Ավագ դպրոցում, հարթության վրա պատկերների հատկությունները ուսումնասիրելուց հետո, նրանք անցնում են տարածական երկրաչափական առարկաների դիտարկմանը, ինչպիսիք են պրիզմաները, գնդերը, բուրգերը, գլանները և կոնները: Այս հոդվածում մենք կտանք ուղիղ եռանկյուն պրիզմայի առավել ամբողջական նկարագրությունը։
Ի՞նչ է եռանկյուն պրիզմա:
Հոդվածը սկսենք գործչի սահմանումից, որը կքննարկվի հետագա: Պրիզմա երկրաչափության տեսանկյունից տարածության մեջ ձևավորված պատկեր է, որը ձևավորվում է զուգահեռ հարթություններում տեղակայված երկու նույնական n-անկյուններով, որոնց նույն անկյունները միացված են ուղիղ գծերի հատվածներով։ Այս հատվածները կոչվում են կողային կողիկներ: Հիմքի կողմերի հետ միասին նրանք կազմում են կողային մակերես, որն ընդհանուր առմամբ ներկայացված է զուգահեռաչափերով։
Երկու n-գոններ նկարի հիմքերն են: Եթե կողային եզրերը ուղղահայաց են նրանց, ապա դրանք խոսում են ուղիղ պրիզմայի մասին։ Համապատասխանաբար, եթե հիմքերի վրա բազմանկյան n կողմերի թիվը երեքն է, ապա նման պատկերը կոչվում է եռանկյուն պրիզմա։
Եռանկյուն ուղիղ պրիզմա ներկայացված է վերևում նկարում: Այս ցուցանիշը կոչվում է նաև կանոնավոր, քանի որ դրա հիմքերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։ Նկարի կողային եզրի երկարությունը, որը նշված է նկարում h տառով, կոչվում է նրա բարձրություն։
Նկարը ցույց է տալիս, որ եռանկյուն հիմք ունեցող պրիզմաը կազմված է հինգ դեմքերից, որոնցից երկուսը հավասարակողմ եռանկյուններ են, իսկ երեքը՝ նույնական ուղղանկյուններ։ Դեմքերից բացի, պրիզման ունի վեց գագաթներ հիմքերում և ինը եզրեր: Դիտարկվող տարրերի թվերը միմյանց հետ կապված են Էյլերի թեորեմով՝
եզրերի թիվը=գագաթների թիվը + կողմերի քանակը - 2.
Ուղղաձև եռանկյուն պրիզմայի մակերես
Վերևում պարզեցինք, որ խնդրո առարկա պատկերը կազմված է երկու տեսակի հինգ երեսներից (երկու եռանկյուն, երեք ուղղանկյուն): Այս բոլոր դեմքերը կազմում են պրիզմայի ամբողջ մակերեսը։ Նրանց ընդհանուր մակերեսը նկարի մակերեսն է: Ստորև բերված է բացվող եռանկյուն պրիզմա, որը կարելի է ստանալ՝ սկզբում կտրելով երկու հիմքը պատկերից, այնուհետև կտրելով մեկ եզրով և բացելով կողային մակերեսը:
Տանք բանաձեւեր այս մաքրման մակերեսը որոշելու համար։ Սկսենք ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի հիմքերից։ Քանի որ դրանք ներկայացնում են եռանկյուններ, նրանցից յուրաքանչյուրի S3 մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.
S3=1/2aha.
Ահա a-ն եռանկյան կողմն է, ha-ը եռանկյան գագաթից այս կողմ իջեցված բարձրությունն է:
Եթե եռանկյունը հավասարակողմ է (կանոնավոր), ապա S3-ի բանաձևը կախված է միայն a պարամետրից: Կարծես՝
S3=√3/4a2.
Այս արտահայտությունը կարելի է ստանալ՝ դիտարկելով a, a/2, ha հատվածներով կազմված ուղղանկյուն եռանկյունը։։
So հիմքերի մակերեսը կանոնավոր թվի համար կրկնակի մեծ է S3: արժեքից
So=2S3=√3/2a2:
Ինչ վերաբերում է Sb կողային մակերեսին, ապա այն դժվար չէ հաշվարկել։ Դա անելու համար բավական է երեքով բազմապատկել a և h կողմերից ձևավորված մեկ ուղղանկյունի մակերեսը: Համապատասխան բանաձևն է՝
Sb=3ah.
Այսպիսով, եռանկյուն հիմքով կանոնավոր պրիզմայի մակերեսը գտնում ենք հետևյալ բանաձևով՝
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Եթե պրիզման ուղիղ է, բայց անկանոն, ապա դրա մակերեսը հաշվարկելու համար պետք է առանձին ավելացնել ուղղանկյունների այն մակերեսները, որոնք իրար հավասար չեն:
Նկարի ծավալի որոշում
Պրիզմայի ծավալը հասկացվում է որպես նրա կողմերով (դեմքերով) սահմանափակված տարածություն: Ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի ծավալը հաշվարկելը շատ ավելի հեշտ է, քան դրա մակերեսը: Դա անելու համար բավական է իմանալ հիմքի տարածքը և գործչի բարձրությունը: Քանի որ ուղիղ գործչի h բարձրությունը նրա կողային եզրի երկարությունն է, և թե ինչպես կարելի է հաշվարկել հիմքի մակերեսը, մենք տվել ենք նախորդ.կետ, ապա մնում է բազմապատկել այս երկու արժեքները միմյանց հետ, որպեսզի ստանանք ցանկալի ծավալը: Դրա բանաձևը դառնում է՝
V=S3h.
Նշեք, որ մեկ հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալը կտա ոչ միայն ուղիղ պրիզմայի, այլև թեք պատկերի և նույնիսկ գլանիկի ծավալը:
Խնդրի լուծում
Ապակե եռանկյուն պրիզմաները օպտիկայի մեջ օգտագործվում են դիսպերսիայի երևույթի պատճառով էլեկտրամագնիսական ճառագայթման սպեկտրն ուսումնասիրելու համար։ Հայտնի է, որ սովորական ապակե պրիզմայի հիմքի երկարությունը 10 սմ է, իսկ եզրի երկարությունը՝ 15 սմ։ Որքա՞ն է նրա ապակե երեսների մակերեսը և ի՞նչ ծավալ է պարունակում։
Տարածքը որոշելու համար մենք կօգտագործենք հոդվածում գրված բանաձեւը։ Մենք ունենք՝
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 սմ2.
V ծավալը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք նաև վերը նշված բանաձևը՝
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 սմ3.
Չնայած նրան, որ պրիզմայի եզրերը ունեն 10 սմ և 15 սմ երկարություն, գործչի ծավալը կազմում է ընդամենը 0,65 լիտր (10 սմ կողմ ունեցող խորանարդը ունի 1 լիտր ծավալ):
