Եռանկյունը երեք կողմերով բազմանկյուն է (երեք անկյուն): Ամենից հաճախ, կողմերը նշվում են փոքր տառերով, որոնք համապատասխանում են հակառակ գագաթները նշանակող մեծատառերին: Այս հոդվածում մենք կծանոթանանք այս երկրաչափական պատկերների տեսակներին, թեորեմին, որը որոշում է, թե որքան է եռանկյան անկյունների գումարը։
Դիտումներ ըստ անկյունների
Տարբերում են երեք գագաթներով բազմանկյունների հետևյալ տեսակները՝
- սուր-անկյուն, որի բոլոր անկյունները սուր են;
- ուղղանկյուն, ունի մեկ ուղղանկյուն, մինչդեռ այն կազմող կողմերը կոչվում են ոտքեր, իսկ այն կողմը, որը տեղադրված է ուղիղ անկյան դիմաց՝ հիպոթենուս;
- բութ, երբ մի անկյունը բութ է;
- հավասարսուռ, որի երկու կողմերը հավասար են, և դրանք կոչվում են կողային, իսկ երրորդը եռանկյան հիմքն է;
- հավասարակողմ՝ ունենալով բոլոր երեք հավասար կողմերը։
Հատկություններ
Նրանք ընդգծում են այն հիմնական հատկությունները, որոնք բնորոշ են յուրաքանչյուր տեսակի եռանկյունի.
- մեծ կողմի դիմաց միշտ ավելի մեծ անկյուն կա, և հակառակը;
- Հավասար չափի հակառակ կողմերը հավասար անկյուններ են, և հակառակը;
- ցանկացած եռանկյուն ունի երկու սուր անկյուն;
- դրսի անկյունն ավելի մեծ է, քան ցանկացած ներքին անկյուն, որը կից չէ;
- ցանկացած երկու անկյունների գումարը միշտ փոքր է 180 աստիճանից;
- արտաքին անկյունը հավասար է մյուս երկու անկյունների գումարին, որոնք չեն հատվում դրա հետ:
Եռանկյունի անկյունների գումարի թեորեմ
Թեորեմն ասում է, որ եթե գումարենք տրված երկրաչափական պատկերի բոլոր անկյունները, որը գտնվում է Էվկլիդեսյան հարթության վրա, ապա դրանց գումարը կլինի 180 աստիճան։ Փորձենք ապացուցել այս թեորեմը։
Եկեք կամայական եռանկյուն ունենանք KMN-ի գագաթներով:
Մ գագաթի միջով գծեք ուղիղ ուղիղ ուղիղ KN-ին զուգահեռ (այս ուղիղը կոչվում է նաև Էվկլիդեսյան ուղիղ): Ա կետը վրան այնպես ենք նշում, որ K և A կետերը գտնվում են MN ուղիղ գծի տարբեր կողմերում։ Ստանում ենք հավասար AMN և KNM անկյուններ, որոնք, ինչպես ներքինը, ընկած են խաչաձև և ձևավորվում են MN հատվածով զուգահեռ KN և MA ուղիղ գծերի հետ։ Սրանից հետևում է, որ M և H գագաթներում գտնվող եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է KMA անկյան մեծությանը։ Բոլոր երեք անկյունները կազմում են գումարը, որը հավասար է KMA և MKN անկյունների գումարին։ Քանի որ այս անկյունները ներքին միակողմանի ենզուգահեռ ուղիղներ KN և MA հատվող KM-ով, դրանց գումարը 180 աստիճան է: Թեորեմն ապացուցված է։
Հետևանք
