Սովորական կոտորակներն օգտագործվում են մասի և ամբողջի հարաբերակցությունը ցույց տալու համար: Օրինակ, տորթը բաժանվեց հինգ երեխաների միջև, ուստի յուրաքանչյուրը ստացավ տորթի հինգերորդ մասը (1/5):
Սովորական կոտորակները a/b ձևի նշումներ են, որտեղ a և b ցանկացած բնական թվեր են: Համարիչը առաջին կամ վերին թիվն է, իսկ հայտարարը՝ երկրորդ կամ ստորին թիվը։ Հայտարարը ցույց է տալիս մասերի թիվը, որոնցով ամբողջը բաժանվել է, իսկ համարիչը ցույց է տալիս վերցված մասերի թիվը։
Ընդհանուր կոտորակների պատմություն
Կոտորակներն առաջին անգամ հիշատակվում են 8-րդ դարի ձեռագրերում, շատ ավելի ուշ՝ 17-րդ դարում, դրանք կկոչվեն «կոտրված թվեր»։ Այս թվերը մեզ հասել են Հին Հնդկաստանից, այնուհետև դրանք օգտագործվել են արաբների կողմից, իսկ 12-րդ դարում նրանք հայտնվել են եվրոպացիների շրջանում:
Սկզբնական շրջանում սովորական կոտորակներն ունեին հետևյալ ձևը՝ 1/2, 1/3, 1/4 և այլն։ Այնպիսի կոտորակները, որոնք ունեին համարիչում միավոր և նշում էին ամբողջի կոտորակները, կոչվում էին հիմնական։ Շատ դարեր անցՀույները և նրանցից հետո հնդկացիները սկսեցին օգտագործել այլ կոտորակներ, որոնց մասերը կարող էին կազմված լինել ցանկացած բնական թվից։
Ընդհանուր կոտորակների դասակարգում
Կան ճիշտ և ոչ պատշաճ կոտորակներ: Ճիշտ են նրանք, որոնցում հայտարարը մեծ է համարիչից, իսկ սխալները՝ հակառակը։
Յուրաքանչյուր կոտորակ արդյունք է քանորդի, ուստի կոտորակային ուղիղը կարելի է ապահով կերպով փոխարինել բաժանման նշանով: Այս տեսակի ձայնագրումն օգտագործվում է այն դեպքում, երբ բաժանումը հնարավոր չէ ամբողջությամբ իրականացնել: Անդրադառնալով հոդվածի սկզբի օրինակին, ասենք, որ երեխային բաժին է ընկնում ոչ թե ամբողջ հյուրասիրությունը, այլ տորթի մի մասը։
Եթե թիվն ունի այնպիսի բարդ նշում, ինչպիսին է 2 3/5 (երկու ամբողջ թիվ և երեք հինգերորդ), ապա այն խառնվում է, քանի որ բնական թիվն ունի նաև կոտորակային մաս: Բոլոր անպատշաճ կոտորակները կարող են ազատորեն վերածվել խառը թվերի՝ համարիչն ամբողջությամբ բաժանելով հայտարարի վրա (այդպիսով հատկացվում է ամբողջ մասը), մնացածը գրվում է պայմանական հայտարարով համարիչի փոխարեն։ Որպես օրինակ վերցնենք 77/15 կոտորակը։ 77-ը բաժանեք 15-ի, ստանում ենք 5-րդ մասը, իսկ մնացածը՝ 2: Այսպիսով, ստանում ենք 5 2/15 խառը թիվը (հինգ ամբողջ թիվ և երկու տասնհինգերորդ):
Կարող եք նաև կատարել հակադարձ գործողություն. բոլոր խառը թվերը հեշտությամբ վերածվում են սխալների: Բնական թիվը (ամբողջ մասը) բազմապատկում ենք հայտարարով և ավելացնում կոտորակային մասի համարիչով։ Վերը նշվածը կատարենք 5 2/15 կոտորակի հետ։ 5-ը բազմապատկում ենք 15-ով, ստանում ենք 75։ Հետո ստացված թվին գումարում ենք 2, ստանում ենք 77։ Հայտարարը թողնում ենք նույնը, և ահա ցանկալի տեսակի կոտորակը 77/15։
Նվազեցում սովորականկոտորակներ
Ի՞նչ է ենթադրում կոտորակների կրճատման գործողությունը: Համարիչը և հայտարարը բաժանելով մեկ ոչ զրոյական թվի, որը կլինի ընդհանուր բաժանարարը։ Օրինակում այն այսպիսի տեսք ունի՝ 5/10-ը կարելի է կրճատել 5-ով։ Համարիչը և հայտարարն ամբողջությամբ բաժանվում են 5 թվի վրա, և ստացվում է 1/2 կոտորակը։ Եթե կոտորակը հնարավոր չէ կրճատել, ապա այն կոչվում է անկրճատելի։
