատկեք A-ն և B-ն: Այնուհետև արդյունքը բազմապատկեք C-ով:
2. Նախ գտեք B-ի և C-ի արտադրյալը: Այնուհետև A մատրիցը բազմապատկեք արդյունքով:

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել ուղղանկյուն մատրիցները, ապա նախ պետք է համոզվեք, որ այս հաշվողական գործողությունը հնարավոր է: Պետք էգոյություն ունեն A × B և B × C արտադրանքները:

Ավելացվող բազմապատկումը սխալ չէ: «Մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն» հասկացություն կա։ Այս տերմինը վերաբերում է հավասարությանը (A × B) × C=A × (B × C):

Երեք մատրիցային բազմապատկման պրակտիկա

Քառակուսի մատրիցներ

Սկսեք բազմապատկելով փոքր քառակուսի մատրիցները: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս թիվ 4 խնդիրը, որը մենք պետք է լուծենք։

Մենք կօգտագործենք ասոցիատիվ հատկությունը: Սկզբում մենք բազմապատկում ենք կա՛մ A-ն ու B-ը, կա՛մ B-ն և C-ն: Հիշում ենք միայն մեկ բան. չես կարող փոխարկել գործակիցները, այսինքն՝ չես կարող բազմապատկել B × A կամ C × B: Այս բազմապատկմամբ մենք կստանանք սխալ արդյունք։

Որոշման առաջընթաց։

Քայլ առաջին. Ընդհանուր արտադրյալը գտնելու համար մենք նախ բազմապատկում ենք A-ն B-ով: Երկու մատրիցաները բազմապատկելիս կառաջնորդվենք վերը նկարագրված կանոններով: Այսպիսով, A-ի և B-ի բազմապատկման արդյունքը կլինի D մատրիցա՝ 2 տողով և 2 սյունակով, այսինքն՝ ուղղանկյուն զանգվածը կներառի 4 տարր։ Եկեք գտնենք դրանք՝ կատարելով հաշվարկը՝

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Միջանկյալ արդյունքը պատրաստ է։

30	10
15	16

Քայլ երկրորդ. Հիմա եկեք D մատրիցը բազմապատկենք C մատրիցով: Արդյունքում պետք է լինի քառակուսի մատրիցա G 2 տողով և 2 սյունակով: Հաշվել տարրերը՝

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Այսպիսով, քառակուսի մատրիցների արտադրյալի արդյունքը հաշվարկված տարրերով G աղյուսակն է:

250	180
136	123

Ուղղանկյուն մատրիցներ

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս 5-րդ խնդիրը: Անհրաժեշտ է բազմապատկել ուղղանկյուն մատրիցները և գտնել լուծում:

Ստուգենք՝ բավարարվա՞ծ է A × B և B × C արտադրյալների առկայության պայմանը Նշված մատրիցների կարգերը թույլ են տալիս բազմապատկել։ Եկեք սկսենք լուծել խնդիրը։

Որոշման առաջընթաց։

Քայլ առաջին. Բ-ն բազմապատկեք C-ով և ստացեք D: B մատրիցն ունի 3 տող և 4 սյունակ, իսկ C մատրիցը՝ 4 տող և 2 սյունակ: Սա նշանակում է, որ մենք կստանանք D մատրիցա՝ 3 տողով և 2 սյունակով։ Եկեք հաշվարկենք տարրերը. Ահա 2 հաշվարկման օրինակ՝

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Մենք շարունակում ենք լուծել խնդիրը. Հետագա հաշվարկների արդյունքում մենք գտնում ենք d₂₁, d₂ արժեքները 2, դ₃₁ և դ₃₂: Այս տարրերը համապատասխանաբար 0, 19, 1 և 11 են: Գտնված արժեքները գրենք ուղղանկյուն զանգվածի մեջ։

0	7
0	19
1	11

Քայլ երկրորդ. Բազմապատկեք A-ն D-ով և ստացեք վերջնական F մատրիցը: Այն կունենա 2 տող և 2 սյունակ: Հաշվել տարրերը՝

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Կազմեք ուղղանկյուն զանգված, որը երեք մատրիցների բազմապատկման վերջնական արդյունքն է։