Վերևում ապացուցված թեորեմից բխում է հետևյալ հետևությունը. ցանկացած եռանկյուն ունի երկու սուր անկյուն: Սա ապացուցելու համար ենթադրենք, որ տվյալ երկրաչափական պատկերն ունի միայն մեկ սուր անկյուն։ Կարելի է նաև ենթադրել, որ անկյուններից և ոչ մեկը սուր չէ։ Այս դեպքում պետք է լինի առնվազն երկու անկյուն, որոնք հավասար են կամ ավելի 90 աստիճանի: Բայց այդ դեպքում անկյունների գումարը կլինի 180 աստիճանից մեծ։ Բայց դա չի կարող լինել, քանի որ թեորեմի համաձայն, եռանկյան անկյունների գումարը 180 ° է, ոչ ավել, ոչ պակաս: Սա այն է, ինչ պետք է ապացուցվեր։
Արտաքին անկյունային հատկություն
Որքա՞ն է եռանկյան արտաքին անկյունների գումարը: Այս հարցին կարելի է պատասխանել երկու եղանակներից մեկով. Առաջինն այն է, որ անհրաժեշտ է գտնել այն անկյունների գումարը, որոնք վերցված են յուրաքանչյուր գագաթին մեկական, այսինքն՝ երեք անկյուն։ Երկրորդը ենթադրում է, որ դուք պետք է գտնեք բոլոր վեց անկյունների գումարը գագաթներում: Նախ, եկեք զբաղվենք առաջին տարբերակով: Այսպիսով, եռանկյունը պարունակում է վեց արտաքին անկյուն՝ երկուական յուրաքանչյուր գագաթին:
Յուրաքանչյուր զույգ ունի հավասար անկյուններ, քանի որ դրանք ուղղահայաց են:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Բացի այդ, հայտնի է, որ եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք չեն հատվում նրա հետ։ Հետևաբար, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Սրանից պարզվում է, որ արտաքինի գումարըանկյունները, որոնք վերցված են մեկական գագաթին, հավասար կլինեն՝
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Հաշվի առնելով, որ անկյունների գումարը 180 աստիճան է, կարելի է պնդել, որ ∟A + ∟B + ∟C=180°: Իսկ սա նշանակում է, որ ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°: Եթե օգտագործվի երկրորդ տարբերակը, ապա վեց անկյունների գումարը համապատասխանաբար կրկնակի մեծ կլինի։ Այսինքն՝ եռանկյան արտաքին անկյունների գումարը կլինի՝
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°:
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Որքա՞ն է ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը: Այս հարցի պատասխանը, կրկին, բխում է թեորեմից, որն ասում է, որ եռանկյան անկյունների գումարը հասնում է 180 աստիճանի: Իսկ մեր հայտարարությունը (հատկությունը) հնչում է այսպես՝ ուղղանկյուն եռանկյունում սուր անկյունները գումարվում են մինչև 90 աստիճան։ Եկեք ապացուցենք դրա ճշմարտացիությունը։
Մեզ տրվի KMN եռանկյուն, որում ∟Н=90°: Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ ∟K + ∟M=90°։
Այսպիսով, ըստ անկյունների գումարի թեորեմի ∟К + ∟М + ∟Н=180°: Մեր պայմանն ասում է, որ ∟Н=90°։ Այսպիսով, ստացվում է, ∟K + ∟M + 90°=180°: Այսինքն՝ ∟K + ∟M=180° - 90°=90°։ Դա այն է, ինչ մենք պետք է ապացուցեինք։
Ուղղանկյուն եռանկյան վերը նշված հատկություններից բացի, կարող եք ավելացնել հետևյալը.