Որպեսզի m/n և p/q ձևի կոտորակները հավասար լինեն, պետք է պահպանվի հետևյալ հավասարությունը. mq=np. Ըստ այդմ, կոտորակները հավասար չեն լինի, եթե հավասարությունը չբավարարվի: Կոտորակները նույնպես համեմատվում են: Հավասար հայտարար ունեցող կոտորակներից մեծ է ավելի մեծ համարիչը։ Ընդհակառակը, հավասար համարիչներ ունեցող կոտորակների մեջ ավելի փոքր է ավելի մեծ հայտարար ունեցողը: Ցավոք, բոլոր կոտորակները չեն կարող համեմատվել այս կերպ: Հաճախ կոտորակները համեմատելու համար անհրաժեշտ է դրանք հասցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի (LCD):
NOZ
Դիտարկենք սա օրինակով. մենք պետք է համեմատենք 1/3 և 5/12 կոտորակները: Մենք աշխատում ենք հայտարարների հետ՝ ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) 3 և 12 - 12 թվերի համար: Այնուհետև անդրադառնանք համարիչներին: LCM-ը բաժանում ենք առաջին հայտարարի վրա, ստանում ենք 4 թիվը (սա լրացուցիչ գործոն է)։ Այնուհետև 4 թիվը բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչով, ուստի հայտնվեց նոր 4/12 կոտորակը։ Ավելին, առաջնորդվելով պարզ հիմնական կանոններով, մենք հեշտությամբ կարող ենք համեմատել կոտորակները՝ 4/12 < 5/12, ինչը նշանակում է 1/3 < 5/12:
Հիշեք. երբ համարիչը զրո է, ապա ամբողջ կոտորակը զրո է: Բայց հայտարարը երբեք չի կարող հավասար լինել զրոյի, քանի որ չես կարող բաժանել զրոյի։ Երբհայտարարը հավասար է մեկի, ապա ամբողջ կոտորակի արժեքը հավասար է համարիչին։ Ստացվում է, որ ցանկացած թիվ ազատորեն ներկայացված է որպես միասնության համարիչ և հայտարար՝ 5/1, 4/1 և այլն։
Թվաբանական գործողություններ կոտորակներով
Կոտորակների համեմատությունը քննարկվել է վերևում: Անդրադառնանք գումարի, տարբերության, արտադրյալի և մասնակի կոտորակների ստացմանը.
Ավելացում կամ հանում կատարվում է միայն կոտորակների NOZ-ի կրճատումից հետո: Դրանից հետո համարիչները գումարվում կամ հանվում են և հայտարարվում է անփոփոխ՝ 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7։
- Կոտորակների բազմապատկումը փոքր-ինչ տարբեր է. նրանք աշխատում են առանձին համարիչներով, այնուհետև հայտարարներով՝ 5/71/7=(51) / (77)=5/49։
- Կոտորակները բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջինը բազմապատկել երկրորդի փոխադարձով (փոխադարձներն են 5/7 և 7/5): Այսպիսով՝ 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Պետք է իմանաք, որ խառը թվերի հետ աշխատելիս գործողությունները կատարվում են առանձին՝ ամբողջ թվերով և առանձին՝ կոտորակայիններով՝ 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (ութ ամբողջ թիվ և վեց յոթերորդ:). Այս դեպքում մենք ավելացրեցինք 5-ը և 3-ը, ապա 5/7-ը 1/7-ով: Բազմապատկելու կամ բաժանելու համար դուք պետք է թարգմանեք խառը թվեր և աշխատեք ոչ պատշաճ կոտորակների հետ:
Ամենայն հավանականությամբ, այս հոդվածը կարդալուց հետո դուք սովորել եք ամեն ինչ սովորական կոտորակների մասին՝ սկսած դրանց առաջացման պատմությունից մինչև թվաբանական գործողություններ: Հուսով ենք, որ ձեր բոլոր հարցերը լուծված են։
