Եռանկյունը ամենատարածված երկրաչափական պատկերներից է, որին մեզ արդեն ծանոթ են տարրական դպրոցում: Հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, բախվում է յուրաքանչյուր ուսանողի երկրաչափության դասերին: Այսպիսով, որո՞նք են տվյալ գործչի տարածքը գտնելու առանձնահատկությունները, որոնք կարելի է առանձնացնել: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք նման առաջադրանքը կատարելու համար անհրաժեշտ հիմնական բանաձևերը, ինչպես նաև կվերլուծենք եռանկյունների տեսակները:
Եռանկյունների տեսակներ
Եռանկյան մակերեսը կարող եք գտնել բոլորովին տարբեր ձևերով, քանի որ երկրաչափության մեջ կա երեք անկյուն պարունակող մեկից ավելի պատկեր: Այս տեսակները ներառում են՝
- Սուր եռանկյուն.
- Obt-angled.
- Հավասարակողմ (ճիշտ).
- Ուղղանկյուն եռանկյուն.
- Isosceles.
Եկեք ավելի մոտիկից նայենք եռանկյունների առկա տեսակներից յուրաքանչյուրին:
Սուրեռանկյունի
Նման երկրաչափական պատկերը համարվում է ամենատարածվածը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ Երբ կամայական եռանկյունի գծելու անհրաժեշտություն է առաջանում, այս տարբերակը օգնության է հասնում։
Սուր եռանկյունում, ինչպես ենթադրում է անունը, բոլոր անկյունները սուր են և գումարվում են մինչև 180°:
Օբթանկյուն եռանկյուն
Այս եռանկյունը նույնպես շատ տարածված է, բայց որոշ չափով ավելի քիչ տարածված է, քան սուր անկյունով: Օրինակ՝ եռանկյուններ լուծելիս (այսինքն՝ գիտես նրա մի քանի կողմերն ու անկյունները, և պետք է գտնել մնացած տարրերը), երբեմն պետք է որոշել՝ անկյունը բութ է, թե ոչ։ Բութ անկյան կոսինուսը բացասական թիվ է։
Բութ եռանկյունում անկյուններից մեկի արժեքը գերազանցում է 90°-ը, ուստի մնացած երկու անկյունները կարող են փոքր արժեքներ ունենալ (օրինակ՝ 15° կամ նույնիսկ 3°):
Այս տեսակի եռանկյունու մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ որոշ նրբերանգներ, որոնց մասին կխոսենք ավելի ուշ:
Կանոնավոր և հավասարաչափ եռանկյուններ
Կանոնավոր բազմանկյունը այն պատկերն է, որը ներառում է n անկյուն և բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են: Սա ուղղանկյուն եռանկյունին է: Քանի որ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է, երեք անկյուններից յուրաքանչյուրը 60° է։
Կանոնավոր եռանկյունին, իր հատկության շնորհիվ, կոչվում է նաև հավասարակողմ պատկեր։
Հարկ է նշել նաև, որ քԿանոնավոր եռանկյունին կարելի է մակագրել միայն մեկ շրջան, և միայն մեկ շրջան կարելի է շրջագծել նրա շուրջը, և դրանց կենտրոնները գտնվում են մեկ կետում:
Բացի հավասարակողմ տիպից կարելի է ընտրել նաև հավասարաչափ եռանկյուն, որը փոքր-ինչ տարբերվում է նրանից։ Նման եռանկյունում երկու կողմերն ու երկու անկյունները հավասար են միմյանց, իսկ երրորդ կողմը (որին միանում են հավասար անկյունները) հիմքն է։
Նկարը ցույց է տալիս DEF հավասարաչափ եռանկյունը, որի D և F անկյունները հավասար են, իսկ DF-ը հիմքն է:
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Ուղղանկյուն եռանկյունը կոչվում է այսպես, քանի որ նրա անկյուններից մեկն ուղղանկյուն է, այսինքն՝ հավասար 90°-ի: Մյուս երկու անկյունները գումարվում են մինչև 90°։
Նման եռանկյան ամենամեծ կողմը, որը գտնվում է 90° անկյան հակառակ կողմը, հիպոթենուսն է, մինչդեռ նրա մյուս երկու կողմերը ոտքերն են: Այս տեսակի եռանկյունների համար կիրառելի է Պյութագորասի թեորեմը՝
Ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի երկարության քառակուսուն։
Նկարը ցույց է տալիս BAC ուղղանկյուն եռանկյունը AC հիպոթենուզով և AB և BC ոտքերով:
Ուղիղ անկյան տակ գտնվող եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նրա ոտքերի թվային արժեքները:
Անցնենք այս թվի մակերեսը գտնելու բանաձևերին։
Տարածքի հիմնական բանաձևեր