- անկյունները, որոնք ընկած են ոտքերի դեմ, սուր են;
- հիպոթենուսը ավելի շատ եռանկյուն է, քան ցանկացած ոտք;
- ոտքերի գումարն ավելի մեծ է, քան հիպոթենուսը;
- ոտք30 աստիճան անկյան դիմաց գտնվող եռանկյունը հիպոթենուսի կեսն է, այսինքն՝ հավասար է դրա կեսին։
Որպես այս երկրաչափական պատկերի մեկ այլ հատկություն՝ կարելի է առանձնացնել Պյութագորասի թեորեմը։ Նա նշում է, որ 90 աստիճան (ուղղանկյուն) անկյուն ունեցող եռանկյունում ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուն։
Հավասարսուռ եռանկյան անկյունների գումարը
Ավելի վաղ մենք ասել էինք, որ հավասարաչափ բազմանկյուն է երեք գագաթներով, որոնք պարունակում են երկու հավասար կողմեր: Հայտնի է տվյալ երկրաչափական պատկերի այս հատկությունը՝ նրա հիմքի անկյունները հավասար են։ Եկեք ապացուցենք դա։
Վերցրեք KMN եռանկյունը, որը հավասարաչափ է, KN նրա հիմքն է:
Մեզնից պահանջվում է ապացուցել, որ ∟К=∟Н: Այսպիսով, ասենք, որ MA-ն մեր KMN եռանկյունու կիսորդն է: ՀՄՀ եռանկյունին, հաշվի առնելով հավասարության առաջին նշանը, հավասար է ՀՄՀ եռանկյունին։ Մասնավորապես, պայմանով տրվում է, որ KM=NM, MA-ն ընդհանուր կողմ է, ∟1=∟2, քանի որ MA-ն կիսորդ է: Օգտագործելով այս երկու եռանկյունների հավասար լինելու փաստը, կարող ենք փաստել, որ ∟K=∟Н: Այսպիսով, թեորեմն ապացուցված է։
Բայց մեզ հետաքրքրում է, թե որքան է եռանկյան անկյունների գումարը (հավասարսուռ): Քանի որ այս առումով այն չունի իր յուրահատկությունները, մենք կսկսենք ավելի վաղ քննարկված թեորեմից։ Այսինքն՝ կարող ենք ասել, որ ∟K + ∟M + ∟H=180°, կամ 2 x ∟K + ∟M=180° (քանի որ ∟K=∟H): Մենք չենք ապացուցի այս հատկությունը, քանի որ եռանկյունի գումարի թեորեմն ինքնին ավելի վաղ է ապացուցվել:
Բացառությամբ քննարկվածիհատկություններ եռանկյան անկյունների վերաբերյալ, կան նաև այնպիսի կարևոր պնդումներ՝
- հավասարասրուն եռանկյունու մեջ բարձրությունը, որը իջեցվել է դեպի հիմքը, և՛ միջինն է, և՛ հավասար կողմերի միջև գտնվող անկյան կիսակտորը, և՛ նրա հիմքի համաչափության առանցքը;
- միջնորդները (կիսեկտորներ, բարձրություններ), որոնք գծված են նման երկրաչափական պատկերի կողմերին, հավասար են:
Հավասարակողմ եռանկյուն
Այն նաև կոչվում է ուղիղ, այն եռանկյունին է, որի բոլոր կողմերը հավասար են։ Հետեւաբար, անկյունները նույնպես հավասար են: Յուրաքանչյուրը 60 աստիճան է։ Եկեք ապացուցենք այս հատկությունը։
Ենթադրենք, որ ունենք KMN եռանկյուն: Մենք գիտենք, որ KM=NM=KN: Իսկ դա նշանակում է, որ ըստ հիմքում տեղակայված անկյունների հատկության՝ հավասարաչափ եռանկյան մեջ՝ ∟К=∟М=∟Н։ Քանի որ, ըստ թեորեմի, եռանկյան անկյունների գումարը ∟К + ∟М + ∟Н=180° է, ապա 3 x ∟К=180° կամ ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°: Այսպիսով, հայտարարությունը ապացուցված է:
Ինչպես երևում է թեորեմի հիման վրա վերը նշված ապացույցից, հավասարակողմ եռանկյան անկյունների գումարը, ինչպես ցանկացած այլ եռանկյան անկյունների գումարը, 180 աստիճան է: Այս թեորեմը կրկին ապացուցելու կարիք չկա։
Կան նաև հավասարակողմ եռանկյունին բնորոշ այնպիսի հատկություններ.
Այսպիսի երկրաչափական պատկերում
Օբթանկյուն եռանկյուն
Բութ եռանկյան սահմանման համաձայն՝ նրա անկյուններից մեկը գտնվում է 90-ից 180 աստիճանի միջակայքում։ Բայց հաշվի առնելով, որ այս երկրաչափական պատկերի մյուս երկու անկյունները սուր են, կարող ենք եզրակացնել, որ դրանք չեն գերազանցում 90 աստիճանը: Հետևաբար, անկյունների գումարի եռանկյունի թեորեմն աշխատում է բութ եռանկյան անկյունների գումարը հաշվարկելիս: Ստացվում է, որ վերոհիշյալ թեորեմի հիման վրա կարելի է վստահորեն ասել, որ բութ եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է։ Կրկին, այս թեորեմը նորից ապացուցման կարիք չունի։