1	139
3	52

Ներածություն անմիջական աշխատանքի

Բավական դժվար հասկանալի նյութը մատրիցների Kronecker արդյունքն է: Այն ունի նաև հավելյալ անվանում՝ անմիջական աշխատանք։ Ի՞նչ է նշանակում այս տերմինը: Ենթադրենք, ունենք m × n կարգի A աղյուսակ և p × q կարգի B աղյուսակ: A մատրիցի և B մատրիցի ուղղակի արտադրյալը կարգի մատրից է mp × nq:

Ունենք 2 քառակուսի մատրիցա A, B, որոնք ներկայացված են նկարում։ Առաջինն ունի 2 սյունակ և 2 տող, իսկ երկրորդը՝ 3 սյունակ և 3 տող։ Մենք տեսնում ենք, որ ուղղակի արտադրյալից ստացվող մատրիցը բաղկացած է 6 տողից և ճիշտ նույն թվով սյունակներից։

Ինչպե՞ս են նոր մատրիցայի տարրերը հաշվարկվում ուղղակի արտադրյալում: Այս հարցի պատասխանը գտնելը շատ հեշտ է, եթե նկարը վերլուծես։ Նախ լրացրեք առաջին տողը: Վերցրեք առաջին տարրը A աղյուսակի վերին շարքից և հաջորդաբար բազմապատկեք առաջին շարքի տարրերովB աղյուսակից: Այնուհետև վերցրեք A աղյուսակի առաջին շարքի երկրորդ տարրը և հաջորդաբար բազմապատկեք B աղյուսակի առաջին շարքի տարրերով: Երկրորդ շարքը լրացնելու համար կրկին վերցրեք առաջին տարրը A աղյուսակի առաջին շարքից և բազմապատկել այն B աղյուսակի երկրորդ շարքի տարրերով։

Ուղիղ արտադրյալով ստացված վերջնական մատրիցը կոչվում է բլոկային մատրիցա։ Եթե նորից վերլուծենք նկարը, ապա կտեսնենք, որ մեր արդյունքը բաղկացած է 4 բլոկից։ Դրանք բոլորը ներառում են B մատրիցի տարրեր: Բացի այդ, յուրաքանչյուր բլոկի տարրը բազմապատկվում է A մատրիցի որոշակի տարրով: Առաջին բլոկում բոլոր տարրերը բազմապատկվում են a₁₁-ով, երկրորդը՝ _{12 -ով, երրորդում՝} 21_{-ով, չորրորդում՝} 22_-ով:

Արտադրանքի որոշիչ

Մատրիցային բազմապատկման թեման քննարկելիս արժե դիտարկել այնպիսի տերմին, ինչպիսին է «մատրիցների արտադրյալի որոշիչը»: Ի՞նչ է որոշիչը: Սա քառակուսի մատրիցայի կարևոր բնութագիր է, որոշակի արժեք, որը վերագրվում է այս մատրիցին: Որոշիչի բառացի նշանակումը det է։

Երկու սյունակից և երկու տողից բաղկացած մատրիցայի համար որոշիչը հեշտ է գտնել: Կա մի փոքր բանաձև, որը տարբերվում է որոշակի տարրերի արտադրանքների միջև.

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Եկեք դիտարկենք երկրորդ կարգի աղյուսակի որոշիչի հաշվարկման օրինակ: Կա A մատրիցա, որտեղ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 և a22_{=1: Որոշիչը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 մատրիցների համար որոշիչը հաշվարկվում է ավելի բարդ բանաձևով: Այն ներկայացված է ստորև A մատրիցի համար:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_ա31 _{+ a}13_ա21_{ա 32} – ա₁₃ա₂₂ա₃₁ – ա₁₁ ա₂₃ա₃₂ – ա₁₂ա₂₁ ա₃₃.

Բանաձևը հիշելու համար մենք գտանք եռանկյունու կանոնը, որը պատկերված է նկարում: Նախ, հիմնական անկյունագծի տարրերը բազմապատկվում են: Ստացված արժեքին ավելացվում են այդ տարրերի արտադրյալները, որոնք նշված են կարմիր կողմերով եռանկյունների անկյուններով։ Այնուհետև հանվում է երկրորդական անկյունագծի տարրերի արտադրյալը և հանվում են կապույտ կողմերով եռանկյունների անկյուններով նշված տարրերի արտադրյալները:

Հիմա խոսենք մատրիցների արտադրյալի որոշիչի մասին։ Կա մի թեորեմ, որն ասում է, որ այս ցուցանիշը հավասար է բազմապատկիչ աղյուսակների որոշիչների արտադրյալին։ Սա ստուգենք օրինակով։ Մենք ունենք A մատրիցա՝ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 և a22_{=1 և B մատրիցան b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 և b}22_{=2. Գտեք A և B մատրիցների, A × B արտադրյալի և այս արտադրյալի որոշիչները:}

Որոշման առաջընթաց։

Քայլ առաջին. Հաշվե՛ք Ա-ի որոշիչը՝ det A=2 × 1 – 3 × 1=–1: Հաջորդը, հաշվարկեք B-ի որոշիչը՝ det B=4 × 2 – 5 × 1=3:

Քայլ երկրորդ. Եկեք գտնենքԱրտադրյալ A × B. Նշեք նոր մատրիցը C տառով: Հաշվե՛ք դրա տարրերը՝

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Քայլ երրորդ. Հաշվե՛ք C-ի որոշիչը՝ det C=11 × 7 – 16 × 5=–3: Համեմատեք այն արժեքի հետ, որը կարելի է ստանալ սկզբնական մատրիցների որոշիչները բազմապատկելով: Թվերը նույնն են. Վերոհիշյալ թեորեմը ճիշտ է։

Ապրանքի վարկանիշ

Մատրիցայի աստիճանը բնութագրիչ է, որն արտացոլում է գծային անկախ տողերի կամ սյունակների առավելագույն քանակը: Ռանգը հաշվարկելու համար կատարվում են մատրիցայի տարրական փոխակերպումներ՝

• երկու զուգահեռ տողերի վերադասավորում;
• աղյուսակի որոշակի տողի բոլոր տարրերի բազմապատկում ոչ զրոյական թվով;
• ավելացում մեկ այլ տողի տարրերի մի շարքի տարրերին, որոնք բազմապատկվում են որոշակի թվով:

Տարրական փոխակերպումներից հետո նայեք ոչ զրոյական տողերի թվին։ Նրանց թիվը մատրիցայի աստիճանն է: Դիտարկենք նախորդ օրինակը։ Այն ներկայացնում էր 2 մատրիցա՝ A տարրերով a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 և a₂₂ =1 և B տարրերով b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 և b}22_{=2. Կօգտագործենք նաև բազմապատկման արդյունքում ստացված C մատրիցը։ Եթե տարրական փոխակերպումներ կատարենք, ապա պարզեցված մատրիցներում զրոյական տողեր չեն լինի։ Սա նշանակում է, որ և՛ A աղյուսակի դասակարգումը, և՛ B աղյուսակի վարկանիշը, և՛ դասակարգումըC աղյուսակը 2 է.}

Այժմ եկեք հատուկ ուշադրություն դարձնենք մատրիցների արտադրյալի դասակարգմանը։ Կա մի թեորեմ, որն ասում է, որ թվային տարրեր պարունակող աղյուսակների արտադրյալի աստիճանը չի գերազանցում որևէ գործոնի դասակարգումը։ Սա կարելի է ապացուցել։ Թող A-ն լինի k × s մատրիցա, իսկ B-ը՝ s × m մատրիցա: A-ի և B-ի արտադրյալը հավասար է C-ի:

Եկեք ուսումնասիրենք վերևի նկարը։ Այն ցույց է տալիս C մատրիցայի առաջին սյունակը և դրա պարզեցված նշումը: Այս սյունակը A մատրիցում ներառված սյունակների գծային համակցությունն է: Նմանապես, կարելի է ասել C ուղղանկյուն զանգվածից ցանկացած այլ սյունակի մասին: Այսպիսով, C աղյուսակի սյունակների վեկտորների կողմից ձևավորված ենթատարածությունը գտնվում է ենթատարածության մեջ, որը ձևավորվում է C-ի կողմից: A աղյուսակի սյունակային վեկտորները: Այսպիսով, թիվ 1 ենթատարածքի չափը չի գերազանցում թիվ 2 ենթատարածության չափը: այսինքն՝ r(C) ≦ r(A): Եթե մենք վիճենք նմանատիպ ձևով, ապա կարող ենք համոզվել, որ C մատրիցի տողերը B մատրիցի տողերի գծային համակցություններ են: Սա ենթադրում է r(C) ≦ r(B).

անհավասարություն:

Ինչպես գտնել մատրիցների արտադրյալը բավականին բարդ թեմա է: Այն կարելի է հեշտությամբ յուրացնել, սակայն նման արդյունքի հասնելու համար պետք է շատ ժամանակ ծախսել՝ անգիր անելով գոյություն ունեցող բոլոր կանոններն ու թեորեմները։