Երկրաչափության մեջ կան երկու բանաձևեր, որոնք հարմար են եռանկյունների շատ տեսակների մակերեսը գտնելու համար, մասնավորապես՝ սուրանկյուն, բութանկյուն, կանոնավոր ևհավասարաչափ եռանկյուններ. Եկեք վերլուծենք դրանցից յուրաքանչյուրը։
Կողք և բարձրություն
Այս բանաձևը ունիվերսալ է մեր դիտարկած գործչի մակերեսը գտնելու համար: Դա անելու համար բավական է իմանալ կողմի երկարությունը և դրան գծված բարձրության երկարությունը։ Բանաձևն ինքնին (հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսը) ունի հետևյալ տեսքը՝
S=½AH, որտեղ A-ն տվյալ եռանկյան կողմն է, իսկ H-ը՝ եռանկյան բարձրությունը:
Օրինակ, ACB սուր անկյունով եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել նրա AB կողմը CD բարձրությամբ և ստացված արժեքը բաժանել երկուսի:
Սակայն միշտ չէ, որ հեշտ է գտնել եռանկյան մակերեսը այս կերպ: Օրինակ, բութ անկյուն ունեցող եռանկյունու համար այս բանաձևն օգտագործելու համար հարկավոր է շարունակել նրա կողմերից մեկը և միայն դրանից հետո գծել բարձրություն դեպի այն:
Գործնականում այս բանաձևն օգտագործվում է ավելի հաճախ, քան մյուսները:
Երկու կողմից և անկյունում
Այս բանաձևը, ինչպես և նախորդը, հարմար է եռանկյունների մեծամասնության համար և իր իմաստով եռանկյան կողմի մակերեսը և բարձրությունը գտնելու բանաձևի հետևանք է։ Այսինքն՝ քննարկվող բանաձևը հեշտությամբ կարելի է ստանալ նախորդից։ Նրա ձևակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝
S=½sinOAB, որտեղ A-ն և B-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ O-ն անկյունն է A և B կողմերի միջև:
Հիշեցնենք, որ անկյան սինուսը կարելի է դիտել խորհրդային նշանավոր մաթեմատիկոս Վ. Մ. Բրադիսի անունով հատուկ աղյուսակում։
Եվ հիմա անցնենք այլ բանաձևերի,հարմար է միայն բացառիկ տեսակի եռանկյունների համար։
Ուղղանկյուն եռանկյան մակերես
Բացի համընդհանուր բանաձևից, որը ներառում է եռանկյան մեջ բարձրություն գծելու անհրաժեշտությունը, ուղիղ անկյուն պարունակող եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել նրա ոտքերով:
Այսպիսով, ուղղանկյուն պարունակող եռանկյան մակերեսը նրա ոտքերի արտադրյալի կեսն է, կամ՝
S=½ab, որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերն են:
Կանոնավոր եռանկյուն
Այս տիպի երկրաչափական պատկերները տարբերվում են նրանով, որ դրա տարածքը կարելի է գտնել միայն կողմերից մեկի նշված արժեքով (քանի որ կանոնավոր եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են): Այսպիսով, հանդիպելով «գտնել եռանկյան տարածքը, երբ կողմերը հավասար են» առաջադրանքին, դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.
S=A2√3 / 4, որտեղ A-ն հավասարակողմ եռանկյան կողմն է։
Հերոնի բանաձև
Եռանկյան մակերեսը գտնելու վերջին տարբերակը Հերոնի բանաձևն է։ Այն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նկարի երեք կողմերի երկարությունները։ Հերոնի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), որտեղ a, b և c այս եռանկյան կողմերն են:
Երբեմն տրված առաջադրանքը. «Կանոնավոր եռանկյունու մակերեսը. գտիր նրա կողմի երկարությունը»: Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել կանոնավոր եռանկյան մակերեսը գտնելու արդեն հայտնի բանաձևը և դրանից դուրս բերել կողմի (կամ նրա քառակուսու) արժեքը՝
:
A2=4S / √3.
Քննական խնդիրներ
GIA առաջադրանքներումՄաթեմատիկայում շատ բանաձևեր կան. Բացի այդ, հաճախ անհրաժեշտ է լինում վանդակավոր թղթի վրա գտնել եռանկյունու մակերեսը։
Այս դեպքում առավել հարմար է նկարի կողերից մեկի բարձրությունը գծել, բջիջներով որոշել դրա երկարությունը և օգտագործել տարածքը գտնելու ունիվերսալ բանաձևը՝
S=½AH.
Այսպիսով, հոդվածում ներկայացված բանաձևերն ուսումնասիրելուց հետո որևէ տեսակի եռանկյունու մակերեսը գտնելու հետ կապված խնդիրներ չեք ունենա:
